2020-2021学年7.6 用锐角三角函数解决问题精品课时练习

7.6用锐角三角函数解决问题苏科版初中数学九年级下册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他做了如下操作：在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；
   量得测角仪的高度；
   量得测角仪到旗杆的水平距离．
   利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 某村计划挖一条引水渠，渠道的横断面是一个轴对称图形如图所示若渠底宽为，渠道深为，渠壁的倾角为，则渠口宽为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，一块矩形木板斜靠在墙边，点，，，，在同一平面内，已知，，，则点到的距离等于(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点与点的水平距离米，水平赛道米，赛道，的坡角均为，则点的高为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

6. 如图，校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度：，米，米．测角器的高度忽略不计，则广告牌的高度约为结果精确到米，参考数据：，，，，(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

7. 如图，为了测量山坡上一棵树的高度，小明在点处利用测角仪测得树顶的仰角为，然后他沿着正对树的方向前进到达点处，此时测得树顶和树底的仰角分别是和，设垂直于，且垂足为则树的高度为结果精确到，(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，为边上一点，以为圆心，为半径的半圆切于点，若，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为(    )
   参考数据：，，

A.  B.  C.  D.

10. 如图，从热气球看一栋楼底部的俯角是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，某游乐场一山顶滑梯的高为，滑梯的坡角为，那么滑梯长为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为，图中圆内接正六边形的周长，则再利用图圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 一条上山直道的坡度为：，沿这条直道上山，每前进米所上升的高度为______ 米
14. 如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为______参考数据：，，

15. 如图，某数学活动小组为测量学校旗杆的高度，沿旗杆正前方米处的点出发，沿斜面坡度：的斜坡前进米到达点，在点处安置测角仪，测得旗杆顶部的仰角为，量得仪器的高为米已知、、、、在同平面内，，，则旗杆的高度是______米．参考数据：，，，，计算结果精确到米
16. 某兴趣小组借助无人飞机航拍，如图，无人飞机从处飞行至处需秒，在地面处同一方向上分别测得处的仰角为，处的仰角为已知无人飞机的飞行速度为米秒，则这架无人飞机的飞行高度为结果保留根号______米．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

17. 如图，山顶有一塔，塔高计划在塔的正下方沿直线开通穿山隧道从与点相距的处测得、的仰角分别为、，从与点相距的处测得的仰角为求隧道的长度．
    参考数据：，
     

18. 为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高米即米，背水坡的坡度：即：：，如图所示，已知米，，求水坝原来的高度．
    参考数据：，，

19. 如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正西方向，，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向．求船离观测站的距离．

20. 如图，游客从旅游景区山脚下的地面处出发，沿坡角的斜坡步行至山坡处，乘直立电梯上升至处，再乘缆车沿长为的索道至山顶处，此时观测处的俯角为，索道看作在一条直线上求山顶的高度精确到，，，

21. 如图，为了测量河对岸两点，之间的距离，在河岸这边取点，测得，，，，设，，，在同一平面内，求，两点之间的距离．
    参考数据：，

22. 宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图是其示意图，其中、都与地面平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为．
    求坐垫到地面的距离；
    根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长．
    结果精确到，参考数据：，，
     

23. 某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上点处测得树顶端的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点处测得树顶端的仰角为，已知点的高度为米，台阶的坡度，且，，三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树的高度测倾器的高度忽略不计，结果保留根号

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．
过作于，则四边形是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】

解：过作于，则四边形是矩形，

，，
，
，
，
，
故选A．  

2.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

则，，
四边形是一个轴对称图形，
，
，
，
在中，，
，
，
故选：．
过点作，垂足为，根据题意可得，，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，然后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：设米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
这棵树的高度是米，
故选：．
设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查解直角三角形的应用坡度角问题、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点到的距离，本题得以解决．
【解答】
解：作于点，作于点，

四边形是矩形，
，
，，
，
，
，，
，
故选D．  

5.【答案】 

【解析】解：延长交于点，
赛道，的坡角均为，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
米．
故选：．
延长交于点，利用平行四边形的判定与性质得出的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用以及平行四边形的判定与性质，正确得出的长是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

