数学必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换精练

5.5 三角恒等变换

一．选择题（共5小题）

1．若、是小于180的正整数，且满足．则满足条件的数对共有　　

A．2对 B．6对 C．8对 D．12对

2．已知，，其中，则　　

A． B． C． D．

3．已知函数在定义域上是单调函数，且，当在上与在上的单调性相同时，实数的取值范围是　　

A．， B． C． D．

4．已知函数，的部分图象如图所示，若存在，满足，则　　

A． B． C． D．

5．已知函数，若对任意，，都有，则的最大值为　　

A．1 B． C．2 D．4

二．填空题（共5小题）

6．已知点为的重心，且，则的值为　　．

7．在中，若，，则的最小值为　　．

8．已知的周长为6，且，则的取值范围是　　．

9．已知中，，则　　．

10．设、是非零实数，，若，则　　．

三．解答题（共3小题）

11．定义：，为实数，，，对的“正弦方差”．

（1）若，证明：实数，，对的“正弦方差” 的值是与无关的定值；

（2）若，若实数，，对的“正弦方差” 的值是与无关的定值，求，值．

12．已知函数，，，是常数，，，．

（1）若，判断的奇偶性；

若，判别的奇偶性；

（2）若，是偶函数，求；

（3）请仿照问题（1）（2）提一个问题（3），使得所提问题或是（1）的推广或是问题（2）的推广，问题（1）或（2）是问题（3）的特例．（不必证明命题）

13．已知函数．

（1）若，为锐角，，，求及的值；

（2）函数，若对任意都有恒成立，求实数的最大值；

（3）已知，，，求及的值．

                           5.5三角恒等变换

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．若、是小于180的正整数，且满足．则满足条件的数对共有　　

A．2对 B．6对 C．8对 D．12对

【分析】根据，是小于180的正整数，结合换元法，三角函数的特殊值，正弦函数的图象与性质，三角恒等变换即可求解．

【解答】解：设，，则原式为，

，

，

，，，

，是小于180的正整数，故分两种情况，

（1）若，

①或，

②无解，

③或，

④无解，

⑤或，

⑥无解，

（2）若，

①，

②，

③，

④，

⑤，

⑥，

故选：．

【点评】本题主要考查对等式的理解，考查了正弦函数的图象与性质，考查了三角恒等变换，换元法，属于难题．

2．已知，，其中，则　　

A． B． C． D．

【分析】构造，判断的奇偶性和单调性，把化为，化为，利用的奇偶性和单调性求出的值，再计算的值．

【解答】解：设，则，

所以是偶函数；

当时，，，所以；

当时，，，所以；

所以恒成立，即在定义域内单调递增；

因为，

所以是定义域上的奇函数，函数图象关于原点对称；

又，

所以，

同理可得，其中，

所以，

所以，

即，所以．

故选：．

【点评】本题考查了三角函数求值的应用问题，解题的关键是构造函数，利用函数的奇偶性和单调性求出的值，是难题．

3．已知函数在定义域上是单调函数，且，当在上与在上的单调性相同时，实数的取值范围是　　

A．， B． C． D．

【分析】先根据所给的等式，求出，判断其单调性，化简，由题意，求导使其导函数恒大于等于零，解出．

【解答】解：函数在定义域上是单调函数，且，

为定值，设，

则，且，

，解之得，

，在上的单调递增，

，

，

在上与在上的单调性相同，

，在上恒成立，

，在上恒成立，

，

，

，

．

故选：．

【点评】本题考查函数恒等问题，三角函数恒等问题，注意可使用分离常数法，属于难题．

4．已知函数，的部分图象如图所示，若存在，满足，则　　

A． B． C． D．

【分析】根据图象求出函数解析式，结合对称性求出，然后利用三角函数的诱导关系进行转化求解即可．

【解答】解：由图象知函数的周期，即，得，

，

即，

即，，

当时，，

即，

存在，满足，

，则，关于对称，

即，得，且

则，

设　，则，即

则

故选：．

【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合条件求出函数的解析式，利用三角函数的对称性以及三角函数的诱导关系进行转化是解决本题的关键．有一定的难度．

5．已知函数，若对任意，，都有，则的最大值为　　

A．1 B． C．2 D．4

【分析】化函数为的二次函数，利用换元法设，问题等价于对任意的、，都有，即；再讨论时，利用二次函数的图象与性质，即可求出的最大值．

【解答】解：函数，

设，则，；

问题等价于，对任意的、，都有；

即，欲使满足题意的最大，只需考虑；

当时，函数的图象与函数的图象形状相同；

则，所以时显然成立；

当时，（1），解得，所以；

综上知，的取值范围是，最大值是2．

故选：．

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了二次函数的性质应用问题，是难题．

二．填空题（共5小题）

6．已知点为的重心，且，则的值为　　．

【分析】首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到，再应用余弦定理推出，将应用三角恒等变换公式化简得，然后运用正弦定理和余弦定理，结合前面的结论，即可求出．

