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期末真题专项精练-平面向量及其应用（50题）-高一数学下学期期末复习专项精练模拟卷（人教A版必修第二册）
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这是一份期末真题专项精练-平面向量及其应用（50题）-高一数学下学期期末复习专项精练模拟卷（人教A版必修第二册），文件包含期末真题专项精练-平面向量及其应用50题原卷版docx、期末真题专项精练-平面向量及其应用50题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2021·河北张家口·高一期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
2．（2021·湖南邵阳·高一期末）若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ）
A．2B．5C．2或5D．或
3．（2021·广东广州·高一期末）已知，，与的夹角为，则（ ）
A．B．72C．84D．
4．（2021·湖南·武广实验高级中学高一期末）下列四个命题正确的是（ ）
A．两个单位向量一定相等B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
5．（2021·浙江温州·高一期末）已知中，边的中线长为3，若对，恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021·江苏无锡·高一期末）设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·山东青岛·高一期末）在等腰梯形中，，，，为的中点，为线段上的点，则的最小值是（ ）
A．0B．C．D．1
8．（2021·湖南·长沙一中高一期末）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算圆内接正六边形的面积，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·浙江丽水·高一期末）已知平面向量，，，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
10．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）如图，在任意四边形中，其中，，，分别是，的中点，，分别是，的中点，求=（ ）
A．B．C．D．
11．（2021·广东广州·高一期末）已知是三个非零平面向量，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
12．（2021·湖南·长沙一中高一期末）已知是腰长为的等腰直角三角形，点是斜边的中点，点在上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
13．（2021·重庆·高一期末）已知是单位向量，与的夹角是，且， 则=（ ）
A．B．C．D．
14．（2021·湖南·高一期末）已知在中，点在线段的延长线上，若，点在线段上，若，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
15．（2021·湖南·长沙一中高一期末）设，向量，，，则（ ）
A．B．C．D．
16．（2021·江苏常州·高一期末）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，，，与的夹角为，且，与的夹角为135°.若，则（ ）
A．3B．C．-3D．
17．（2021·江苏南京·高一期末）在中，，，，D是内一点，且设，则（ ）
A．B．C．D．
18．（2021·山东淄博·高一期末）在中，角A，，的对边分别为，，，且，若的面积，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
19．（2021·浙江温州·高一期末）已知平面向量，，（与不共线），满足，，设，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
20．（2021·重庆·高一期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则( )
A．B．C．D．
二、多选题
21．（2021·山东青岛·高一期末）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知，均为非零向量，若，则存在唯一实数，使得
B．在中，若，则点为边上的中点
C．已知，均为非零向量，若，则
D．若且，则
22．（2021·湖南·长沙一中高一期末）已如正三角形的边长为，设为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．与的夹角为B．
C．D．
23．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）在中，．若，则的值可以等于（ ）
A．B．C．2D．3
24．（2021·江苏南通·高一期末）已知是所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为锐角三角形
C．若，则，，三点共线
D．若，，则
25．（2021·广东阳江·高一期末）设向量＝(k，2)，＝(1，－1)，则下列叙述错误的是（ ）
A．若k<－2，则与的夹角为钝角
B．||的最小值为2
C．与共线的单位向量只有一个为
D．若||＝2||，则k＝或－
26．（2021·重庆·高一期末）在中，内角所对的边分别为，的面积为．下列与有关的结论，正确的是（ ）
A．若，，，则或
B．若为锐角三角形，则
C．若为的外接圆半径，则
D．若，，则是直角三角形
27．（2021·广东·仲元中学高一期末）已知向量，，则（ ）
A．与的夹角余弦值为
B．
C．向量在向量上的投影向量的模为
D．若，则
28．（2021·浙江省桐庐中学高一期末）下列说法不正确的是（ ）
A．已知均为非零向量，则 存在唯一的实数，使得
B．若向量共线，则点必在同一直线上
C．若且，则
D．若点为的重心，则
29．（2021·河北衡水中学高一期末）在△中，，则（ ）
A．B．
C．D．
30．（2021·江苏常州·高一期末）下列命题正确的有（ ）．
A．
B．若，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为
C．在中，若点满足，则点是的重心
D．在中，若，则点的轨迹经过的内心
三、填空题
31．（2021·河北张家口·高一期末）在中，，，，点P是线段上一动点，则的最小值是______.
