（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案3.1《导数的概念及运算》 (2份打包，原卷版+教师版)

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核心素养立意下的命题导向
1.与基本初等函数相结合考查函数导数的计算，凸显数学运算的核心素养．
2．与曲线方程相结合考查导数的几何意义，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．导数的概念
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lieq \(m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝lieq \(m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lieq \(m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝lieq \(m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).称函数f′(x)＝lieq \(m,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
3．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)[ SKIPIF 1 < 0 ]′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．
4．导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y﹣y0＝f′(x0)(x﹣x0)．特别地，如果曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线垂直于x轴，则此时导数f′(x0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x＝x0.
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(商的导数)若函数f(x)＝eq \f(x,ex)(e是自然对数的底数)，则其导函数f′(x)＝( )
A.eq \f(1＋x,ex) B.eq \f(1－x,ex) C．1＋x D．1﹣x
答案：B
2．(导数的运算)已知f(x)＝13﹣8x＋2x2，f′(x0)＝4，则x0＝________.
解析：∵f′(x)＝﹣8＋4x，∴f′(x0)＝﹣8＋4x0＝4，解得x0＝3.
答案：3
3．(求切线方程)曲线y＝lg2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．
解析：∵y′＝eq \f(1,xln 2)，∴切线的斜率k＝eq \f(1,ln 2)，∴切线方程为y＝eq \f(1,ln 2)(x﹣1)，
∴所求三角形的面积S＝eq \f(1,2)×1×eq \f(1,ln 2)＝eq \f(1,2ln 2)＝eq \f(1,2)lg2e.
答案：eq \f(1,2)lg2e
4．(已知切线求参数)已知函数f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x﹣y＝0，则a＋b＝________.
解析：由题意，得f′(x)＝aln x＋a，所以f′(1)＝a，因为函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x﹣y＝0，所以a＝2，又f(1)＝b，则2×1﹣b＝0，所以b＝2，故a＋b＝4.
答案：4
二、易错点练清
1．(多选·混淆求导公式)下列导数的运算中正确的是( )
A．(3x)′＝3xln 3 B．(x2ln x)′＝2xln x＋x
C.( SKIPIF 1 < 0 )′＝eq \f(xsin x－cs x,x2) D．(sin xcs x)′＝cs 2x
解析：选ABD 因为( SKIPIF 1 < 0 )′＝eq \f(－xsin x－cs x,x2)，所以C项错误，其余都正确．
2．(混淆点P处的切线和过P点的切线)函数f(x)＝x2＋eq \f(1,x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．x﹣y＋1＝0 B．3x﹣y﹣1＝0
C．x﹣y﹣1＝0 D．3x﹣y＋1＝0
解析：选A 函数f(x)＝x2＋eq \f(1,x)的导数为f′(x)＝2x﹣eq \f(1,x2)，
可得图象在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝2﹣1＝1，切点为(1,2)，
可得图象在点(1，f(1))处的切线方程为y﹣2＝x﹣1，即x﹣y＋1＝0.故选A.
考点一 导数的运算
[典题例析]
(1)设f(x)＝x(2 022＋ln x)，若f′(x0)＝2 023，则x0等于( )
A．e2 B．1 C．ln 2 D．e
(2))已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( )
A．﹣e B．1 C．﹣1 D．e
(3)函数f(x)＝xsin(2x+eq \f(π,2))cs(2x+eq \f(π,2)，则其导函数f′(x)＝________________.
[解析] (1)f′(x)＝2 022＋ln x＋1＝2 023＋ln x，
由f′(x0)＝2 023，得2 023＋ln x0＝2 023，则ln x0＝0，解得x0＝1.
(2)由题可得f′(x)＝2f′(1)＋eq \f(1,x)，则f′(1)＝2f′(1)＋1，解得f′(1)＝﹣1，故选C.
(3)∵f(x)＝xsin(2x+eq \f(π,2))cs(2x+eq \f(π,2))＝eq \f(1,2)xsin(4x＋π)＝﹣eq \f(1,2)xsin 4x，
∴f′(x)＝﹣eq \f(1,2)sin 4x﹣eq \f(1,2)x·4cs 4x＝﹣eq \f(1,2)sin 4x﹣2xcs 4x.
