数学选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式巩固练习

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1．（3分）（2022·江苏·高二专题练习）直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由题可得和平行，设出方程，根据点P到两直线距离相等即可求出.
【解答过程】因为和关于点对称，则两直线平行，可设方程为（），
点P到两直线的距离相等，则，解得或3（舍去），
所以直线的方程是.
故选：A.
2．（3分）（2022·全国·高三专题练习）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据两直线关于点对称，利用中点公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上.
【解答过程】由题设，关于对称的点必在上，若该点为，
∴，解得，即一定在直线上.
故选：C.
3．（3分）（2021·辽宁高二阶段练习）两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据题意，设所求直线上任一点M（x，y）且M关于直线的对称点，，利用轴对称的性质列出方程组解出用、表示、的式子，再由点在直线上代入，化简即得所求对称直线方程；
【解答过程】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，，
则，解出
点在直线上， 将式代入，得，
化简得，即为关于对称的直线方程．
故选：C
4．（3分）（2021·全国·高二单元测试）已知直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由直线与直线的交点在直线上可设直线，在直线上取一点，由该点到直线与的距离相等列方程即可得解.
【解答过程】联立，解得，
所以直线与直线的交点为，
所以点在直线上，
所以可设直线即，
在直线上取一点，则该点到直线与的距离相等，
所以，解得或（舍去）.
所以直线的斜率为.
故选：D.
5．（3分）（2022·全国·高二课时练习）若点与关于直线对称，则实数a，b的值分别为（ ）
A．，2B．4，C．2，4D．4，2
【解题思路】由直线与已知直线垂直，及的中点在已知直线上列方程组可得．
【解答过程】因为点.A，B关于直线对称，所以A，B两点所在直线的斜率，即，即.
易知线段的中点在直线上，所以，所以，所以.
故选：D．
6．（3分）（2022·全国·高二课时练习）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解.
【解答过程】因为直线：与：，
所以，
又两条平行直线：与：之间的距离是，
所以解得
即直线：，：，
设直线关于直线对称的直线方程为，
则，解得，
故所求直线方程为，
故选：A.
7．（3分）（2020·全国·高二课时练习）在等腰直角三角形中，，点P是边上异于A、B的一点，光线从点P出发，经、反射后又回到点P（如图所示），若光线经过的重心，则（ ）
A．1B．C．D．
【解题思路】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于直线过的重心，利用代入法可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．
【解答过程】建立如图所示的直角坐标系：
可得，故直线BC的方程为，
的重心为，即
设，其中，
则点P关于直线BC的对称点，满足，
解得，即，P关于y轴的对称点，
由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，
直线QR的斜率为k，故直线QR的方程为，
由于直线QR过的重心，代入化简可得，
解得，或（舍去），故，故
故选：C.
8．（3分）（2022·江苏·高二课时练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解.
【解答过程】如图，设关于直线对称的点为，
则有 ，可得，可得，
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，
此时，
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·江苏·高二开学考试）一光线过点（2，4），经倾斜角为135°的直线l：反射后经过点（5，0），则反射光线还经过下列哪些点（ ）
A．B．（14，1）C．（13，2）D．（13，1）
【解题思路】先求点关于直线的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验
【解答过程】由题意知，，设点（2，4）关于直线的对称点为（m，n），
则，解得，所以反射光线所在的直线方程为，
所以当x＝13时，y＝1；当x＝14时，，
故选：AD.
10．（4分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点关于直线的对称点为
C．直线关于直线的对称直线的方程为
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
【解题思路】对A，求出与坐标轴的交点坐标，即可求出三角形面积；对B，判断两个点的中点是否在直线上以及求出连线斜率判断是否和直线垂直即可；对C，求出直线的对称直线即可判断；对D，可得直线过原点的情况.
【解答过程】对A，直线与两坐标轴交于，，所以围成的三角形面积为，故A正确；
对B，点和的中点在直线上，且连线的斜率为，可得与直线垂直，所以点关于直线的对称点为，故B正确；
对C，联立直线方程可得交点坐标，任取直线上点，设其对称点为，则，解得，故对称直线的斜率为，故方程为，即，故C错误.
