2024年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷01

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(考试时间：90分钟，总分：150分)
一、选择题（本大题共12题，每小题6分，共计72分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用集合间交运算即可求解.
【详解】解：，，
.
故选：B.
2．化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由向量的加减运算法则即可求解.
【详解】解：，
故选：A.
3．下列函数中，在区间（0，＋∞）上不是单调函数的是（ ）
A．y＝B． C． D．
【答案】C
【分析】由基本函数的性质分析判断即可
【详解】对于A，在（0，＋∞）上单调递增，所以A错误，
对于B，在（0，＋∞）上单调递增，所以B错误，
对于C，在（0，＋∞）上不是单调函数，所以C正确，
对于D，在（0，＋∞）上单调递增，所以D错误，
故选：C
4．已知等比数列，若，，则（ ）
A．0B．2
C．-2D．-2或2
【答案】D
【分析】根据等比数列的通项公式的基本量的运算，即可求解.
【详解】由题意知，等比数列中，因为，，可得，所以.
故选：D.
5．不等式的解集为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式直接求解即可.
【详解】因为，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
6．已知复数，则的虚部为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】先化简求出，即可得出答案.
【详解】因为，所以的虚部为.
故选：C.
7．已知，是两个不同的平面，，为两条不重合的直线，则下列命题中正确的为（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】C
【分析】根据线线、线面、面面平行或垂直的判定与性质定理进行判断即可．
【详解】解：因为，是两个不同的平面，，为两条不重合的直线，
对于A：若，，，则或或或与相交（不垂直），故A错误；
对于B：若，，，则或与相交，故B错误；
对于C：若，，，面面垂直的判定可知，故C正确；
对于D：若，，，则或与相交，故D错误；
故选：C
8．已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据终边上的点的坐标，用正弦、余弦的定义求解.
【详解】点到原点的距离为，
所以，，
,
故选：A.
9．若正数满足，则的最大值为（ ）
A．9B．18
C．36D．81
【答案】D
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】因为正数满足，
所以，可得，当且仅当等号成立.
故选：D.
10．甲､乙两个样本的方差分别为，，由此反映（ ）
A．样本甲的波动比样本乙大B．样本乙的波动比样本甲大
C．样本甲和样本乙的波动一样大D．样本甲和样本乙的波动大小无法确定
【答案】B
【分析】根据样本方差的定义判断即可.
【详解】解：样本方差的大小反应样本的波动情况，样本方差越大，则样本波动越大，反之波动越小，所以此题样本乙的波动比样本甲的波动大.
故选：B
11．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=lg3（1+x），则f（﹣2）=（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【答案】B
【详解】因为函数f（x）为奇函数，所以．选B．
12．当时，函数与在同一直角坐标系中的图像是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性及二者间的对称性即可得到结果.
【详解】当时，函数与都是减函数，所以观察图像知，D正确．
故选D
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了反函数的性质，属于基础题.
二、填空题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）
13．函数的周期为 .
【答案】
【分析】直接由正弦函数的周期公式求解即可.
【详解】由题，，则，
故答案为：.
14．函数的单调递增区间是 .
【答案】
【分析】先求出函数的定义域，再根据的单调性即可得出.
【详解】令，解得或，所以函数的定义域为，
而函数的对称轴是，
故函数的单调递增区间是.
故答案为：.
15．已知向量．若，则 ．
【答案】/
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由题意知：，解得.
故答案为：.
16．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为 ．
【答案】
【分析】由条件球的半径与圆柱底面圆半径相同，故球的半径为3，进而得圆柱的高，代入体积公式求解．
【详解】设圆柱的底面半径为，球的半径为．由条件有：，圆柱的高为，
所以圆柱的体积为．
故答案为：
17．抛掷两枚硬币，恰好出现一次正面向上的概率是 .
【答案】/0.5
【分析】列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】同时抛掷两枚硬币，可能出现的所有结果有：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）.
恰好出现一次正面向上的概率:.
故答案为：.
18．圆的周长为 .
【答案】
【分析】化为标准式确定半径，即可求周长.
【详解】将圆的方程转化为，半径为3，故圆的周长为.
故答案为：
三、解答题（本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写文字说明，证明过程和演算步骤.）
19．已知中，，，．
(1)求；
(2)求；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理求即可；
（2）应用余弦定理列方程求；
（3）由（2）及三角形面积公式求面积即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理，可得，解得；
（2）由余弦定理，可得，
整理得，解得（舍负），即；
（3）由（2）及已知，的面积．
20．从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图.利用频率分布直方图求：
(1)这50名学生成绩的众数与中位数；
(2)这50名学生的平均成绩.（答案精确到0.1）
【答案】(1)众数为75分，中位数为76.7
(2)76.2
【分析】（1）（2）根据频率分布直方图中众数、中位数、平均数计算规则计算可得；
【详解】（1）解：由众数的概念及频率分布直方图可知，这50名学生成绩的众数为分.
因为数学竞赛成绩在的频率为，
数学竞赛成绩在的频率为，
所以中位数为.
（2）解：这50名学生的平均成绩为
21．如图，已知四棱锥中，是的中点，平面，为等边三角形，，.

(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取中点，连接，，先证明四边形是平行四边形，进而得到，从而求证；
（2）根据为等边三角形，是的中点，可得，根据平面， 可得，进而得到平面，进而结合即可求证.
【详解】（1）取中点，连接，，
因为是的中点，
所以，且，
又 ，，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.

（2）因为为等边三角形，是的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面，
由（1）知，所以平面.
22．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，设y为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求y的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用y达到最小，并求最小值．
【答案】(1)；
(2)当隔热层厚度为时总费用最小万元.
【分析】（1）将建造费用和能源消耗费用相加得出y的解析式；
（2）利用基本不等式得出y的最小值及对应的x的值.
【详解】（1）设隔热层建造厚度为cm，则
，
（2），
当，即时取等号，
所以当隔热层厚度为时总费用最小万元.