人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆优秀课时作业

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆优秀课时作业，文件包含人教A版高中数学选择性必修一同步培优讲义专题33椭圆的简单几何性质-重难点题型精讲教师版doc、人教A版高中数学选择性必修一同步培优讲义专题33椭圆的简单几何性质-重难点题型精讲原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。


1．椭圆的范围
设椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范
围.
(1)从形的角度看：椭圆位于直线x= SKIPIF 1 < 0 a和y= SKIPIF 1 < 0 b所围成的矩形框里.
(2)从数的角度看：利用方程研究，易知 SKIPIF 1 < 0 =1- SKIPIF 1 < 0 ≥0，故 SKIPIF 1 < 0 ≤1，即-a≤x≤a； SKIPIF 1 < 0 =1- SKIPIF 1 < 0 ≥0，故 SKIPIF 1 < 0 ≤1，
即-b≤y≤b.
2．椭圆的对称性
(1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.
(2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 SKIPIF 1 < 0 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点
P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点 SKIPIF 1 < 0 (x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.
3．椭圆的顶点与长轴、短轴
以椭圆的标准方程 SKIPIF 1 < 0 (a>b>0)为例.
(1)顶点
令x=0，得y= SKIPIF 1 < 0 b；令y=0，得x= SKIPIF 1 < 0 a.
这说明 SKIPIF 1 < 0 (-a,0)， SKIPIF 1 < 0 (a,0)是椭圆与x轴的两个交点， SKIPIF 1 < 0 (0,-b), SKIPIF 1 < 0 (0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x
轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.
(2)长轴、短轴
线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别叫作椭圆的长轴和短轴.
长轴长 SKIPIF 1 < 0 =2a，短轴长 SKIPIF 1 < 0 =2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
4．椭圆的离心率
(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比 SKIPIF 1 < 0 称为椭圆的离心率.用e表示，即e= SKIPIF 1 < 0 .
(2)离心率的范围：0(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.
当e越接近于1时，c越接近于a，从而b= SKIPIF 1 < 0 越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接
近于0，从而b= SKIPIF 1 < 0 越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
5．椭圆的几何性质的挖掘
(1)椭圆的通径：
过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径，通径长为 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
说明：无论焦点在x轴上还是在y轴上，椭圆的通径长均为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点.
(3)椭圆的焦半径
a.焦半径定义：椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径.
b.焦半径公式：
已知点P在椭圆上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是左(下)、右(上)焦点，
当焦点在x轴上时， SKIPIF 1 < 0 =a+ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 =a- SKIPIF 1 < 0 ；当焦点在y轴上时， SKIPIF 1 < 0 =a+ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 =a- SKIPIF 1 < 0 .
【题型1 利用椭圆的几何性质求标准方程】
【方法点拨】
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：a.确定焦点的位置；b.设
出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；c.根据已知条件构造关于参数的
关系式，利用方程(组)求参数.列方程(组)时常用的关系式有 SKIPIF 1 < 0 ，e= SKIPIF 1 < 0 等.
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆的
标准方程可能有两个.
【例1】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知椭圆的焦距为2，离心率，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由已知条件可得与的值，进而得的值，然后得标准方程.
【解答过程】由于2c=2,所以c=1,
又因为，故，
，所以椭圆的标准方程为：.
故选：C.
【变式1-1】（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【解答过程】解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）焦点在轴上，长轴长为10，离心率为的椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据长轴长算出后，由离心率可得的值，从而可得椭圆的标准方程.
【解答过程】因为长轴长为，故长半轴长，因为，所以半焦距，
故，
又焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为，
故选：D.
【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
【解题思路】讨论焦点在轴和轴两种情况，根据已知计算即可得出结果.
【解答过程】当椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为，由离心率为，
∴
∵椭圆过点（2，0），∴，∴ ，∴ ，
∴椭圆标准方程为
当椭圆的焦点在y轴上，同理易得：
故选：D.
【题型2 椭圆的焦距与长轴、短轴】
【方法点拨】
根据已知条件，结合椭圆的焦距与长轴、短轴等知识，进行求解即可.
【例2】（2022·全国·高二课时练习）椭圆的长轴长、短轴长和焦点坐标依次为（ ）．
A．，，B．，，C．，，D．，，
【解题思路】根据椭圆中长轴长、短轴长和焦点坐标的定义可答案.
【解答过程】在椭圆中， ，
所以椭圆的长轴长为 、短轴长为，焦点坐标为 ，
故选：A.