[答案] (1)B (2)C (3)﹣eq \f(1,2)sin 4x﹣2xcs 4x
[方法技巧]
1．导数运算的常见形式及其求解方法
2．解决解析式中含有导数值问题的策略
解决解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数问题的关键是恰当赋值，然后活用方程思想求解，即先求导数f′(x)，然后令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，最后求得所求导数值．
[针对训练]
1．已知函数f(x)＝ln(ax﹣1)的导函数为f′(x)，若f′(2)＝2，则实数a的值为( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(2,3) C.eq \f(3,4) D．1
解析：选B 因为f′(x)＝eq \f(a,ax－1)，所以f′(2)＝eq \f(a,2a－1)＝2，解得a＝eq \f(2,3).故选B.
2．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x﹣a1)(x﹣a2)…(x﹣a8)，则f′(0)＝( )
A．26 B．29 C．212 D．215
解析：选C f′(x)＝(x﹣a1)(x﹣a2)…(x﹣a8)＋x[(x﹣a1)(x﹣a2)·…·(x﹣a8)]′，
所以f′(0)＝a1a2a3…a8＝(a1a8)4＝(2×4)4＝212.故选C.
3．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.
解析：∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝﹣2.∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(﹣2)＝﹣4.
答案：﹣4
考点二 导数的几何意义
考法(一) 求切线方程
[例1] 已知函数f(x)＝x2.
(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求经过点P(﹣1,0)的曲线f(x)的切线方程．
[解] (1)∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(1)＝2，又f(1)＝1，
∴曲线在点(1，f(1))处的切线方程为y﹣1＝2(x﹣1)，即2x﹣y﹣1＝0.
(2)设切点坐标为(x0，xeq \\al(2,0))．∵f′(x0)＝2x0，∴切线方程为y﹣0＝2x0(x＋1)，
又∵切点(x0，xeq \\al(2,0))在切线上，∴代入切线方程得xeq \\al(2,0)＝2x0(x0＋1)，
即xeq \\al(2,0)＋2x0＝0，解得x0＝0或x0＝﹣2.∴所求切线方程为y＝0或y＝﹣4(x＋1)，
即y＝0或4x＋y＋4＝0.
[方法技巧]
求切线方程问题的2种类型及方法
(1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程：
点P(x0，y0)为切点，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y﹣y0＝f′(x0)(x﹣x0)．
(2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程：
切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”求解，即：
①设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为y﹣y1＝f′(x1)(x﹣x1)；
②根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线y＝f(x)上，得到方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＝fx1，,y0－y1＝f′x1x0－x1，))求出切点A(x1，y1)，代入方程y﹣y1＝f′(x1)(x﹣x1)，化简即得所求的切线方程．
考法(二) 求参数值或范围
[例2] 已知曲线f(x)＝e2x﹣2ex＋ax﹣1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是( )
A.(3，eq \f(7,2)) B．(3，＋∞) C.(-∞，eq \f(7,2)) D．(0,3)
[解析] 由题得f′(x)＝2e2x﹣2ex＋a，则方程2e2x﹣2ex＋a＝3有两个不同的正解，
令t＝ex(t>0)，且g(t)＝2t2﹣2t＋a﹣3，则由图象可知，有g(0)>0且Δ>0，
即a﹣3>0且4﹣8(a﹣3)>0，解得3[答案] A
[方法技巧]
利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
[提醒] (1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
考法(三) 导数的几何意义与函数图象
[例3] 已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
[解析] 由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于﹣eq \f(1,3)，∴f′(3)＝﹣eq \f(1,3).
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)．
又由题图可知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×(﹣eq \f(1,3))＝0.
