高中数学5.5 三角恒等变换综合训练题

这是一份高中数学5.5 三角恒等变换综合训练题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知第二象限角满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
3．设，，，以下各式不等于的是（ ）
A．B．C．D．
4．函数的最小正周期为（ ）
A．πB．2πC．D．
5．某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开展“迎新杯”篮球赛奖杯的创意设计征集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1所示，从其轴截面中抽象出来的平面图形如图2所示，若圆O的半径为10cm，，，甲在奖杯的设计与制作的过程中发现，当OB越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时，（ ）
A．10cmB．C．D．
6．如图，某城市有一条公路从正西方沿通过市中心后转到北偏东的上，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在、上分别设置两个出口、．若要求市中心与的距离为千米，则线段最短为（ ）
A．千米B．千米C．千米D．千米
7．在中，若，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
8．已知非零实数的绝对值全不相等，那么满足“”的（ ）
A．仅有一组B．仅有二组C．仅有三组D．有无穷多组
二、多选题
9．下列各式中与相等的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知，，若，是关于的方程的两个根（含重根），则可能是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
11．对于，有如下命题，其中正确的有（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若是锐角三角形，则不等式恒成立
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则的面积为或
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC不可能为（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
三、填空题
13．若实数，满足方程组，则的一个值是_______.
14．已知，则的值为______.
15．已知，则______.
16．若，则___________.
四、解答题
17．已知函数.
(1)求的最小正周期和单调递减区间；
(2)若，且，求的值.
18．已知函数，．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求的单调递减区间；
(3)求函数在上的最大值．
19．已知函数
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)求在区间上的最值．
参考答案：
1．D
【分析】由结合正切和角公式化简，求得，利用万能公式即可求解.
【详解】∵，∴，
解得或（舍去），
所以.
故选：D
2．A
【解析】采用三角代换的方式化简原式，然后利用换元法以及二次函数的值域求解最值，注意等号成立的条件.
【详解】令，，，，
因为，所以，可得，
所以
所以，
当且仅当，，，
时取等号，
即当且仅当时，的最小值为，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用三角换元，注意三角函数中的万能公式
，，换元后注意新元的取值范围.
3．B
【分析】利用半角正切公式结合诱导公式、正切的两角和差公式求解即可.
【详解】由半角公式得，
所以，A正确；
，C正确；
，所以，D正确；
故选：B
4．B
【分析】首先进行三角函数的恒等变换，利用半角公式整理出只含有一倍角的形式，把乘到括号里，根据同角的三角函数之间的关系得到最简结果，利用周期公式计算即得周期．
【详解】函数
，
函数要有意义则必须有：，且，
即且
所以函数的定义域为：
且，
所以函数的最小正周期为，
故选：B．
5．B
【分析】根据已知条件及直角三角形中锐角函数，结合勾股定理及三角函数的性质即可求解.
【详解】过O点作，分别交BC，AD于E，F两点，如图所示
设，则，，
由，，得，
则，，
，
当，即时，OB取得最大值，
此时
故选：B.
6．D
【分析】过点作，垂足为点，设，，且，，计算得出，利用两角差的正切公式以及基本不等式可求得的最小值.
【详解】过点作，垂足为点，设，，且，，
由题意可得，，
所以，
，
因为，
令，则
，
当且仅当时，等号成立，
故（千米）.
故选：D.
7．D
【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式计算可得；
【详解】解：因为
所以
所以
所以
因为，所以，即
所以三角形为等腰三角形；
故选：D
8．D
【分析】根据正切恒等式说明即可；
【详解】解：令，，
因为
当，时， 满足
因为，所以，
所以
所以
所以有无穷多组满足
故选：D
【点睛】本题考查正切恒等的应用，考查转化思想，属于中档题.
9．BC
【分析】利用三角恒等变换：二倍角正余弦公式化简各项三角函数式，即可判断是否与相等.
【详解】A：，不相等；
B：，相等；
C：，相等；
D：，不相等；
故选：BC.
10．BCD
【分析】由韦达定理及正切的两角和公式通过分类讨论可求解.
【详解】因为方程有两根，，
所以，所以，
且或.
所以，
因为，所以，从而可得，
所以.
当时，，所以，，此时锐角三角形.
当时，，可知中有一个钝角，些时钝角三角形.
若，则，此时，所以，解得或（舍），
当时，是等腰三角形.
因此，可能是锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形.
故选：BCD
11．BCD
【分析】根据三角恒等变换，诱导公式，正弦定理，余弦定理分别对选项进行求解；
【详解】对于．
对A，，，或，解得：，或，则是等腰三角形或直角三角形，因此不正确；
对B，是锐角三角形，，，化为恒成立，因此正确；
对C，，，由正弦定理可得：，，为钝角，则为钝角三角形，因此正确；
对D，，，，设，由余弦定理可得：，化为：，解得或2．则的面积，或的面积，因此正确．
综上可得：只有BCD正确．
故选：BCD．
【点睛】正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、三角函数的单调性等知识的综合运用，是求解本题的关键.
12．BD
【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求得B为钝角，进而可判断.
【详解】由正弦定理可得，，
整理可得，
所以
故
因为，所以，即B为钝角，
则△ABC为钝角三角形.
∴△ABC不可能为直角三角形或等边三角形.
故选：BD.
【点睛】本题主要考查利用正弦定理及和差角公式判断三角形的形状，属于基础试题.
13．（满足或的值均可）
【分析】直接利用三角函数关系式的变换的应用求出结果．
【详解】解：实数，满足方程组，
则，
由于，
所以，则；
所以，整理得，
所以或，
即得或.
故可以取时，．
故答案为：（满足或的值均可）
14．##
【分析】切化弦展开后化简代入计算即可.
【详解】∵
故答案为：.
15．
【分析】根据条件，运用余弦倍角公式求出 ，确定 所在的象限，分类讨论求解答案.
【详解】由题意： ，即 ，
， ，即 角在第一象限或第四象限；
如果 在第一象限，则有 ，
；
如果 在第四象限，则有 ；
故答案为： .
16．
【分析】由诱导公式结合和差角公式求解即可.
【详解】
故答案为：
17．(1)最小正周期为，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简得到，根据正弦型函数最小正周期和单调区间的求法可直接求得结果；
（2）由可求得，进而得到，利用两角和差余弦公式可求得结果.
【详解】（1），
的最小正周期；
令，解得：，
的单调递减区间为.
（2）由（1）得：，，
，，
.
18．(1)
(2)，
(3)
【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数表达式，再利用三角函数的图象和性质进行求解各个小题即可.
【详解】（1）由
所以函数的最小正周期.
（2）令，，
即，
即，
所以函数的单调递减区间为，.
（3），
，
当，即时，，
所以函数在上的最大值为.
19．(1)最小正周期为；单调递减区间为，
(2)最大值3；最小值2
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简，由周期公式计算得最小正周期，由三角函数的性质求出函数的单调递减区间；
（2）求出的范围，然后结合三角函数的性质即可求得最值．
【详解】（1）．
的最小正周期，
令，，解得，，
的单调递减区间为，；
（2）因为，所以，
当，即时，取最大值3；
当，即时，取最小值2．