数学九年级下册7.6 用锐角三角函数解决问题精品课时训练

这是一份数学九年级下册7.6 用锐角三角函数解决问题精品课时训练，文件包含76用锐角三角函数解决问题-九年级数学下册同步课堂帮帮帮苏科版原卷版docx、76用锐角三角函数解决问题-九年级数学下册同步课堂帮帮帮苏科版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。

在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角，如下图所示：
例：如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（ ）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A．6.29B．4.71C．4D．5.33
【解答】A
【解析】过点D作DM⊥BC，垂足为M，由题意得，
∠B＝37°，∠ADF＝53°，BE＝4，EM＝1，
∵坡面DE的坡度为1，
∴DMEM=1，
∴DM＝EM＝1＝FC，
在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣53°＝37°，
∵tan∠DAF=DFAF≈0.75，
设AF＝x，则DF＝0.75x＝MC，
在Rt△ABC中，
∵tan∠B=ACBC，
∴tan37°=x+14+1+0.75x≈0.75，
解得x=447≈6.29（米），
故选A．
知识点二、与“坡”相关的应用
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示；
坡度（坡比）定义：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，则，如图，坡度通常写成的形式.
例：如图，将一个装有水的杯子斜放在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，水面宽度BE＝12厘米，此时杯子的倾斜角α等于 度．
【解答】30．
【解析】由题意得：BE∥桌面，
∴∠α＝∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠ABE，
∵BC＝6，BE＝12，
∴BC=12BE，
∴∠BEC＝30°，
∴∠α＝∠ABE＝∠BEC＝30°，
故答案为30．
知识点三、与方位角、方向角有关的应用
方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°
例：如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行 海里就开始有触礁的危险．
【解答】4.5．
【解析】只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以10.5海里的圆内或圆上即可，
如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，
∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴BD＝AD＝12海里，
∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD=12AD＝6海里，
由勾股定理得：AC=122-62=63（海里），
如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点D′时有触礁的危险，
在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（63）2＝10.52．
解得x＝4.5．
渔船还需航行4.5海里就开始有触礁的危险．
故答案是4.5.
巩固练习
一．选择题
1．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα=43，BB'＝1m，则csβ＝（ ）
A．45B．35C．34D．25
2．如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面向上前进了25m，此时小球距离地面的高度为（ ）
A．5mB．25mC．2mD．103m
3．如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（ ）
A．tan55°=6x-1B．tan55°=x-16
C．sin55°=x-16D．cs55°=x-16
4．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：3，坝高BC＝3m，则AB的长度为（ ）
A．6mB．33mC．9mD．63m
5．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（ ）
A．100mB．1002mC．1003mD．20033m
6．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点D到OB的距离等于（ ）
A．asinx+bsinxB．acsx+bcsx
C．asinx+bcsxD．acsx+bsinx
7．如图，某大楼DE楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度CD，小江从楼底点E向前行走30米到达点A，在A处测得宣传牌下端D的仰角为60°．小江再沿斜坡AB行走26米到达点B，在点B测得宣传牌的上端C的仰角为43°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，点A、B、C、D、E在同一平面内，CD⊥AE，宣传牌CD的高度约为（参考数据：sin43°≈0.68，cs43°≈0.73，tan43°≈0.93，3≈1.73）（ ）
A．8.3米B．8.5米C．8.7米D．8.9米
8．如图是一个儿童奇妙屋的主视图，奇妙屋的一个入口是圆的一部分，点O为圆心，该入口的最高点E与圆心的连线的延长线恰好过弦CD的中点M，连接OD．若CD＝0.6m，∠MOD＝30°，嘉嘉身高1.05m，琪琪身高1.2m，若两者都想直着身从这个入口进入奇妙屋，则下列说法正确的是（参考数据：3≈1.732）（ ）
A．嘉嘉、琪琪都能进入
B．嘉嘉能进入，琪琪不能进入
C．嘉嘉不能进入，琪琪能进入
D．嘉嘉、琪琪都不能进入
9．如图，小明为了测量照母山上“览星塔”AB的高度，先从与塔底中心B在同一水平面上的点D出发，沿着坡度为1：0.75的斜坡DE行走10米至坡顶E处，再从E处沿水平方向继续前行若干米后至点F处，在F点测得塔顶A的仰角为63°，塔底C的俯角为45°，B与C的水平距离为4米（图中A、B、C、D、E、F在同一平面内，E、F和D、C、B分别在同一水平线上），根据小明的测量数据，计算出“览星塔”AB的高度约为（计算结果精确到0.1米，参考数据：sin63°≈0.89，cs63°≈0.45，tan63°≈1.96）（ ）