对D，若直线经过原点，满足题意，此时的直线方程为，故D错误.
故选：AB.
11．（4分）（2021·重庆·高二期中）已知点与直线，下列说法正确的是（ ）
A．过点且截距相等的直线与直线一定垂直
B．过点且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线有4条
C．点关于直线的对称点坐标为
D．直线关于点对称直线方程为
【解题思路】对于A：直接求出过点且截距相等的直线，即可判断；
对于B：直接求出过点且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线；
对于C：直接求出点关于直线的对称点坐标，即可判断；
对于D：直接求出直线关于点对称直线方程，即可判断.
【解答过程】已知点与直线.
对于A：当截距为0时，直线与直线垂直；
当截距相等且不为0时，可设直线：，把代入，无解.
所以过点且截距相等的直线与直线垂直.故A正确；
对于B：过点的直线与坐标轴围成三角形存在，所以斜率必存在，可设其为k，则直线为，所以三角形的面积为，解得：或，所以符合题意的直线有4条.故B正确；
对于C：设点关于直线的对称点坐标，则有，解得：，
即点关于直线的对称点坐标.故C错误；
对于D：设直线关于点对称直线方程为，则有，解得c=3，即设直线关于点对称直线方程为.故D错误.
故选：AB.
12．（4分）（2022·全国·高三专题练习）一条斜率不为0的直线，令，则直线l的方程可表示为.现光线沿直线l射到x轴上的点，反射后射到y轴上的点，再经反射后沿直线射出.若和中和y的系数相同，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】首先利用对称性，先求出 ，和，再根据选项，代入点的坐标，判断选项.
【解答过程】由题意知的图象过点和，所以直线，
，又和中和y的系数相同，且的图象过，所以.
对于A，，所以A正确；
对于B，，
，所以，选项B正确；
对于C，，所以C错误；
对于D，，，所以D错误.
故选AB.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·江苏·高二专题练习）点关于点对称的点的坐标为 ．
【解题思路】由中点坐标公式求解即可
【解答过程】设点关于点对称的点为，
则点为的中点．

解得．
点关于点对称的点的坐标为．
故答案为：．
14．（4分）（2020·全国·高二课时练习）点关于直线的对称点是，关于原点O的对称点是，则 ．
【解题思路】利用已知条件求出、坐标，再利用两点间距离公式可求
【解答过程】因为点关于直线的对称点是
所以，
又因为关于原点O的对称点是
所以，
所以．
故答案为：.
15．（4分）（2022·全国·高二专题练习）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射回到时点，则光线所经过的路程为 ．
【解题思路】求出关于轴对称点坐标，再求得关于直线的对称点坐标，线段的长即为所求路程．
【解答过程】直线的方程为：
点关于轴的对称点，
设点关于直线的对称点，
则，，解得，．
，
光线所经过的路程．
故答案为：．
16．（4分）（2022·全国·高二课时练习）唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，怎样走才能使总路程最短？在平面角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为 .
【解题思路】求出点P关于直线的对称点的坐标，设直线上任一点N，当且仅当Q，N，三点共线时取最小值，可得最短距离．
【解答过程】设点关于直线的对称点的坐标为
则解得：，
所以，
设，设直线上的点，则
则当且仅当Q，N，三点共线时取等号，
而，
所以最短总路程为，
故答案为：．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l ：， P（3，-1），当k为1时，求直线l关于点P的对称直线l′，并求直线l与l′间的距离
【解题思路】在直线上取两个特殊点，分别求出这两个点关于点的对称点，再根据两点式可求出直线的方程，根据两平行直线间的距离公式可求出两平行直线间的距离.
【解答过程】当时,直线，
在直线上取点和，
点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，
则点和点在直线上，
由两点式可得直线的方程：，即，
此时直线与间的距离为.
18．（6分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）已知点，直线，直线.
(1)求点A关于直线的对称点B的坐标；
(2)求直线关于直线的对称直线方程.