【解答】解：如图，连接，延长交于，

由于为重心，故为中点，

，，

由重心的性质得，，即，

由余弦定理得，，

，

，，

，

，

又．

故答案为：．

【点评】本题主要考查解三角形中的正弦定理与余弦定理及应用，考查三角恒等变换，三角形的重心的性质，考查运算能力，有一定的难度．

7．在中，若，，则的最小值为　　．

【分析】由三角函数求值及重要不等式得：因为，，所以，即，所以，令，则，得解．

【解答】解：因为，，

所以，

所以，

所以，

所以，

又，

当时，，，

即，

即不合题意，即，即，

所以

，

令，

则，

故答案为：．

【点评】本题考查了三角函数求值及重要不等式，属难度很大的题型．

8．已知的周长为6，且，则的取值范围是　，　．

【分析】由得，且，由基本不等式及三角形中的边角关系求得的范围得到的范围，代入数量积公式可得．则的取值范围可求．

【解答】解：由，得，

利用正弦定理可得，

又，

，从而．

再由，得，，

，得，

又，解得，

，

，

．

则．

的取值范围是，．

故答案为：，．

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查余弦定理的应用，考查计算能力，属难题．

9．已知中，，则　　．

【分析】由已知结合正弦定理可得：，由余弦定理可得：，化为：，进一步得到，又，可得．得到，．求出，再由诱导公式得答案．

【解答】解：，

由正弦定理可得：，

，又，

，

化为：，

当且仅当时取等号．

即，其中，，．

即，又，

．

，即，．

．

．

故答案为：．

【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

10．设、是非零实数，，若，则　　．

【分析】化简条件，结合，利用配方法进行整理，计算即可．

【解答】解：，

，

即，

即，

即，

即，

即，

则，

即，

故答案为：

【点评】本题主要考查三角函数的化简和求值，利用以及三角函数的关系进行转化是解决本题的关键．

三．解答题（共3小题）

11．定义：，为实数，，，对的“正弦方差”．

（1）若，证明：实数，，对的“正弦方差” 的值是与无关的定值；

（2）若，若实数，，对的“正弦方差” 的值是与无关的定值，求，值．

【分析】（1）根据“正弦方差”的定义进行证明求解即可．

（2）根据“正弦方差”的定义建立方程进行求解即可．

【解答】证明：（1），则．

则此时的正弦方差” 的值是与无关的定值是．

解：（2），

，

此时的正弦方差” 的值是与无关的定值，

，

，，，

，，

由①可知或，即或，

由①②可得，级，

，

或或，即或或，

当时，得，经检验符合题意，

当时，得，经检验不合题意，

当时，得，经检验符合题意，

综上可知，或，符合题意．

【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，根据“正弦方差”结合两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键，运算量大，综合性较强，有一定的难度，是个难题．

12．已知函数，，，是常数，，，．

（1）若，判断的奇偶性；

若，判别的奇偶性；

（2）若，是偶函数，求；

（3）请仿照问题（1）（2）提一个问题（3），使得所提问题或是（1）的推广或是问题（2）的推广，问题（1）或（2）是问题（3）的特例．（不必证明命题）

【分析】（1）先结合和差角公式化简，，然后把，的值代入，然后结合奇偶性的定义进行检验即可；

（2）结合偶函数定义代入睁开即可求解；

（3）结合（1）（2）的特殊情形推广一般结论即可．

【解答】解：由题意可知，，

（1）当时，，

所以是偶函数；

当时，，

所以，

因为，所以不是奇函数，

因为，所以不是偶函数

所以是非奇非偶函数；

（2）当时，是偶函数，

所以对一切恒成立，

所以，即，

也即，

则，因为，所以，

当时，，

则

所以对一切恒成立，所以为偶函数．

综上所述：．

（3）第一层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以，

1，、是偶函数；

2，是奇函数；

3，是非奇非偶函数；

4，是既奇又偶函数；

第二层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以，

1，是偶函数（数字不分奇偶）；

2，是奇函数（数字只能同奇数）；是偶函数（数字只能同偶数）；

3，是非奇非偶函数（数字不分奇偶，但需相同）；

4，是既奇又偶函数（数字只能奇数）；是非奇非偶函数；

第三层次，写出逆命题任何一种的一个（加法或乘法）均可以，

1，是偶函数（数字不分奇偶，但相同），则；

2，是奇函数（数字只能正奇数），则；是偶函数（数字只能正偶数），则；

3，是偶函数（数字只能正奇数），则；

第四层次，写出充要条件中的任何一种均可以，

1，的充要条件是是偶函数，

2，是奇函数（数字只能正奇数）的充要条件是；是偶函数（数字只能正偶数）的充要条件是；

3，是偶函数（数字只能正奇数）的充要条件是则；

第五层次，写出任何一种均可以（逆命题，充要条件等均可以），

1，时，都是偶函数；

2，时，是正奇数，是奇函数；时，是正偶数，是偶函数；

3，，是奇数，既奇又偶函数；

4，，是偶数，是非奇非偶函数．

【点评】本题综合考查了三角函数性质，函数性质，还考查了一定的推理的能力，属于难题．

13．已知函数．

（1）若，为锐角，，，求及的值；

（2）函数，若对任意都有恒成立，求实数的最大值；

（3）已知，，，求及的值．

【分析】（1）结合余弦的二倍角公式和弦化切的思想，可得，代入已知数据计算即可；

由于，为锐角，所以，，再结合同角三角函数的平方关系和商数关系，可依次求得，，然后利用拼凑角的思想和正切的两角差公式可知，代入已得数据进行计算即可；

（2），原问题可转化为恒成立，设，则，，所以，则．令，结合对勾函数的性质即可得函数的最小值，从而得解；

（3）根据同角三角函数的平方关系，结合配方法对等式进行变形，可推出且，再分和两种情况，分类讨论即可．

【解答】解：（1），

，

，为锐角，即，，．

，，

，，

，，

．

综上，，．

（2），

对任意都有恒成立，

恒成立，即恒成立，

设，则，，，则．

设，由对勾函数的性质可知，函数在区间，上为增函数，

，，

故的最大值为．

（3），

，

，

即，

且，

当时，，，，；

当时，与相矛盾，不符合题意．

综上所述，．

【点评】本题主要考查三角恒等变换的混合运算，还涉及函数的恒成立问题，用到了拼凑角和弦化切的思想、参变分离法、对勾函数的性质等，覆盖的知识面非常广，有一定的综合性，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于难题．