2024年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02

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一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．复数z=i−1在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第四象限C．第三象限D．第二象限
【答案】D
【分析】直接根据复数的几何意义判断即可.
【详解】复数z=i−1在复平面内所对应的点的坐标为−1,1，位于第二象限.
故选：D.
2．命题“∃x0>1，x0−2lnx0≤1”的否定为（ ）
A．∀x>1，x−2lnx≤1B．∃x0≤1，x0−2lnx0>1
C．∀x>1，x−2lnx>1D．∃x0≤1，x0−2lnx0≤1
【答案】C
【分析】根据命题否定的书写格式书写即可.
【详解】命题的否定书写要求存在量词变全称量词，后续结论相反，
所以命题“∃x0>1，x0−2lnx0≤1”的否定为“∀x>1，x−2lnx>1”，
故选：C
3．已知集合A=xx<2,B=1,2，则A∪B=（ ）
A．−∞,2B．−∞,2C．1D．1,2
【答案】B
【分析】根据并集的运算即可求解.
【详解】A集合包含所有小于2的实数，B包含1和2两个元素，所以A∪B=xx≤2，
故选：B.
4．已知向量a,b满足a=2,1,a−b=−1,2，则a⋅b=（ ）
A．−5B．0C．5D．7
【答案】C
【分析】先求出b=a−a−b=3,−1，进而利用向量数量积公式求出答案.
【详解】因为a=2,1,a−b=−1,2，所以b=a−a−b=2,1−−1,2=3,−1，
故a⋅b=2,1⋅3,−1=2×3−1=5.故选：C
5．已知角α的终边经过点P−1,2，则tan2α=（ ）
A．23B．−43C．43D．−2
【答案】C
【分析】先根据三角函数的定义求出tanα，再根据二倍角的正切公式即可得解.
【详解】因为角α的终边经过点P−1,2，所以tanα=−2，所以tan2α=2tanα1−tan2α=43.故选：C.
6．函数fx=x2+2x−3,x≤0−2+lnx,x>0的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】结合分段函数，在各自的范围判断零点个数即可.
【详解】当x≤0时，令x2+2x−3=0，解得：x=−3；
当x>0时，f(x)=lnx−2在(0,+∞)上单调递增，
又f(1)=−2<0,fe3=1>0，所以f(1)⋅fe3<0，
所以f(x)在(0,+∞)上有且只有1个零点；
综上，f(x)在R上有2个零点.故选：C
7．正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成30°角，则此三棱柱的体积为（ ）
A．62B．14C．32D．334
【答案】D
【分析】根据题意，得到BB1⊥底面ABC，得到∠B1AB为AB1与底面ABC所成的角，进而求得三棱柱的底面边长和侧棱长，结合体积公式，即可求解.
【详解】如图所示，设正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为l，
由正三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，
所以∠B1AB为AB1与底面ABC所成的角，所以∠B1AB=30∘，
因为AB1=2，所以AB=2cs30∘=3,BB1=2sin30∘=1，
即正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为a=3，侧棱长为1，
所以三棱柱的体积为V=Sh=34×(3)2×1=334.故选：D.

8．设fx=−x3+a−2x2+x是定义在R上的奇函数，则fa=（ ）
A．−4B．−5C．−6D．−7
【答案】C
【分析】由题意有f1+f−1=2a−2=0，从而可得a=2，进一步可以算出fx=−x3+x，fa=−6.
【详解】由题意fx=−x3+a−2x2+x是定义在R上的奇函数，
则由奇函数的性质可得f1+f−1=−1+a−2+1+1+a−2−1=0，
解得a=2，
所以fx=−x3+x，从而fa=f2=−23+2=−6.
故选：C.
9．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（ ）

A．a的值为0.005
B．估计这组数据的众数为75
C．估计这组数据的第85百分位数为86
D．估计成绩低于60分的有25人
【答案】D
【分析】对A：根据频率之和为1，结合图表数据，计算即可；
对B：找出面积最大的小长方形对应的区间，求得众数即可；
对C：根据百分位数定义，结合数据求解即可；
对D：求得成绩低于60分的频率，结合总人数计算即可.
【详解】对A：10×2a+3a+3a+6a+5a+a=1，
即10×20a=1，a=0.005，故A正确；
对B：由面积最大的小长方形可知，估计这组数据的众数为75，故B正确；
对C：前4组频率之和为14×0.005×10=0.7，
前5组频率之和为19×0.005×10=0.95，
设这组数据的第85百分位数为x，
则0.7+x−80×0.025=0.85，x=86，故C正确；
对D：成绩低于60分的频率为0.025×10=0.25，
故估计成绩低于60分的有1000×0.25=250人，D错误.
故选：D
10．如图所示，在△ABC中，BD=6DC，则AD=（ ）