【解题思路】（1）设点，则由题意可得，解方程组求出，从而可得点B的坐标，
（2）先求出两直线的交点坐标，再在直线上任取一点，求出其关于直线的对称点，从而可求出直线关于直线的对称直线方程
【解答过程】（1）
设点，则由题意可得，
解得，
所以点B的坐标为，
（2）
由，得，所以两直线交于点，
在直线上取一点，设其关于直线的对称点为，则
，解得，即，
所以，
所以直线为，即，
所以直线关于直线的对称直线方程为.
19．（8分）（2023·全国·高三专题练习）已知直线，点．求：
(1)点关于直线的对称点的坐标；
(2)直线关于直线对称的直线的方程；
(3)直线关于点对称的直线的方程．
【解题思路】（1）根据斜率，中点关系，得出求解即可．
（2）先求出直线与直线的交点，在直线上取一点，如，结合对称性求出关于直线的对称点，即可求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程．
（3）利用直线关于点的对称的直线上的点的关系求解．
【解答过程】（1）
解：因为点，设点关于直线的对称点的坐标为，，
直线，

解得，所以，
（2）
解：设直线与直线的交点为，
联立直线与直线，，解得，所以；
在直线上取一点，如，
则关于直线的对称点必在直线上，
设对称点，则，解得，所以，
经过点，所以
所以直线的方程为整理得．
（3）
解：设直线关于点对称的直线的点的坐标为，
关于点对称点为，
在直线上，
代入直线方程得：，所以直线的方程为：．
20．（8分）（2022·全国·高二课时练习）一条光线从点P（6，4）射出，与x轴相交于点（2，0），经x轴反射后与y轴交于点H.
(1)求反射光线QH所在直线的方程；
(2)求P点关于直线QH的对称点P'的坐标.
【解题思路】（1）直接利用点关于线的对称，求出对称的点的坐标，再利用反射定理，求出直线的方程．
（2）根据点关于线对称的性质列出方程组，通过解方程组求得点P'的坐标．
【解答过程】（1）
如图所示，作点P（6，4）关于轴的对称点的坐标P（6，﹣4），
则反射光线所在的直线过点P′和Q，
所以kP′Q1，
所以直线P′Q的直线方程为y＝﹣（x﹣2）．
所以反射光线QH所在的直线方程为y＝﹣x+2．
（2）
假设P'（x0，y0），
由点关于线对称的性质可得：．
可得x0＝﹣2，y0＝﹣4．
所以P'（﹣2，﹣4）．
21．（8分）（2021·江苏连云港·高二期中）已知直线经过两条直线和的交点，且________，若直线与直线关于点对称，求直线的方程．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分．①与直线垂直；②在轴上的截距为．
【解题思路】选①可设直线的方程，求出交点并代入即可求出直线l的方程，在直线上取两点，再利用点的对称即可求解；选②，由点斜式即可求出直线l的方程，在直线上取两点，再利用点的对称即可求解.
【解答过程】因为方程组的解为，
所以两条直线和的交点坐标为．
若选①，可设直线l的方程为，
点代入方程可得，即l：．
在直线l上取两点和，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为（0，0），
所以直线m的方程为．
若选②，可得直线l的斜率，
所以直线l的方程为．
在直线l上取两点和，点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
所以直线m的方程为，即．
22．（8分）（2021·全国·高二课时练习）已知直线，一束光线从点处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A．
(1)试判断由此得到的的个数；
(2)求直线BC的方程．
【解题思路】（1）利用点关于直线的对称点解决问题；（2）由第一问的基础上求解直线BC的方程.
【解答过程】(1)
如图，设，点A关于x轴的对称点为，点B关于直线的对称点为．
根据光学知识，直线AB′与直线BC关于直线l对称，点C在直线上，点C又在直线上，又直线的方程为，
由得．
又直线的方程为，
由得．
所以，即，
解得或-3．
当时，符合题意；
当时，点B在直线上，不能构成三角形．
综上，符合题意的只有1个．
(2)由（1）得，则直线的方程为，
即直线BC的方程为．