32．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高一期末）已知向量，，，若，则__________．
33．（2021·湖北·高一期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为______________．
34．（2021·湖南·长沙一中高一期末）已知向量，，若与共线，则实数________．
35．（2021·广东佛山·高一期末）如图，在正方形中，其边长为，点为线段上的动点，则＝______．
36．（2021·浙江杭州·高一期末）已知，向量满足，当向量，夹角最大时，_________．
37．（2021·江苏宿迁·高一期末）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得m，，，，则两点的距离为______m．
38．（2021·江苏南京·高一期末）在中，，，，D、E在边所在直线上，且满足，．则_______．
39．（2021·浙江湖州·高一期末）已知单位向量，，满足，记，则对任意λ∈R，的最小值是________________．
40．（2021·江苏徐州·高一期末）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设若，则λ-μ的值为___________
四、解答题
41．（2021·广东佛山·高一期末）在条件：①，②③，．且，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：
中，内角，，所对边长分别是，，．若，，______．求的面积．
（选择多个条件时，按你第一个选择结果给分）
42．（2021·重庆·高一期末）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.
(1)求线段，的长；
(2)求的余弦值.
43．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期末）如图，正三角形的边长为4，D，E，F分别在线段上，且D为的中点，.
(1)若，求三角形的面积.
(2)求三角形面积的最小值.
44．（2021·广东广州·高一期末）如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D．现测得米，在点C测得塔顶A的仰角为，
(1)求的面积；
(2)求塔高．
45．（2021·河北张家口·高一期末）在锐角中，三个内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的范围.
46．（2021·广东·深圳外国语学校高一期末）已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若与的夹角是锐角，求实数的取值范围．
47．（2021·河北安平中学高一期末）在①，②，③，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
已知向量，， ，若，，且，求．
48．（2021·湖南邵阳·高一期末）在①；②；③这三个条件中，任选一个补充在下列问题中，并给出解答．
在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，____________．
（1）求B；
（2）若，求周长的最大值．
49．（2021·江苏南京·高一期末）当时，将，，……称为一组连续正整数
（1）是否存在这样的三角形，其三边为一组连续正整数，且最大角是最小角的两倍？若存在，求出所有符合条件的三角形，若不存在，请说明理由；
（2）若一个凸四边形的四条边依次为连续正整数5，6，7，8，求该四边形面积的最大值．
50．（2021·山东青岛·高一期末）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）．
（1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍．
（i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求．
（ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？
一、单选题
1．（2021·河北张家口·高一期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
2．（2021·湖南邵阳·高一期末）若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ）
A．2B．5C．2或5D．或
3．（2021·广东广州·高一期末）已知，，与的夹角为，则（ ）
A．B．72C．84D．
4．（2021·湖南·武广实验高级中学高一期末）下列四个命题正确的是（ ）
A．两个单位向量一定相等B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
5．（2021·浙江温州·高一期末）已知中，边的中线长为3，若对，恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021·江苏无锡·高一期末）设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·山东青岛·高一期末）在等腰梯形中，，，，为的中点，为线段上的点，则的最小值是（ ）
A．0B．C．D．1
8．（2021·湖南·长沙一中高一期末）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算圆内接正六边形的面积，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·浙江丽水·高一期末）已知平面向量，，，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
10．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）如图，在任意四边形中，其中，，，分别是，的中点，，分别是，的中点，求=（ ）
A．B．C．D．
11．（2021·广东广州·高一期末）已知是三个非零平面向量，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
12．（2021·湖南·长沙一中高一期末）已知是腰长为的等腰直角三角形，点是斜边的中点，点在上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
13．（2021·重庆·高一期末）已知是单位向量，与的夹角是，且， 则=（ ）
A．B．C．D．
14．（2021·湖南·高一期末）已知在中，点在线段的延长线上，若，点在线段上，若，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
15．（2021·湖南·长沙一中高一期末）设，向量，，，则（ ）
A．B．C．D．
16．（2021·江苏常州·高一期末）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，，，与的夹角为，且，与的夹角为135°.若，则（ ）
A．3B．C．-3D．
17．（2021·江苏南京·高一期末）在中，，，，D是内一点，且设，则（ ）