[答案] 0
[方法技巧]
函数图象与导数的关系
(1)导数的几何意义：切线的斜率就是函数在切点处的导数．
(2)切线斜率的变化对函数图象的影响：函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，|f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越陡，f′(x)＞0，曲线上升；f′(x)＜0，曲线下降．
[针对训练]
1．若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝ln x＋b的切线，则b＝( )
A．﹣1 B．1 C．2 D．e
解析：选C 令y＝f(x)＝ex，∴f′(x)＝ex，∴f′(0)＝1，
∵f(0)＝1，∴曲线y＝ex在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.
设切线y＝x＋1与曲线y＝ln x＋b的切点坐标为(m，m＋1)，
∵y′＝eq \f(1,x)，∴y′|x＝m＝eq \f(1,m)＝1，∴m＝1，∴切点坐标为(1,2)，∴2＝ln 1＋b，∴b＝2.
2．(多选)若直线y＝eq \f(1,2)x＋b是函数f(x)图象的一条切线，则函数f(x)可以是( )
A．f(x)＝eq \f(1,x) B．f(x)＝x4 C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ex
解析：选BCD 直线y＝eq \f(1,2)x＋b的斜率为k＝eq \f(1,2)，由f(x)＝eq \f(1,x)的导数为f′(x)＝﹣eq \f(1,x2)，即切线的斜率小于0，故A不正确；由f(x)＝x4的导数为f′(x)＝4x3，而4x3＝eq \f(1,2)，解得x＝eq \f(1,2)，故B正确；由f(x)＝sin x的导数为f′(x)＝cs x，而cs x＝eq \f(1,2)有解，故C正确；由f(x)＝ex的导数为f′(x)＝ex，而ex＝eq \f(1,2)，解得x＝﹣ln 2，故D正确，故选B、C、D.
3．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b＝________.
解析：由题意知，y＝x3＋ax＋b的导数y′＝3x2＋a，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(13＋a＋b＝3，,3×12＋a＝k，,k＋1＝3，))由此解得k＝2，a＝﹣1，b＝3，∴2a＋b＝1.
答案：1
4.已知f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一直角坐标系内的图象如图所示．
(1)若f(1)＝1，则f(﹣1)＝________.
(2)设函数h(x)＝f(x)﹣g(x)，则h(﹣1)，h(0)，h(1)的大小关系为____________(用“＜”连接)．
解析：(1)由题图可得f′(x)＝x，g′(x)＝x2，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
g(x)＝dx3＋ex2＋mx＋n(d≠0)，则f′(x)＝2ax＋b＝x，
g′(x)＝3dx2＋2ex＋m＝x2，故a＝eq \f(1,2)，b＝0，d＝eq \f(1,3)，e＝m＝0，
∴f(x)＝eq \f(1,2)x2＋c，g(x)＝eq \f(1,3)x3＋n.由f(1)＝1，得c＝eq \f(1,2).则f(x)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)，∴f(﹣1)＝1.
(2)h(x)＝f(x)﹣g(x)＝eq \f(1,2)x2﹣eq \f(1,3)x3＋c﹣n，则有h(﹣1)＝eq \f(5,6)＋c﹣n，h(0)＝c﹣n，h(1)＝eq \f(1,6)＋c﹣n.
故h(0)＜h(1)＜h(﹣1)．
答案：(1)1 (2)h(0)＜h(1)＜h(﹣1)
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、综合练——练思维敏锐度
1．曲线y＝ex﹣ln x在点(1，e)处的切线方程为( )
A．(1﹣e)x﹣y＋1＝0 B．(1﹣e)x﹣y﹣1＝0
C．(e﹣1)x﹣y＋1＝0 D．(e﹣1)x﹣y﹣1＝0
解析：选C 由于y′＝e﹣eq \f(1,x)，所以y′|x＝1＝e﹣1，
故曲线y＝ex﹣ln x在点(1，e)处的切线方程为y﹣e＝(e﹣1)(x﹣1)，即(e﹣1)x﹣y＋1＝0.
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值等于( )
A．﹣2 B．2 C．﹣eq \f(9,4) D．eq \f(9,4)
解析：选C 因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋eq \f(1,x)，
所以f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋eq \f(1,2)，解得f′(2)＝﹣eq \f(9,4).