A．17AB+67ACB．67AB+17AC
C．16AB+56ACD．56AB+16AC
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】根据向量的线性运算法则，可得：
AD=AB+BD=AB+67BC=AB+67AC−AB=17AB+67AC.
故选：A.
11．将函数fx=sin2x+π2的图象向右平移π12个单位长度，则平移后的图象的一条对称轴为（ ）
A．x=−π12B．x=−π6
C．x=π12D．x=π6
【答案】C
【分析】先求出平移后对应的函数解析式，从而可求对称轴的方程，故可得正确的选项.
【详解】将函数f(x)=sin(2x+π2)的图象向右平移π12个单位长度，可得g(x)=cs2x−π6，
令2x−π6=kπ,k∈Z，解得x=kπ2+π12 (k∈Z)，所以对称轴为x=kπ2+π12 (k∈Z)，
当k=0时，x=π12，故C正确，
分别令kπ2+π12=−π12，kπ2+π12=−π6，kπ2+π12=π6，
所得的k分别为−13,−12,16，它们均不为整数，
故ABD不正确.
故选：C.
12．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x=3−2t+1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（ ）万元.
A．45.5B．37.5C．36D．35
【答案】B
【分析】根据题意，得到t=23−x−1(1【详解】依题意，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足x=3−2t+1，
即有t=23−x−1，由t>0，得1因此月利润y=(32×1.5+t2x)x−32x−3−t=16x−t2−3=16x−13−x−52
=45.5−[16(3−x)+13−x]≤45.5−216=37.5，当且仅当16(3−x)=13−x时，即x=114时取等号，
所以当x=114万件时，该公司最大月利润为37.5万元.
故选：B
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分）
13．某商场举行抽奖活动，箱子里有10个大小一样的小球，其中红色的5个，黄色的3个，蓝色的2个，现从中任意取出3个，则其中至少含有两种不同颜色的小球的概率为 .
【答案】109120
【分析】应用组合数求取出3个为同一种颜色的取法、任取3个球的取法，应用古典概型、对立事件概率求法求至少含有两种不同颜色的小球的概率.
【详解】由题意，取出3个为同一种颜色有C53+C33=11种取法，
10个大小一样的小球任取3个球有C103=120种取法，
所以至少含有两种不同颜色的小球的概率为1−11120=109120.
故答案为：109120
14．不等式−x2+3x+10>0的解集为 .
【答案】{x|−2【分析】先把二次项系数化为正，再分解因式即可.
【详解】由−x2+3x+10>0，得x2−3x−10<0，
即x+2x−5<0，解得−2所以不等式的解集为x−2故答案为：x|−215．已知向量a→=(2,1)，b→=(m,2)，若a⊥b，则实数m = ．
【答案】−1
【分析】由a⊥b知：a⋅b=0，根据向量的坐标，表示出向量的数量积，求解即可.
【详解】因为a⊥b，所以a⋅b=0，所以a⋅b=2m+2=0，所以m=−1.
故答案为：−1
16．“a,b是异面直线”是指：
（1）a⊂平面α，b⊂平面β，且a∩b=∅；
（2）a∩b=∅且a,b不平行；
（3）a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β=∅；
（4）a⊂平面α，b⊂平面α；
（5）不存在平面α，使a⊂α且b⊂α．
上述说法中，正确的序号是 ．
【答案】（2）（5）
【分析】根据异面直线定义，逐一判断即可得出正确结论.
【详解】（1）a∩b=∅，即a,b没有交点，但a,b可能平行，得不出a,b是异面直线；
（2）由条件可知a,b没有交点，且a,b也不平行，所以a,b只能是异面直线；
（3）由α∩β=∅可得α//β，此时a,b可能平行，得不出a,b是异面直线；
（4）由a⊂平面α，b⊂平面α可知，a,b可能平行也可能相交，得不出a,b是异面直线；
（5）根据异面直线定义可知，a,b不在同一平面内，即能判断出a,b是异面直线；
故答案为：（2）（5）
三、解答题（本题共5小题，共52分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知函数fx=x2+x，x≥02−x，x<0
(1)若fa=6，求实数a的值；
(2)求函数fx在区间−2,1上的最大值．
【分析】（1）结合所给范围，解相应方程可得答案；（2）分别求函数在大于等于0及小于0的最大值，两者中的较大者即为答案；
【详解】（1）若a≥0，fa=6⇒a2+a−6=0⇒a=2；
若a<0，fa=6⇒2−a=6⇒a=−4.
综上，a=2或a=−4.
（2）当x∈0,1时，fx=x2+x=x+122−14⇒
fx在0,1上单调递增，则此时fxmax=f1=2；
当x∈−2,0时，fx=2−x在−2,0上单调递减，则此时fxmax=f−2=4.
综上，函数fx在区间−2,1上的最大值为4.
18．已知三棱柱ABC-A1B1C1，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，E，F分别为AB1，CB1的中点.
(1)求证：EF∥平面ABC；
(2)求证：AB⊥A1C
【分析】（1）证明思路是先证“线线平行”，再证“线面平行”，
（2）证明思路是先证“线线垂直”，再证“线面垂直”，最后证“线线垂直”.
【详解】（1）证明：在△AB1C中，
因为E，F分别为AB1，CB1的中点
所以EF∥AC
因为EF ⊄ 平面ABC，AC⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC
（2）证明：因为AA1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以AA1⊥AB
因为∠BAC=90°
所以AB⊥AC
又因为AC∩AA1=A
AC⊂平面AA1C1C，AA1⊂平面AA1C1C，
所以AB⊥平面AA1C1C，
因为A1C⊂平面AA1C1C，
所以AB⊥A1C
19．我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛．为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
(1)求出a，b，x，y的值；
(2)在选取的样本中，从成绩是80分以上的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；
(3)根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）．
【分析】（1）利用频率＝频数样本容量×100%，及频率组距表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a，b，x，y；
（2）由（2）可知第四组的人数，已知第五组的人数是2，利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出．
（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差．
【详解】（1）由题意可知，样本容量n＝80.16=50，
∴b＝250＝0.04，
第四组的频数＝50×0.08＝4，
∴a＝50−8−20−2−4＝16.
y＝0.0410＝0.004，x＝1650×110＝0.032．
∴a＝16，b＝0.04，x＝0.032，y＝0.004．
（2）由题意可知，第4组共有4人，记为A，B，C，D，第5组共有2人，记为X，Y．
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，
有AB，AC，AD，BC，BD，CD，AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY，共15种情况．
设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E，
有AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY共9种情况．
所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P（E）＝915=35．
∴随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35．
（3）∵[50，70）的频率为：0.16+0.32＝0.48，
[70，80）的频率为0.4，
∴中位数为：70+0.5−0.480.4×10=70.5，
平均数为：55×0.16+65×0.32+75×0.4+85×0.08+95×0.04＝70.2．
方差为：
55﹣70.22×0.16+65﹣70.22×0.32+75﹣70.22×0.4+85﹣70.22×0.08+95﹣70.22×0.04＝96.96 ．
20．已知△ABC中，a=3，b=2，A=60°．
(1)求sinB；
(2)求c；
(3)求△ABC的面积．
【分析】（1）利用正弦定理求sinB即可；
（2）应用余弦定理列方程求c；
（3）由（2）及三角形面积公式求面积即可.
【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB，可得2sinB=332，解得sinB=33；
（2）由余弦定理csA=b2+c2−a22⋅b⋅c，可得12=22+c2−322×2×c，
整理得c2−2c−5=0，解得c=1±6（舍负），即c=1+6；
（3）由（2）及已知，△ABC的面积S=12b⋅c⋅sinA =12×2×1+6×32=32+32．
21．如图，在△ABC中，点P满足PC=2BP，O是线段AP的中点，过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F.