【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆与，则两个椭圆（ ）
A．有相同的长轴与短轴B．有相同的焦距
C．有相同的焦点D．有相同的离心率
【解题思路】根据椭圆的标准方程，可得以及离心率的值，即可求解.
【解答过程】将椭圆方程整理得，
其焦点在轴上，，，则，所以．
将椭圆方程整理得，其焦点在轴上，，，
则，所以，
故选:D．
【变式2-2】（2021·重庆市高二阶段练习）椭圆的焦距为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据椭圆的方程求得的值，即可求得焦距的值，得到答案.
【解答过程】由椭圆，可得，则，
所以椭圆的焦距为.
故选：D.
【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（ ）．
A．有相等的长轴长B．有相等的焦距
C．有相等的短轴长D．长轴长与焦距之比相等
【解题思路】分别求出椭圆与椭圆的长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标和离心率，由此能求出结果．
【解答过程】解：椭圆，可知，，，
长轴长是10，短轴长是6；焦距是8；焦点坐标是；离心率是：．
椭圆中，
，，，
长轴长是，短轴长是；焦距是8；焦点坐标是；离心率是．
椭圆与椭圆关系为有相等的焦距．
故选：B．
【题型3 求椭圆的离心率或其取值范围】
【方法点拨】
求椭圆的离心率通常有如下两种方法：
①若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定 SKIPIF 1 < 0 ，求出a，c的值，利用公式e= SKIPIF 1 < 0 直接求解；
②若椭圆方程未知，则根据条件及几何图形建立a，b，c，e满足的关系式，化为a，c的齐次方程，得出
a，c的关系或化为e的方程求解，此时要注意e∈(0,1).
【例3】（2022·江苏·高二阶段练习）已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是（ ）
A．B．或C．或D．或
【解题思路】对焦点所在位置进行分类讨论，利用、进行求解.
【解答过程】因为椭圆的焦距是2，所以，
当椭圆焦点在轴上，，所以，
当椭圆焦点在轴上，，所以，故A，C，D错误.
故选：B.
【变式3-1】（2022·安徽蚌埠·一模）若椭圆上存在两点到点的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用点差法可得直线AB的斜率，从而可得AB垂直平分线直线方程，由点P在AB垂直平分线上，结合AB的中点在椭圆内可解.
【解答过程】记中点为，则，
由题意点在线段的中垂线上，
将坐标代入椭圆方程得
两式相减可得，
所以，得，
所以的中垂线的方程为，令得，
由题意，，故，所以
所以
故选：B.
【变式3-2】（2022·江西省高二阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】设，则，利用勾股定理求出，再解方程即得解.
【解答过程】解：依题意作下图，由于，并且线段MN，互相平分，
∴四边形是矩形，其中，，
设，则，
根据勾股定理，，，
整理得，
由于点M在第一象限，，
由，得，即，
整理得，即，解得.
故选：C．
【变式3-3】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】先由椭圆的定义结合已知求得，再由求得的不等关系，即可求得离心率的取值范围.
【解答过程】由椭圆的定义得，又∵，∴，，
而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，
即，即，则，即.
故选：D．
【题型4 根据椭圆的离心率求参数】
【方法点拨】
根据椭圆的离心率和已知条件及几何图形建立a，b，c，e满足的关系式，得出含有参数的有关a，c的关
系式或化为e的方程，即可求解，此时要注意e∈(0,1).
【例4】（2022·全国·高三专题练习）若椭圆的离心率为，则的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【解题思路】分和，利用离心率的定义求解.
【解答过程】解：当，即时，则，解得；
当，即时，则，解得，
综上：的值为或，
故选：C.
【变式4-1】（2022·甘肃定西·高二开学考试（理））如果椭圆的离心率为，则（ ）
A．B．或C．D．或
【解题思路】分焦点在x轴和在y轴两种情况，分别得到a,b的表达式，进而求得c的表达式，然后根据离心率得到关于k的方程，求解即可．
【解答过程】解：因为椭圆的离心率为，
当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得，
当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得．
或.
故选：B．
【变式4-2】（2021·甘肃·高二阶段练习（理））“”是“椭圆的离心率为”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】椭圆离心率为，可得：时，，或时，，解得m即可判断出结论．
【解答过程】椭圆离心率为，可得：
时，，；
时，，
总之或．“”是“椭圆离心率为”的充分不必要条件．
故选：A．
【变式4-3】（2022·全国·高二课时练习）设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【解题思路】利用椭圆的离心率公式进行求解即可.