3．设函数f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)(x﹣3k)，且f′(0)＝6，则k＝( )
A．0 B．﹣1 C．3 D．﹣6
解析：选B 因为f′(0)＝6，所以原函数中x的一次项的系数为6，
即k·2k·(﹣3k)＝ ﹣6k3＝6，解得k＝﹣1.故选B.
4．函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为( )

解析：选B 由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)<0.
5．已知f1(x)＝sin x＋cs x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 021(x)＝( )
A．﹣sin x﹣cs x B．sin x﹣cs x
C．﹣sin x＋cs x D．sin x＋cs x
解析：选D ∵f1(x)＝sin x＋cs x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cs x﹣sin x，f3(x)＝f2′(x)＝﹣sin x﹣cs x，
f4(x)＝f3′(x)＝﹣cs x＋sin x，f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cs x，…，
∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，∵2 021＝4×505＋1，∴f2 021(x)＝f1(x)＝sin x＋cs x，故选D.
6．已知直线y＝ax是曲线y＝ln x的切线，则实数a＝( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(1,2e) C.eq \f(1,e) D．eq \f(1,e2)
解析：选C 设切点坐标为(x0，ln x0)，由y＝ln x的导函数为y′＝eq \f(1,x)知切线方程为y﹣ln x0＝eq \f(1,x0)(x﹣x0)，
即y＝eq \f(x,x0)＋ln x0﹣1.由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,x0)，,ln x0－1＝0，))解得a＝eq \f(1,e).故选C.
7．函数f(x)＝x4﹣2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝﹣2x﹣1 B．y＝﹣2x＋1 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x＋1
解析：选B ∵f(x)＝x4﹣2x3，∴f′(x)＝4x3﹣6x2，∴f′(1)＝﹣2.
又f(1)＝1﹣2＝﹣1，∴所求的切线方程为y＋1＝﹣2(x﹣1)，即y＝﹣2x＋1.故选B.
8．已知曲线y＝eq \f(2x,x－1)在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为2eq \r(5)，则直线l的方程为( )
A．2x＋y＋2＝0 B．2x＋y＋2＝0或2x＋y﹣18＝0
C．2x﹣y﹣18＝0 D．2x﹣y＋2＝0或2x﹣y﹣18＝0
解析：选B y′＝eq \f(2x－1－2x,x－12)＝﹣eq \f(2,x－12)，y′|x＝2＝﹣eq \f(2,2－12)＝﹣2，因此kl＝﹣2，
设直线l方程为y＝﹣2x＋b，即2x＋y﹣b＝0，由题意得eq \f(|2×2＋4－b|,\r(5))＝2eq \r(5)，
解得b＝18或b＝﹣2，所以直线l的方程为2x＋y﹣18＝0或2x＋y＋2＝0.故选B.
9．过曲线y＝x2﹣2x＋3上一点P作曲线的切线，若切点P的横坐标的取值范围是[1，eq \f(3,2)]，则切线的倾斜角的取值范围是( )
A.[0，eq \f(π,2)] B．[0，eq \f(π,4)] C．[0，π) D．[eq \f(3π,4)，π)
解析：选B 因为y′＝2x﹣2,1≤x≤eq \f(3,2)，所以0≤2x﹣2≤1.设切线的倾斜角为α，
则0≤tan α≤1.因为0≤α≤π，所以0≤α≤eq \f(π,4)，故选B.
10．若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )
A.(-eq \f(1,2),＋∞) B．[-eq \f(1,2),＋∞) C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
解析：选D f′(x)＝eq \f(1,x)＋2ax＝eq \f(2ax2＋1,x)(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥﹣eq \f(1,x2)(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选D.