A．17.8米B．23.7米C．31.5米D．37.4米
10．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度为i＝1：2.4，坡长为26米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（ ）米（结果精确到1米）（参考数据：sin24°≈0.41，cs24°≈0.91，tan24°＝0.45）
A．27B．28C．29D．30
11．数学兴趣小组的同学们要测量某大桥主架顶端离水面的高CD．在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为45°，测得与大桥主架的水平距离AB为100米．则大桥主架顶端离水面的高CD为（ ）
A．（100+100•sinα ）米B．（100+100•tanα ）米
C．（100+100sinα）米D．（100+100tanα）米
12．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．英国佩里加（H．Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理．该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）．若AD=13，tan∠AON=32，则正方形MNUV的周长为（ ）
A．513B．18C．16D．83
二．填空题
13．如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为 千米．
14．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是 海里．
15．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，坡顶有一旗杆BC，顶端B点与A点有一条彩带相连，已知CD＝3米，AB＝10米，则旗杆BC的高度为 米．
16．如图，在一次测绘活动中，在港口A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在港口A北偏东75°方向12海里处，船C在港口A南偏东15°方向9海里处，则船B与船C之间的距离为 海里．
17．如图，为了测量矗立在高速公路上水平地面上的交通警示牌的高度CD，在与M相距4米的A处，测得警示牌下端D的仰角为45°，再笔直往前走8米到达B处，在B处测得警示牌上端C的仰角为30°，则警示牌CD的高度为 米（结果保留根号）．
18．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为 米（结果保留根号）．
19．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝1：3，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是 m．
20．如图，小明为测量大树MN的高度，在点A处测得大树顶端M的仰角是30°，沿NA的方向后退50米到达点B，测得大树顶端M的仰角是15°，A，B，N在同一水平线上，若小明的身高忽略不计，则大树高约为 米．
21．如图，某商场大厅自动扶梯AB的长为12m，它与水平面AC的夹角∠BAC＝30°，则大厅两层之间的高度BC为 m．
22．如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4m．则自动扶梯的垂直高度BD＝ m．（结果保留根号）
23．在一次美术课堂的剪纸活动中，小刚把一张菱形ABCD的纸片沿着各边的中点，剪取四边形EFGH，纸片EFGH分别沿MN、PQ折叠使得点E落在E'，点G落在G′处，且直线NE′与直线PG′重合，满足PN∥EF，若阴影部分的周长之和等于16，S△AEH+S△FCG＝16，求sin∠DHG的值是 ．
24．如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10.8米，灯杆AB的长为2.4米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，灯亮时其投射角α满足csα=35，灯罩上装有自动控制旋钮用以调整灯罩方位，初始状态下，灯的投射区域为DE，D处测得路灯A的仰角为β，且tanβ＝6，若调整灯罩旋钮使点D沿DE方向移动2米，则点E移动的距离为 米．
三．解答题
25．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为42m．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出5m的通道，试判断距离B点43m的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．
26．如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120m．
（1）求∠ABC的角度；
（2）这栋高楼有多高？（结果保留根号）
27．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杄顶端E的俯角α是45°，旗杄底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是10米，梯坎坡长BC是10米，梯坎坡度iBC＝1：43，求大楼AB的高．
28．为了测量建筑物的高度AB，兴趣小组在C处用高为1.5米的测角仪CD，测得屋顶B的仰角为45°，再向房屋方向前进15米，又测得房屋的顶端B的仰角为61°，求房屋的高度AB．（参考数据sin60°≈0.67，tan61°≈1.80，结果保留整数）
29．西安市某学校的数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，无人机从A处观测，测得教学楼顶点O的俯角为22°，继续水平前行10米到达B处，测得俯角为45°，已知无人机的飞行高度为31米，则这栋教学楼的高度是多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin22°≈38，cs22°≈1516，tan22°≈25）
30．东北师大附中为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门顶部A距地面高AD＝2.2m．为了解自己的有效测温区间，身高1.6m的小明做了如下实验：当他在地面N处时，测温门开始显示额头温度，此时测得A的仰角∠ABE＝18°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时测得A的仰角∠ACE＝60°．求小明在地面的有效测温区间MN的长度．（额头到地面的距离以身高计算，结果精确到0.1米）【参考数据：sin18°≈0.31，cs18°≈0.95，tan18°≈0.32，3≈1.73，2≈1.41】