初中苏科版7.6 用锐角三角函数解决问题复习练习题

绝密★启用前

7.6用锐角三角函数解决问题同步练习苏科版初中数学九年级下册

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，从点看一山坡上的电线杆，观测点的仰角是，向前走到达点，测得顶端点和杆底端点的仰角分别是和，则该电线杆的高度

A.
B.
C.
D.

2. 某次台风来袭时，一棵大树树干假定树干垂直于地面被刮倾斜后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面如图所示，量得树干的倾斜角为，大树被折断部分和地面所成的角，米，求这棵大树原来的高度是米？结果精确到个位，参考数据：，，

A.  B.  C.  D.

3. 如图，嘉淇一家驾车从地出发，沿着北偏东的方向行驶，到达地后沿着南偏东的方向行驶来到地，且地恰好位于地正东方向上，则下列说法正确的是

A. 地在地的北偏西方向上 B. 地在地的南偏西方向上
C.  D.

4. 如图，一块矩形木板斜靠在墙边，点，，，，在同一平面内，已知，，，则点到的距离等于

A.
B.
C.
D.

5. 如图，在距某居民楼楼底点左侧水平距离的点处有一个山坡，山坡的坡度或坡比：，山坡坡底点到坡顶点的距离，在坡顶点处测得居民楼楼顶点的仰角为，居民楼与山坡的剖面在同一平面内，则居民楼的高度约为参考数据：，，

A.  B.  C.  D.

6. 下列说法：
   把米长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为米；
   如果两个相似三角形的对应中线比是：，那么它们的对应角平分线比是：；
   已知两个相似多边形的面积比是：，其中较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为；
   如果一斜坡的坡比是：，那么该斜坡坡角的余弦值是
   其中正确的有个．

A.  B.  C.  D.

7. 如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边点处，某测量员从山脚点出发沿水平方向前行米到点点，，在同一直线上，再沿斜坡方向前行米到点点，，，，在同一平面内，在点处测得信号塔顶端的仰角为，悬崖的高为米，斜坡的坡度或坡比：，则信号塔的高度约为
   参考数据：，，

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

8. 如图，一艘海轮位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔的处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，这时，处与灯塔的距离为

A.  
B.  
C.  
D.  

9. 如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为  【    】

A.
B.
C.
D.

10. 如图，、区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，为视线与车窗底端的交点，，，若点到点的距离，则盲区中的长度是
    参者数据：，，，

A.  B.  C.  D.

11. 某轮船由西向东航行，在处测得小岛的方位是北偏东，继续航行海里后，在处测得小岛的方位是北偏东，则此时轮船与小岛的距离是

A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里

12. 小明同学在数学实践课中测量路灯的高度．如图，已知他的目高为米，他先站在处看路灯顶端的仰角为，向前走米后站在处，此时看灯顶端的仰角为，则灯顶端到地面的距离约为

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 一条上山直道的坡度为：，沿这条直道上山，每前进米所上升的高度为______ 米
14. 如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为______
    参考数据：约等于，约等于，约等于
15. 如图，航模小组用无人机来测量建筑物的高度，无人机从处测得建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，若此时无人机与该建筑物的水平距离为，则该建筑物的高度为______结果保留根号
     

16. 如图，小车从米高的处沿斜坡滑到处，若斜坡坡度为：，则斜坡的水平宽度为______米．

17. 如图，从甲楼底部处测得乙楼顶部处的仰角是，从甲楼顶部处测得乙楼底部处的俯角是，已知甲楼的高是，则乙楼的高是______结果保留根号

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 如图，山顶有一塔，塔高计划在塔的正下方沿直线开通穿山隧道从与点相距的处测得、的仰角分别为、，从与点相距的处测得的仰角为求隧道的长度．
    参考数据：，

19. 如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正西方向，，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向．求船离观测站的距离．

20. 如图，点与树的根部点、建筑物的底部点在一条直线上，小明站在点处观测树顶的仰角为，他从点出发沿方向前进到点时，观测树顶的仰角为，此时恰好看不到建筑物的顶部、、三点在一条直线上已知小明的眼睛离地面，求建筑物的高度结果精确到参考数据：，