A．B．C．D．
18．（2021·山东淄博·高一期末）在中，角A，，的对边分别为，，，且，若的面积，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
19．（2021·浙江温州·高一期末）已知平面向量，，（与不共线），满足，，设，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
20．（2021·重庆·高一期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则( )
A．B．C．D．
二、多选题
21．（2021·山东青岛·高一期末）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知，均为非零向量，若，则存在唯一实数，使得
B．在中，若，则点为边上的中点
C．已知，均为非零向量，若，则
D．若且，则
22．（2021·湖南·长沙一中高一期末）已如正三角形的边长为，设为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．与的夹角为B．
C．D．
23．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）在中，．若，则的值可以等于（ ）
A．B．C．2D．3
24．（2021·江苏南通·高一期末）已知是所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为锐角三角形
C．若，则，，三点共线
D．若，，则
25．（2021·广东阳江·高一期末）设向量＝(k，2)，＝(1，－1)，则下列叙述错误的是（ ）
A．若k<－2，则与的夹角为钝角
B．||的最小值为2
C．与共线的单位向量只有一个为
D．若||＝2||，则k＝或－
26．（2021·重庆·高一期末）在中，内角所对的边分别为，的面积为．下列与有关的结论，正确的是（ ）
A．若，，，则或
B．若为锐角三角形，则
C．若为的外接圆半径，则
D．若，，则是直角三角形
27．（2021·广东·仲元中学高一期末）已知向量，，则（ ）
A．与的夹角余弦值为
B．
C．向量在向量上的投影向量的模为
D．若，则
28．（2021·浙江省桐庐中学高一期末）下列说法不正确的是（ ）
A．已知均为非零向量，则 存在唯一的实数，使得
B．若向量共线，则点必在同一直线上
C．若且，则
D．若点为的重心，则
29．（2021·河北衡水中学高一期末）在△中，，则（ ）
A．B．
C．D．
30．（2021·江苏常州·高一期末）下列命题正确的有（ ）．
A．
B．若，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为
C．在中，若点满足，则点是的重心
D．在中，若，则点的轨迹经过的内心
三、填空题
31．（2021·河北张家口·高一期末）在中，，，，点P是线段上一动点，则的最小值是______.
32．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高一期末）已知向量，，，若，则__________．
33．（2021·湖北·高一期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为______________．
34．（2021·湖南·长沙一中高一期末）已知向量，，若与共线，则实数________．
35．（2021·广东佛山·高一期末）如图，在正方形中，其边长为，点为线段上的动点，则＝______．
36．（2021·浙江杭州·高一期末）已知，向量满足，当向量，夹角最大时，_________．
37．（2021·江苏宿迁·高一期末）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得m，，，，则两点的距离为______m．
38．（2021·江苏南京·高一期末）在中，，，，D、E在边所在直线上，且满足，．则_______．
39．（2021·浙江湖州·高一期末）已知单位向量，，满足，记，则对任意λ∈R，的最小值是________________．
40．（2021·江苏徐州·高一期末）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设若，则λ-μ的值为___________
四、解答题
41．（2021·广东佛山·高一期末）在条件：①，②③，．且，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：
中，内角，，所对边长分别是，，．若，，______．求的面积．
（选择多个条件时，按你第一个选择结果给分）
42．（2021·重庆·高一期末）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.
(1)求线段，的长；
(2)求的余弦值.
43．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期末）如图，正三角形的边长为4，D，E，F分别在线段上，且D为的中点，.
(1)若，求三角形的面积.
(2)求三角形面积的最小值.
44．（2021·广东广州·高一期末）如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D．现测得米，在点C测得塔顶A的仰角为，
(1)求的面积；
(2)求塔高．
45．（2021·河北张家口·高一期末）在锐角中，三个内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的范围.
46．（2021·广东·深圳外国语学校高一期末）已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若与的夹角是锐角，求实数的取值范围．
47．（2021·河北安平中学高一期末）在①，②，③，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
已知向量，， ，若，，且，求．
48．（2021·湖南邵阳·高一期末）在①；②；③这三个条件中，任选一个补充在下列问题中，并给出解答．
在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，____________．
（1）求B；
（2）若，求周长的最大值．
49．（2021·江苏南京·高一期末）当时，将，，……称为一组连续正整数
（1）是否存在这样的三角形，其三边为一组连续正整数，且最大角是最小角的两倍？若存在，求出所有符合条件的三角形，若不存在，请说明理由；
（2）若一个凸四边形的四条边依次为连续正整数5，6，7，8，求该四边形面积的最大值．
50．（2021·山东青岛·高一期末）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）．
（1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍．
（i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求．
（ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？
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