11．(多选)已知点A(1,2)在函数f(x)＝ax3的图象上，则过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程是( )
A．6x﹣y﹣4＝0 B．x﹣4y＋7＝0 C．3x﹣2y＋1＝0 D．4x﹣y＋3＝0
解析：选AC 由点A(1,2)在函数f(x)＝ax3的图象上，得a＝2，则f(x)＝2x3，f′(x)＝6x2.设切点为(m,2m3)，则切线的斜率k＝6m2，由点斜式得切线方程为y﹣2m3＝6m2(x﹣m)，代入点A(1,2)的坐标得2﹣2m3＝6m2(1﹣m)，即有2m3﹣3m2＋1＝0，即(m﹣1)2(2m＋1)＝0，解得m＝1或m＝﹣eq \f(1,2)，即斜率为6或eq \f(3,2)，则过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程是y﹣2＝6(x﹣1)或y﹣2＝eq \f(3,2)(x﹣1)，即6x﹣y﹣4＝0或3x﹣2y＋1＝0.故选A、C.
12．函数f(x)＝(2x﹣1)ex的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为________．
解析：由f(x)＝(2x﹣1)ex，得f′(x)＝(2x＋1)ex，∴f′(0)＝1，则切线的斜率k＝1，
又切线的倾斜角θ∈[0，π)，因此切线的倾斜角θ＝eq \f(π,4).
答案：eq \f(π,4)
13．曲线y＝ln(2x﹣1)上的点到直线2x﹣y＋3＝0的最短距离为________．
解析：设曲线上过点P(x0，y0)的切线平行于直线2x﹣y＋3＝0，即斜率是2，则y′|x＝x0＝eq \f(2,2x0－1)＝2，
解得x0＝1，所以y0＝0，即点P(1,0)．又点P到直线2x﹣y＋3＝0的距离为eq \f(|2－0＋3|,\r(22＋－12))＝eq \r(5)，
所以曲线y＝ln(2x﹣1)上的点到直线2x﹣y＋3＝0的最短距离是eq \r(5).
答案：eq \r(5)
14．已知函数f(x)＝eq \f(1,x)，g(x)＝x2.若直线l与曲线f(x)，g(x)都相切，则直线l的斜率为________．
解析：因为f(x)＝eq \f(1,x)，所以f′(x)＝﹣eq \f(1,x2)，设曲线f(x)与l切于点(x1，eq \f(1,x1))，则切线斜率k＝﹣eq \f(1,x\\al(2,1))，
故切线方程为y﹣eq \f(1,x1)＝﹣eq \f(1,x\\al(2,1))(x﹣x1)，即y＝﹣eq \f(1,x\\al(2,1))x＋eq \f(2,x1).与g(x)＝x2联立，得x2＋eq \f(1,x\\al(2,1))x﹣eq \f(2,x1)＝0.
因为直线l与曲线g(x)相切，所以(eq \f(1,x\\al(2,1)))2﹣4(﹣eq \f(2,x1))＝0，解得x1＝﹣eq \f(1,2)，故斜率k＝﹣ eq \f(1,x\\al(2,1))＝﹣4.
答案：﹣4
15．设函数f(x)＝ax﹣eq \f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x﹣4y﹣12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解：(1)方程7x﹣4y﹣12＝0可化为y＝eq \f(7,4)x﹣3，当x＝2时，y＝eq \f(1,2).
又因为f′(x)＝a＋eq \f(b,x2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3，))所以f(x)＝x﹣eq \f(3,x).
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，由y′＝1＋eq \f(3,x2)知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y﹣y0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,x\\al(2,0))))(x﹣x0)，即y﹣eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(3,x0)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,x\\al(2,0))))(x﹣x0)．
令x＝0，得y＝﹣eq \f(6,x0)，所以切线与直线x＝0的交点坐标为(0,﹣eq \f(6,x0)).
令y＝x，得y＝x＝2x0，所以切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积
S＝eq \f(1,2)|﹣eq \f(6,x0)||2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.
基本初等函数
导函数
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝eq \a\vs4\al(0)
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα﹣1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs_x
f(x)＝cs x
f′(x)＝﹣sin_x
f(x)＝ex
f′(x)＝eq \a\vs4\al(ex)
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \a\vs4\al(\f(1,x))
f(x)＝lgax(a>0，a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
连乘积形式
先展开化为多项式的形式，再求导
分式形式
观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
对数形式
先化为和、差的形式，再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式，再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
复合函数
确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元