福建省厦门双十中学2019-2020学年高一上学期入学考试数学试题

厦门双十中学2019级高一新生入学考试

数  学  试  题

（满分：150分；考试时间：120分钟）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.

1．若，则的值为（ ▲ ）

A． B． C． D．

2．用□表示1个立方体，用表示2个立方体叠加，用表示3个立方体叠加，那么如图所示，由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是图中的（ ▲ ）

3．若数a使关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为（ ▲ ）

A．10 B．12 C．14 D．16

4．如图，在梯形中，∥，，是的中点，,.则梯形的面积等于（ ▲ ）

A． B． C． D．

5．代数式的最小值为（ ▲ ）

A．12 B．13 C．14 D．15

6．一只盒子中有个红球，9个白球，个黑球，每个球除颜色外都相同. 若至少摸出17个球时其中一定有5个红球，至少摸出17个球时其中一定有8个相同颜色的球. 则代数式的值为（ ▲ ）

A． B． C． D．

7．如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PDA、△PAB、△PBC、△PCD，设它们的面积分别是，给出如下结论：

  ①；  ②；

   ③若，则； ④若，则P点在矩形的对角线上.

其中正确的结论的个数是（ ▲ ）

A． B． C． D．

8．某人从一层上到二层需跨10级台阶. 他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步. 从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶. 则他从一层到二层可能的不同过程共有（ ▲ ）种.

A．6  B．8 C．10 D．12

二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填在答题卷的相应位置.

9．已知，则    ▲    .

10．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAB＝    ▲    .

11．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：

小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差    ▲    分钟.

12．在平面直角坐标系内有两点，一次函数的图像与线段的延长线相交（交点不包括），则实数的取值范围为    ▲    .

13．如图所示，在平面直角坐标系中，多边形的顶点分别是， 若直线经过点，且将多边形分割成面积相等的两部分，则直线的函数表达式是    ▲    .

14．如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是    ▲    .

第13题图               第14题图              第15题图

15．如图，有一个边长不定的正方形，它的两个相对的顶点分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点在正六边形内部（包括边界），则正方形边长的取值范围是

    ▲    .

16．已知是二次函数图像上两点，若在任何长度为2的闭区间上，总存在两点，使得成立，则的最小值是    ▲    .

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.

17．（本小题满分10分）

端午节当天，小明带了四个粽子（除味道不同外，其它均相同），其中两个是大枣味的，另外两个是火腿味的，准备按数量平均分给小红和小刚两个好朋友.

（1）请你用树状图或列表的方法表示小红拿到的两个粽子的所有可能性；

（2）请你计算小红拿到的两个粽子刚好是同一味道的概率.

18．（本小题满分10分）

已知关于x的方程有两个实数根．

（1）求实数k的取值范围；

（2）若满足，求实数k的值．

19．（本小题满分10分）

如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，做直线AE，

且∠EAC=∠D．

（1）求证：直线AE是⊙O的切线．

（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=，CF=，求BF的长．

20．（本小题满分12）

边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．

（1）连接CQ，证明：CQ=AP；

（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE=BC；

（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．

21．（本小题满分13）

如图，某日的钱塘江观测信息如下：

按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系用图3表示.其中：“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点，点坐标为，曲线可用二次函数：，（是常数）刻画.

（1）求值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；

（2）11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？

（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为千米/分，小红逐渐落后. 问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度，是加速前的速度）.

22．（本小题满分15分）

如图，已知二次函数的图象经过三点.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）点是该二次函数图象上的一点，且满足(是坐标原点)，求点的坐标；

（3）点是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接分别交轴与点若的面积分别为求的最大值.

厦门双十中学2019级高一入学考试

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

9．【答案】    10．【答案】    11．【答案】19

12．【答案】   13．【答案】   14．【答案】

15．【答案】（ ）    16．【答案】

三、解答题：本大题共6小题，共70分.

