2024年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02

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(考试时间：90分钟，总分：150分)
一、选择题（本大题共12题，每小题6分，共计72分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】用列举法求出，进而求出.
【详解】因为，，所以．
故选：C
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】因为，所以，所以．
故选：D.
3．已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】先求得，然后求得.
【详解】因为，所以.
故选：D
4．已知，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】则．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
5．已知点，则直线的斜率是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【分析】直接根据斜率公式即可求出答案.
【详解】因为点，所以.
故选：D.
6．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义域，单调性，排除选项.
【详解】函数的定义域是，故排除AB，当时，，函数单调递增，故排除D，满足条件的是C.
故选：C
7．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（ ）
A．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
【答案】D
【分析】根据相位变换，即可得出答案.
【详解】将函数的图象上的每个点横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变，即可得出.
故选：D.
8．已知，则的值为（ ）
A．5B．15C．25D．45
【答案】D
【解析】根据解析式先求出的值，再求的值即可.
【详解】因为，且，
所以，
所以，
故选：D.
9．若、，且，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据基本不等式计算求解.
【详解】因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立.
故选：A.
10．已知等差数列中，与的等差中项为8，且，则（ ）
A．6B．9C．12D．18
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，则由已知可得，得，结合求出公差，从而可求出.
【详解】由已知得，所以，即，又，
故数列的公差，所以，
故选：C．
11．石室中学高一年级有男生570名，若用分层随机抽样的方法从高一年级学生中抽取一个容量为110的样本其中女生53人，则高一年级学生总数为（ ）
A．950B．1000C．1050D．1100
【答案】D
【分析】根据分层抽样的抽样比的性质进行求解即可.
【详解】设高一年级学生总数为N,根据分层抽样，则.
故选：D.
12．若不等式的解集为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案．
【详解】不等式的解集为，则方程根为、，
则，解得，，
故选：D
二、填空题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）
13．若为第二象限角，且，则tan＝ ．
【答案】－
【分析】由平方关系求出，再由商数关系求得．
【详解】因为为第二象限角，且，所以，
所以．
故答案为：．
14．函数的增区间为 .
【答案】
【分析】利用定义法进行判断即可得解.
【详解】任取，
，
因为，，
当时，，，
此时，，为增函数，
所以函数的增区间为.
故答案为：
15．在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为 .
【答案】4
【分析】先根据点到直线的距离求出弦心距，然后利用弦，弦心距和半径的关系可求得结果.
【详解】圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以所求弦长为，
故答案为：4
16．已知函数，若，则 .
【答案】
【分析】代入，求出，得到.
【详解】，故，
所以，
则.
故答案为：
17．长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为2，1，1，那么这个球的表面积是 ．
【答案】
【分析】先求出长方体对角线的长度，即得外接球的直径，再求球的表面积即可.
【详解】由题意，长方体的对角线的长度即外接球的直径，为，
故这个球的表面积是.
故答案为：
18．甲、乙两名射击运动员分别对同一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则2人都射中的概率为 ．
【答案】
【分析】利用独立事件乘法公式计算即可.
【详解】甲、乙两名射击运动员分别对同一目标射击1次，互不影响，互相独立，
故2人都射中的概率为
故答案为：
三、解答题（本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写文字说明，证明过程和演算步骤.）
19．已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在区间上的值域.
【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递减区间；
（2）由求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求出函数在区间上的值域.
【详解】（1）解：因为
，
所以，函数的最小正周期为，
由可得，
所以，函数的单调递减区间为.
（2）解：当时，，则，
因此，函数在区间上的值域为.
20．某教育集团为了办好人民满意的教育，每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评（满意度最高120分，最低0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低）．去年测评的结果（单位：分）如下
甲校：96，112，97，108，100，103，86，98；
乙校：108，101，94，105，96，93，97，106；
(1)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数及方差；
(2)根据以上数据，你认为这两所学校中哪所学校的人民满意度比较好．
【答案】(1)甲、乙的平均数都为100，方差分别为55.25，29.5
(2)乙的人民满意度比较好
【分析】（1）利用平均数和方差的运算公式进行求解即可；
（2）根据方差的性质进行求解即可.
【详解】（1），
，
，
；
（2）甲乙的平均数相同，但是甲的方差大，数据波动就大，乙的方差小，数据相对集中，所以乙的人民满意度比较好
21．中秋国庆双节期间，全国各地景区景点游客逐渐增多，旅游市场回暖升温．某景区山下的海景酒店有50间海景房，若每间房一天的住宿费用为600元时，房间恰好住满；若将每间房一天的收费标准提升元()，则入住的房间数会相应减少x间．
(1)求该温泉酒店每天的收入y元关于x的函数解析式；
(2)若要使该海景酒店每天的收入最多，则每间房的住宿费用可定为多少元？当日收入为多少元？
【答案】(1)且；
(2)每间房的住宿费用可定为元，当日收入为元.
【分析】（1）根据题意有，展开并确定其定义域，即得解析式；
（2）利用二次函数性质求最大值，确定每间房的住宿费用和当日收入即可.
【详解】（1）由题意，且.
（2）由（1），，
所以，当时，元，
故每间房的住宿费用可定为元，当日收入为元.
22．如图，在正四棱柱中，底面的边长为2，侧棱，是棱的中点，是与的交点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件证得，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）利用等体积求法出三棱锥的体积作答.
【详解】（1）在正四棱柱中，四边形为矩形，则为的中点，
又为的中点，则有，而平面，平面，
所以平面．
（2）在正四棱柱中，，，的面积，
所以求三棱锥的体积．