【解答过程】当焦点在x轴时，
，
当焦点在y轴时，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
【题型5 椭圆中的最值问题】
【方法点拨】
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几
何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一
个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及
三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【例5】（2020·广西·高二阶段练习（文））若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上点的任意一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】设点，可得出，且有，利用平面向量的数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最大值.
【解答过程】由椭圆方程得，设，则，
为椭圆上一点，，可得，且有，
．
因为，当时，取得最大值.
故选：B.
【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（ ）
A．1B．C．D．
【解题思路】根据椭圆的性质可得椭圆上的点到右焦点距离最小值为，即可求出，再根据，即可得解；
【解答过程】解：根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为，
即 ，又，所以，
由，所以；
故选：A.
【变式5-2】（2022·重庆八中模拟预测）已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（ ）
A．2B．C．4D．
【解题思路】椭圆上的点P满足，找到取等时点P位置即可求出最大值.
【解答过程】椭圆上的点P满足，
当点P为的延长线与C的交点时，
达到最大值，最大值为．
故选：B.
【变式5-3】（2022·河南洛阳·三模（理））已知点是椭圆：上异于顶点的动点，，分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为的中点，的平分线与直线交于点，则四边形的面积的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．
【解题思路】由题，结合角平分线性质与椭圆的性质，，为到的距离，又是的中位线，故，结合余弦定理，设，即可表示出，即可讨论最值.
【解答过程】
由图，，，故，，又平分，则到、的距离相等，设为，则，
设，则，，由是的中位线，易得，即，由椭圆性质易知，存在点为椭圆上异于顶点的动点，使，此时最大，且为2，
故选：B.
【题型6 椭圆的实际应用问题】
对于椭圆的实际应用问题，结合具体条件建立坐标系，得出椭圆的基本量或基本量之间的关系，利用椭圆
的性质进行求解，注意要满足实际情况.
【例6】（2021春•浙江期中）如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为12厘米，底面半径为2厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】设椭圆方程为1（a＞b＞0），由题意求出a，b，c，由此能求出该椭圆的离心率．
【解答过程】解：不妨设椭圆方程为1（a＞b＞0），
由题意得，
解得a＝4，b＝2，c2，
∴该椭圆的离心率为e．
故选：B．
【变式6-1】（2021春•山东期末）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】过P（x0，y0）且与椭圆相切的直线方程为，利用这一结论分别设出过C点和D点与椭圆相切的直线方程，
分别代入A，B坐标，求出C，D的坐标，进而表示出直线AC和直线BD的斜率，再代入求出a，b的关系式，进而求出离心率．
【解答过程】解：设内圈椭圆的方程为，外圈椭圆的方程为，其中m＞1，
则A（﹣ma，0），B（0，mb），设C（xC，yC），D（xD，yD）．
过C点且与内圈椭圆相切的直线方程为，代入A点坐标，整理得，
代入且yC＜0，解得，所以；
过D点且与内圈椭圆相切的直线方程为，代入B点坐标，整理得，
代入且xD＞0，解得，所以．
所以，．
故选：D．
【变式6-2】（2021·江苏南通·高二期中）某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.
（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽至少是多少米？（结果取整数）
（2）如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数）
参考数据：，椭圆的面积公式为，其中，分别为椭圆的长半轴和短半轴长.
【解题思路】（1）建立直角坐标系，设椭圆方程为，根据对称性，将点代入椭圆方程，即可求解；
（2）由点在椭圆上或在椭圆内，得，利用基本不等式，即可求出椭圆的面积的最小值，根据体积公式，即可求解.
【解答过程】（1）建立直角坐标系如图所示，
则点在椭圆上，
将与点代入椭圆方程，得，
此时，
因此隧道设计的拱宽至少是22米.

（2）由椭圆方程，得，
因为，即，，
由于隧道长度为1.5千米，故隧道的土方工程量，
当取得最小值时，有且，得，，
此时，.
①若，此时，此时，
②若，此时，此时，
因为，故当拱高为7米、拱宽为18米时，土方工程量最小.
【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）已知地球绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，长轴长约为，椭圆焦距与长轴长的比约为．求地球的轨道中心与太阳间的距离以及近日点和远日点到太阳的距离（地球与太阳的半径忽略不计，精确到）．
【解题思路】由题意求出，再由椭圆的性质即可得出答案.
【解答过程】因为椭圆的长轴长为 ，所以 ，
又因为椭圆焦距与长轴长的比约为，所以，
则 ，
所以地球的轨道中心与太阳间的距离 ，
所以近日点到太阳的距离为 ，
所以远日点到太阳的距离为 .
故轨道中心与太阳间距离；近日点到太阳的距离；远日点到太阳的距离.