21. 如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、、，测得，，千米，求、两点间的距离．参考数据：，，结果精确到千米．

22. 我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面的处测得在处的龙舟俯角为；他登高到正上方的处测得驶至处的龙舟俯角为，问两次观测期间龙舟前进了多少？结果精确到，参考数据：，，，
    
    
    
    
    
    
     
23. 某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥的上方米的点处悬停，此时测得桥两端，两点的俯角分别为和，求桥的长度．

24. 某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点用高米的测角仪测得塔顶的仰角为，然后沿方向前行到达点处，在处测得塔顶的仰角为请根据他们的测量数据求此塔的高．结果精确到，参考数据：，，

25. 如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房的楼顶，测量对面的乙栋楼房的高度．已知甲栋楼房与乙栋楼房的水平距离米，小丽在甲栋楼房顶部点，测得乙栋楼房顶部点的仰角是，底部点的俯角是，求乙栋楼房的高度结果保留根号．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：延长交直线于点，设米．
在直角中，，
则米；


在直角中，米，
米，
则，
解得：．
则米．
在直角中，米．
米．
答：电线杆的高度是米．
故选：．
延长交直线于点，设米，在直角和直角中，根据三角函数利用表示出和，根据即可列出方程求得的值，再在直角中利用三角函数求得的长，则的长度即可求解．
本题考查了仰角的定义，以及三角函数，正确求得的长度是关键．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
过点作于点，由可求出的度数，在中由，可求出及的长度，在中由直角三角形的性质可得出，故可得出的长度，再利用锐角三角函数的定义可得出的长，进而可得出结论．
【解答】
解：过点作于点，

，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
米．
答：这棵大树原来的高度是米．
故选：．  

3.【答案】
 

【解析】解：如图所示，
由题意可知，，，
，即在处的北偏西，故A错误；
，
，即在处的西偏南，故B错误；
，
，
，故C正确；
，即，故D错误．
故选：．
先根据题意画出图形，再根据平行线的性质及方向角的描述方法解答即可．
本题考查的是解直角三角形方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合平行线的性质求解．
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查解直角三角形的应用坡度角问题、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点到的距离，本题得以解决．
【解答】
解：作于点，作于点，

四边形是矩形，
，
，，
，
，
，，
，
故选D．  

5.【答案】
 

【解析】解：如图，由题意得，，，，
在中，
山坡的坡度：，
，
设，则，由勾股定理可得，
又，即，
，
，，
，
在中，
，
，
故选：．
构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出、、、、，进而求出．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握坡比的意义和直角三角形的边角关系是正确计算的前提．
 

6.【答案】
 

【解析】解：把米长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为，故说法错误．
相似三角形对应中线的比是：，则它们的相似比为：，所以它们对应角平分线的比是：故说法正确．
设较大多边形的周长为，则所以，故说法错误．
如图所示：由题意，得：，
设竖直直角边为，水平直角边为，
则斜边，
则．
故说法正确．
故选：．
根据黄金比值是计算即可．
根据相似三角形对应高线的比等于相似比，对应角平分线的比等于相似比解答即可．
根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比解答即可．
根据坡比坡角的正切值，设竖直直角边为，水平直角边为，由勾股定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值．
此题主要考查相似图形，黄金分割，坡比、坡角的关系以及解直角三角形的应用；注意：坡角的正切等于坡比．
 

7.【答案】
 

【解析】解：过点作交的延长线于点，过点作于点，

斜坡的坡度或坡比：，米，
设，则．
在中，
，即，
解得，
米，米，
米．
，，，
四边形是矩形，
米，米．
在中，
，
米，
米．
米．
故选：．
过点作交的延长线于点，过点作于点，根据斜坡的坡度或坡比：可设，则，利用勾股定理求出的值，进而可得出与的长，故可得出的长．由矩形的判定定理得出四边形是矩形，故可得出，，再由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出答案．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：如图作于．
在中，，，
，
在中，，
，
故选：．
如图作于在中，求出，在中，根据即可解决问题．
本题考查方向角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
 

