2024届广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷1

这是一份2024届广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷1，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，时间90分钟．
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合U=-2,0,1,3,5,A=-2,3,5,B=0,2,4，则∁UA∪B=（ ）
A．-2,0,2,4 B．-2,0,1,2,4
C．0,1,2,4 D．0,2,4
2．下列函数中，在区间0，+∞上单调递增的是（ ）
A．y=12x B．y=x-1
C．y=x+1x D．y=x3
3．若x>-2，则y=x+1x+2的最小值为（ ）
A．-2B．0 C．1D．12
4．不等式x+2x-3>0的解集用区间表达为（ ）
A．-∞,-2 B．3,+∞
C．-2,3 D．-∞,-2∪3,+∞
5．设平面向量a=2,1,b=x,-2，若a∥b，则x等于（ ）
A．1 B．-1
C．4 D．-4
6．要得到函数f(x)=csx-13,x∈R的图象，只需将函数g(x)=csx,x∈R的图象（ ）
A．横坐标向左平移π3个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标向右平移π3个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标向右平移13个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标向左平移13个单位长度，纵坐标不变
7．已知角θ的终边经过点P32,-12，则csθ等于（ ）
A．-12B．32C．-3D．33
8．函数y=2x的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
9．函数fx=lg2x+1,x>212x-1,x≤2，则ff3=（ ）
A．lg23B．12C．1D．14
10．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．恰好有一个黑球与都是红球B．至少有一个黑球与都是黑球
C．至少有一个黑球与都是红球D．恰好有两个黑球与至少一个红球
11．设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
12．中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”．如4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，…，现从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（ ）
A．110B．15C．310D．25
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.
13．函数y=sin2x+π3+4的最小正周期为 .
14．已知复数z=2-3i（i是虚数单位），则它的模z= .
15．已知a=-2,3，b=2,-1，则a⋅b的值 .
16．某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为200,350,450件，为检验产品的质量，用分层抽样的方法从以上产品中抽取一个容量为n的样本，已知从乙产品中抽取了7件，则n= .
17．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为 .
18．设函数fx是定义在R上的奇函数，且当x>0时，fx=x2+1，则函数fx在x<0时的解析式为fx= .
解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.
19．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知b=5,c=6,csA=45.
(1)求a的值；
(2)求sinB的值及△ABC的面积．
20．直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件.
(1)若每件售价为50元时，每天的利润是多少？
(2)商家计划降价促销，当每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
21．冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，广安市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），
其中样本数据分组区间[40,50),[50,60),⋯,[80,90),[90,100]．
(1)求频率分布直方图中a的值：
(2)求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数）
22．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为棱DD1的中点．

(1)证明：BD1∥平面PAC；
(2)求直线BD1与平面BCC1B1所成角的正切值．
广东省普通高中学业水平合格性考试（数学）模拟卷1
参考答案：
1．C
2．D
【详解】对于A：指数函数y=12x在0，+∞上单调递减；
对于B：反比例函数y=x-1在0，+∞上单调递减；
对于C：当x=12时，y=52，当x=1，y=2，不满足在区间0，+∞上单调递增；
对于D：幂函数y=x3在0，+∞上单调递增.
B
【详解】因为x>-2，所以y=x+1x+2=x+2+1x+2-2≥2x+2⋅1x+2-2=0，当且仅当x+2=1x+2,即x=-1时，等号成立.
4．D
【详解】由x+2x-3>0，即x<-2或x>3，
所以解集用区间表达为-∞,-2∪3,+∞.
5．D
【详解】因为a=2,1,b=x,-2，a∥b，所以2×-2=x×1，所以x=-4.
6．C
【详解】将函数g(x)=csx,x∈R的图象上各点横坐标向右平移13个单位长度，纵坐标不变，得y=csx-13,x∈R，即得到函数f(x)=csx-13,x∈R的图象
7．B
【详解】322+-122=1，故P在单位圆上，根据三角函数值的定义，P的横坐标的值即为csθ，故csθ=32.
8．A
【详解】y=2x为递增的指数函数，定义域为R，且y=2x>0
根据指数函数的定义及图象性质可判断A为y=2x的图象.
9．B
【详解】f3=lg23+1=lg24=2，ff3=f2=122-1=12.
10．A
【详解】对于选项A：恰好有一个黑球与都是红球是互斥事件，还有可能两个黑球，故互斥不对立，
故选项A正确；
对于选项B：至少有一个黑球包括一黑一红、两黑，与都是黑球有可能同时发生，故不是互斥事件，故选项B不正确；
对于选项C：至少有一个黑球包括一黑一红、两黑，与都是红球是对立事件，故选项C不正确；
对于选项D：至少一个红球包括一黑一红、两红与恰好有两个黑球是对立事件，故选项D不正确，
11．C
【详解】当a与b无公共点时，a与b可能平行或异面，反之，当a与b是异面直线时，a与b无公共点.
12．B
【详解】从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数共有10种可能，其和等于16的结果（3，13），（5，11）2种等可能的结果，所以概率P=210=15.
13．π
【详解】函数y=sin2x+π3+4的最小正周期T=2π2=π.
14．13
【详解】因为z=2-3i，所以z=22+-32=13.
15．-7
【详解】因为a=-2,3，b=2,-1，所以a⋅b=-2×2+3×-1=-7.
16．20
【详解】由题可知，7350=n200+350+450，解得n=20.
17．π6
【详解】将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球为原正方体的内切球，
故其半径为12，故体积为43×π×18=π6.
18．-x2-1
【详解】因为fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=x2+1，
若x<0，则-x>0，因为fx是定义在R上的奇函数，所以f-x=-fx，
所以f-x=-x2+1=x2+1，所以-fx=x2+1，即fx=-x2-1.
19．【详解】（1）因为b=5，c=6，csA=45，由余弦定理知：
a2=b2+c2-2bccsA=25+36-2×5×6×45=13，则a=13.
（2）由csA=45且A为三角形内角，则sinA=1-cs2A=35，
又asinA=bsinB，所以sinB=bsinAa=5×3513=31313.
S△ABC=12bcsinA=12×5×6×35=9.
【详解】（1）依题意得：
当每件售价定为50元时，则每天的销售利润为
50-40×20+60-505×10=400元，
∴当每件售价应定为50元时，则每天的销售量利润为400元.
设每件售价应定为x40则每件的销售利润为x-40元，每天销售量为20+60-x5×10=140-2x件，
依题意得：y=x-40140-2x
整理得：y=-2x2+220x-5600，
=-2x-552+450，
∴当x=55时，每天的销售利润最大，最大利润是450元.
21．【详解】（1）由(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,得a=0.006
（2）50名学生竞赛成绩的众数为70+802=75
设中位数为m,则0.04+0.06+0.22+(m-70)×0.028=0.5
解得m≈76.4
所以这50名学生竞赛成绩的中位数为76.4
22．
【详解】（1）
设AC和BD交于点O，连接OP，
∵ABCD-A1B1C1D1为长方体，
∴点O为BD中点，
∵点P为DD1中点，
∴OP∥BD1，
∵OP⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，
∴BD1∥平面PAC.
（2）∵ABCD-A1B1C1D1为长方体，
∴D1C1⊥平面BCC1B1，则直线BD1与平面BCC1B1所成角为∠D1BC1，
BC1=1+22=5，tan∠D1BC1=D1C1BC1=15=55，
所以直线BD1与平面BCC1B1所成角的正切值为55.