17．（本小题满分10分）

解：（1）设大枣味的两个粽子分别为，火腿味的两个粽子分别为，则

或

------------------------------------------------------------------------6分

（2）由（1）可知，在上述12种等可能的情况中，小红拿到的两个粽子是同一味道的共有 4种情况，所以P=.              10分

18．（本小题满分10分）

解：（1）因为关于x的方程有两个实数根，

所以，

解得.--------------------------------------------------------------------3分

（2）因为关于x的方程有两个实数根，

所以，-------------------------------------------------------------------5分

因为，

所以，即，---------------------------------------------------------------7分

所以整理得，

解得或（不符合要求，舍去）-------------------------------------------------9分

所以实数k的值为.---------------------------------------------------------10分

19．（本小题满分10分）

解：（1）连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠CDB=90°，-------------------------------------------2分

∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，

∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，

∴直线AE是⊙O的切线；-----------------------------------------------------4分

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，

Rt△ACB中，∠BAC=30°，

∴AB=2BC=2×4=8，由勾股定理得：AC==，-----------------------------------------5分

Rt△ADB中，cos∠BAD==，∴=，∴AD=6，---------------------------------------6分

∴BD= =，----------------------------------------------------------------7分

∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，

∴△DFB∽△AFC，--------------------------------------------------------8分

∴，∴，-----------------------------------------------------------------9分

∴BF=．----------------------------------------------------------------10分

20．（本小题满分12）

解：（1）证明：如图1，因为线段BP绕点B顺时针旋转得到BQ，

所以BP=BQ，，

因为四边形ABCD是正方形，所以BA=BC，

所以

所以，即

在和中，

因为

所以≌（SAS），

所以CQ=AP.---------------------------------------------------------------4分

（2）如图1，因为四边形ABCD是正方形，

所以

所以

因为,

由勾股定理得：，

∵AP=x，∴PC=4﹣x，

∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，

∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°，∴∠CPQ=∠ABP，

∵∠BAC=∠ACB=45°，∴△APB∽△CEP，∴ ，

∴，∴y=x（4﹣x）=﹣（0＜x＜4），

由CE=BC=，∴y=﹣，

x2﹣4x=3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x=3或1，

∴当x=3或1时，CE=BC；-----------------------------------------------------9分

（3）结论：PF=EQ，理由是：

如图3，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF=90°，

∵∠BPQ=45°，∴∠GPB=45°，∴∠GPB=∠PQB=45°，学科&网

∵PB=BQ，∠ABP=∠CBQ，∴△PGB≌△QEB，∴EQ=PG，

∵∠BAD=90°，∴F、A、G、P四点共圆，

连接FG，∴∠FGP=∠FAP=45°，

所以是等腰直角三角形，所以PF=PG，所以PF=EQ

当F在AD延长线上时，如图4，同理可得PF=PG=EQ.---------------------------------12分

21．（本小题满分13）

解：（1）11:40到12:10的时间是30分钟，则B（30,0），

潮头从甲地到乙地的速度==0.4（千米/分钟）.----------------------------------------3分

（2）∵潮头的速度为0.4千米/分钟，

∴到11:59时，潮头已前进19×0.4=7.6（千米），

∴此时潮头离乙地=12-7.6=4.4（千米），

设小红出发x分钟与潮头相遇，

∴0.4x+0.48x=4.4，

∴x=5,

∴小红5分钟后与潮头相遇.---------------------------------------------------7分

（3）把（30,0），C（55,15）代入s=，

解得b=，c=,

∴s=.

∵v0=0.4，∴v=,

当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分，即v=0.48时，

=0.48，∴t=35，

∴当t=35时，s==，

∴从t=35分钟（12:15时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以0.48千米/分的速度匀速追赶潮头.

设小红离乙地的距离为s1,则s1与时间t的函数关系式为s1=0.48t+h(t≥35)，

当t=35时，s1=s=,代入得：h=，

所以s1=

最后潮头与小红相距1.8千米时，即s-s1=1.8，

所以，

解得t1=50,t2=20（不符合题意，舍去）

∴t=50,

小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，

∴共需要时间为6+50-30=26分钟，

∴小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分钟.-------------------------------13分

22．（本小题满分15分）

解：（1）由题意得：设抛物线的解析式为：；

因为抛物线图像过点,

解得

所以抛物线的解析式为：

即：--------------------------------------------------------------------3分

（2）设直线与轴的交点为

当时，直线解析式为：

所以，点

当时，直线解析式为：

所以，点

综上：满足条件的点有：-----------------------------------------------------9分

（3）过点P作PH//轴交直线于点，设

   BC直线的解析式为    故：

AP直线的解析式为：

故：

；

即：

所以，当时，有最大值，最大值为：.-------------------------------------------15分