9.【答案】
 

【解析】解：如图，米，．
，

设，，
由勾股定理得，，即，解得，
米．
故选：．
可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．
本题主要考查了勾股定理在直角三角形中的运用，坡度的定义，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
首先证明四边形是矩形，求出，即可解决问题．
【解答】
解：，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
故选：．  

11.【答案】
 

【解析】解：如图，过作于点，

，
且，，
，
海里．
解法二：由题意，，，
，
，
海里．
故选：．
先过作的垂线，在直角中可以求得的度数是，即可证明是等腰三角形，即可求解．
此题考查的是解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．正确证明是等腰三角形是解决本题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中考常考题型．
过点作于点，延长交于点，设，根据锐角三角函数的定义表示的长度，然后列出方程求出的值即可求出答案．
【解答】解：过点作于点，延长交于点．
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．  

13.【答案】
 

【解析】解：设上升的高度为米，
上山直道的坡度为：，
水平距离为米，
由勾股定理得：，
解得：，舍去，
故答案为：．
设上升的高度为米，根据坡度的概念得到水平距离为米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：作于，

则四边形为矩形，
，
在中，，
则，
在中，，
，
，
则该建筑的高度为，
故答案为：．
作于，根据正切的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，结合图形计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：在中，，，
，
在中，，
，

答：该建筑物的高度约为米．
故答案为：．
在中，根据正切函数求得，在中，求得，再根据，代入数据计算即可．
此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：坡度为：，，
．
故答案为：．
根据坡度定义直接解答即可．
本题考查了解直角三角形的应用--坡度坡角问题，熟悉坡度坡角的定义是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：由题意可得：，
则，
又，
在中，
，
解得：，
故答案为：．
利用等腰直角三角形的性质得出，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出是解题关键．
 

18.【答案】解：延长交于，

则，
在中，，
，
在中，，
，
在中，，
，
由题意得，，
解得，，
，，
，
，
，
，
答：隧道的长度为．
 

【解析】延长交于，利用正切的定义用表示出、，根据题意列式求出，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，过点作于点，

则，
，
设，则，
，
，
在中，，
，
解得．
经检验，是原方程的根．
．
答：船离观测站的距离为．
 

【解析】如图，过点作于点，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
 

20.【答案】解：如图，延长，交于点，交于点，

，，
则，
设，
，，
，
即，
解得，
根据题意可知：
，
，
则，
．
答：建筑物的高度约为．
 

【解析】延长，交于点，交于点，求，只需求出即可，即只要求出就可以，在中，设，则根据就可以求出的值，再根据等腰直角三角形的性质和线段的和可求得的长．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
 

21.【答案】解：过点作于点，如图所示．

在中，千米，，，
千米，千米千米．
在中，千米，，，
，
千米，
千米．
答：、两点间的距离约为千米．
 

【解析】过点作于点，在中，通过解直角三角形可求出，的长，在中，由，可得出，再结合即可求出、两点间的距离．
本题考查了解直角三角形以及等腰直角三角形，通过构造直角三角形求出，的长是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，根据题意得，，，，，
在中，，
解得：，
在中，，
解得：，
，
答：两次观测期间龙舟前进了．
 

【解析】如图，根据题意得，，，，，解直角三角形即可得到结论．
此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是利用三角函数的知识，求出，．
 

23.【答案】解：如图示：过点作，垂足为，


由题意得，，，，
在中，米，
在中，，
米，
米．
答：桥的长度为米．
 

【解析】过点作，垂足为，根据在处测得桥两端，两点的俯角分别为和，可得，，利用特殊角的三角函数求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

24.【答案】解：由题意：，，，，

，，


，
在中，
，，
．
，
，
，
．
 

【解析】首先证明，在中，利用勾股定理求出即可解决问题；
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：如图所示：
由题意得：，，，，
在中，，，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
米；
答：乙栋楼房的高度为米．
 

【解析】由三角函数定义求出，证出是等腰直角三角形，得出，进而得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题以及等腰直角三角形的判定与性质等知识；解题的关键是借助仰角构造直角三角形，利用三角函数定义解直角三角形．