(1)若AF=AC，求AEEB的值；
(2)若EB=λAE(λ>0),FC=μAF(μ>0)，求1λ+1μ的最小值.
【分析】（1）因为PC=2BP，根据向量的线性运算法则，得到AP=23AB+13AC，根据O是线段AP的中点，得到AO=x3AE+16AC，根据C,O,E三点共线，求得x=52，进而求得AEEB的值；
（2）根据题意，得到AB=1+λAE和AC=1+μAF，结合E,O,F三点共线，求得2λ+μ=3，化简1λ+1μ=133+μλ+2λμ，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：因为PC=2BP，
所以AP=AB+BP=AB+13BC=AB+13BA+AC=23AB+13AC
因为O是线段AP的中点，所以AO=12AP=13AB+16AC，
设AB=xAE，则有AO=x3AE+16AC，
因为C,O,E三点共线，所以x3+16=1，解得x=52，即AE=25AB，
所以EB=35AB，所以AEEB=23.
（2）解：因为AB=AE+EB=AE+λAE=1+λAE，同理可得AC=1+μAF，
由（1）可知，AO=12AP=13AB+16AC，所以AO=1+λ3AE+1+μ6AF，
因为E,O,F三点共线，所以1+λ3+1+μ6=1，即2λ+μ=3，
所以1λ+1μ=131λ+1μ⋅2λ+μ=133+μλ+2λμ≥133+2μλ⋅2λμ=3+223，
当且仅当μ=2λ，即μ=32−3,λ=6−322时取等号，
所以1λ+1μ的最小值为3+223.
组别
分组
频数
频率
第1组
[50，60）
8
0.16
第2组
[60，70）
a
▓
第3组
[70，80）
20
0.40
第4组
[80，90）
▓
0.08
第5组
[90，100]
2
b
合计
▓
▓