则，，
山坡的坡度：，
，
，
在中，，
，
，
，
米，
在中，，
米，
米，
在中，，
米，
米，
故选：．
过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得，，根据山坡的坡度可求出，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，进而求出，的长，然后在在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设．
在中，，
；
，
．
在中，，
，
，
解得：，
则，
在中，，
．
答：树的高度约为．
故选：．
设，在和中，求出和，根据即可列出方程求得的值，再在中利用三角函数求得的长，则的长度即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，三角函数的定义等知识；运用三角函数求出和是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，过点作，垂足为，

与半相切于点，
，
，
，
，
，
，
在中，，
的面积

，
故选：．
连接，过点作，垂足为，根据切线的性质可得，然后在中，可求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，三角形的面积，解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
，
，
故选：．
根据等腰三角形性质求出，根据角度的正切值可求出．
本题考查了等腰三角形的性质，三角函数的定义，掌握三角形函数的定义是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：从热气球看一栋楼底部的俯角是．
故选：．
俯角是向下看的视线与水平线的夹角，直接根据定义进行判断即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握俯角的定义是关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据三角函数的定义即可求解．
本题考查了三角函数的定义，理解定义是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：十二边形是圆内接正十二边形，
，
，，
，，
在中，，
，
，
圆内接正十二边形的周长，
故选：．
先求出圆内接正十二边形的中心角，然后利用等腰三角形的性质可得，，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出，进而求出，最后进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，数学常识，解直角三角形的应用，规律型：图形变化类，熟练掌握解直角三角形的应用，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设上升的高度为米，
上山直道的坡度为：，
水平距离为米，
由勾股定理得：，
解得：，舍去，
故答案为：．
设上升的高度为米，根据坡度的概念得到水平距离为米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：作于，

则四边形为矩形，
，
在中，，
则，
在中，，
，
，
则该建筑的高度为，
故答案为：．
作于，根据正切的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，结合图形计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作于点，延长交于点，
则，，
在中，：，
，
米，米，
米，米，
在中，米，
米，
即旗杆的高度约为米，
故答案为：．
过点作于点，延长交于点，则，，求出米，米，则米，米，再由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题、仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义、坡度坡角的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，作于点，于点，
由题意得：，，，
，，
，
，，
，
．
故答案为：．
作，，根据题意确定出与的度数，利用锐角三角函数定义求出与的长，由求出的长，即可求出的长．
此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
 

17.【答案】解：延长交于，

则，
在中，，
，
在中，，
，
在中，，
，
由题意得，，
解得，，
，，
，
，
，
，
答：隧道的长度为． 

【解析】延长交于，利用正切的定义用表示出、，根据题意列式求出，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

18.【答案】解：设米，
在中，
，
，
在中，
：：，
，
，
即，
解得，
即米，
答：水坝原来的高度为米． 

【解析】设米，用表示出的长，利用坡度的定义得到，进而列出的方程，求出的值即可．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般．
 

19.【答案】解：如图，过点作于点，

则，
，
设，则，
，
，
在中，，
，
解得．
经检验，是原方程的根．
．
答：船离观测站的距离为． 

【解析】如图，过点作于点，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
 

20.【答案】解：如图，过点、分别作，垂足为、，延长交于点，
由题意可知，，，，
在中，，，
，

在中，，，
，
，
答：山顶的高度约为． 

【解析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系分别求出，即可．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键
 

21.【答案】解：过作于，过作于，如图：

，
是等腰直角三角形，
设，则，
，
，
中，，
，即，
解得，
，
中，，，
，即，
解得，
，于，，
四边形是矩形，
，，
，
中，，
答：，两点之间的距离是． 

【解析】过作于，过作于，由已知是等腰直角三角形，设，则，，在中，可得，解得，在中，解得，根据四边形是矩形，可得，，，即可在中，求出
本题考查解直角三角形的应用，涉及勾股定理、矩形判定及性质等知识，解题的关键是适当添加辅助线，构造直角三角形．
 

22.【答案】解：如图，过点作于点，

由题意知、，
，
则单车坐垫到地面的高度为；

如图所示，过点作于点，

由题意知，
则，
． 

【解析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．
作于点，由可得答案；
作于点，先根据求得的长度，再根据可得答案
 

23.【答案】解：过点作，设，
在中，，，
，
的坡度：，
，
，
，
，，，
四边形为矩形，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】首先表示出的长，进而得出的长，再表示出，利用求出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，以及矩形的判定和性质，三角函数，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键．