（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案2.4《指数与指数函数》 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.将根式与指数幂相结合考查它们之间的互化，凸显数学运算的核心素养．
2．与方程、不等式等相结合考查指数函数图象的应用，凸显直观想象的核心素养．
3．与二次函数、不等式等问题综合考查指数型函数的性质及应用，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．
[理清主干知识]
1．根式
(1)根式的概念
若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子 eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)a的n次方根的表示
xn＝a⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ \r(n,a) 当n为奇数且n>1时，,x＝±\r(n,a)当n为偶数且n>1时.))
2．有理数指数幂
3．指数函数的图象和性质
4．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．函数y＝2x＋1的图象是( )
2．计算：π0＋2﹣2×(2eq \f(1,4))0.5＝________.
3.若eq \r(2a－12)＝eq \r(3,1－2a3)，则实数a的取值范围为________．
4．函数f(x)＝ax﹣2＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．
5．函数y＝3x2﹣2x的值域为________．
二、易错点练清
1．计算 eq \r(3,1＋\r(2)3)＋ eq \r(4,1－\r(2)4)＝________.
2．若函数f(x)＝(a2﹣3)·ax为指数函数，则a＝________.
3．若函数f(x)＝ax在[﹣1，1]上的最大值为2，则a＝________.
考点一 指数幂的化简与求值
[典例]eq \f(a3,\r(a)·\r(5,a4))(a>0)的值是( )
A．1 B．a C．a SKIPIF 1 < 0 D．a SKIPIF 1 < 0
[方法技巧]
1．指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
2．化简指数幂常用的技巧
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))﹣p＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))p(ab≠0)；
(2)a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a SKIPIF 1 < 0 ))m，aeq \f(n,m)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a SKIPIF 1 < 0 ))n(式子有意义)；
(3)1的代换，如1＝a﹣1a，1＝a SKIPIF 1 < 0 a SKIPIF 1 < 0 等；
(4)乘法公式的常见变形，
如(a SKIPIF 1 < 0 ＋b SKIPIF 1 < 0 )(a SKIPIF 1 < 0 ﹣b SKIPIF 1 < 0 )＝a﹣b，(a SKIPIF 1 < 0 ±b SKIPIF 1 < 0 )2＝a±2a SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0 ＋b，(a SKIPIF 1 < 0 ±b SKIPIF 1 < 0 )(a SKIPIF 1 < 0 ∓a SKIPIF 1 < 0 b SKIPIF 1 < 0 ＋b SKIPIF 1 < 0 )＝a±b.
[针对训练]
1．已知14a＝7b＝4c＝2，则eq \f(1,a)﹣eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝________.
2．若x>0，则(2x SKIPIF 1 < 0 ＋3 SKIPIF 1 < 0 )(2x SKIPIF 1 < 0 ﹣3 SKIPIF 1 < 0 )﹣4x SKIPIF 1 < 0 (x﹣x SKIPIF 1 < 0 )＝________.
考点二 指数函数的图象及应用
[典题例析]
(1)已知函数f(x)＝(x﹣a)(x﹣b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )

(2)(多选)已知实数a，b满足等式2 020a＝2 021b，下列四个关系式中成立的关系式是( )
A．0[方法技巧]
有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关参数取值范围问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
[针对训练]
1．函数f(x)＝1﹣e|x|的图象大致是( )
2.函数f(x)＝ax﹣b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．03．若函数f(x)＝(eq \f(1,2))|1﹣x|＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是________．
考点三 指数函数的性质及应用
考法(一) 与指数函数有关的函数单调性问题
[例1] 若函数f(x)＝a|2x﹣4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝eq \f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(﹣∞，2] B．[2，＋∞) C．[﹣2，＋∞) D．(﹣∞，﹣2]
[方法技巧]
与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．
考法(二) 比较指数式大小
[例2] 已知f(x)＝2x﹣2﹣x，a＝(eq \f(7,9))﹣0.25，b＝( SKIPIF 1 < 0 )0.2，c＝lg2eq \f(7,9)，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( )
A．f(b)C．f(c)[方法技巧] 比较指数幂大小的常用方法
考法(三) 解指数方程或不等式
[例3] 设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，则实数a的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣3) B．(1，＋∞)
C．(﹣3，1) D．(﹣∞，﹣3)∪(1，＋∞)
[方法技巧]
简单的指数方程或不等式的求解问题
解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
考法(四) 与指数函数有关的函数最值问题
[例4] (1)已知集合A＝{x|(2﹣x)·(2＋x)>0}，则函数f(x)＝4x﹣2x＋1﹣3(x∈A)的最小值为( )
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
(2)若函数f(x)＝(eq \f(1,3)) SKIPIF 1 < 0 有最大值3，则a＝________.
[方法技巧]
解决形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)型函数最值问题，多利用换元法，即令t＝ax，转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．
[针对训练]
1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a2．(多选)对于给定的函数f(x)＝ax﹣a﹣x(x∈R，a>0，且a≠1)，下面给出四个命题，其中真命题是( )
A．函数f(x)的图象关于原点对称
B．函数f(x)在R上不具有单调性
C．函数f(|x|)的图象关于y轴对称
D．当03．函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间是( )
A.(﹣∞，eq \f(1,2)] B．[0，eq \f(1,2)] C.[eq \f(1,2)，+∞) D．[eq \f(1,2)，1]
4．若不等式1＋2x＋4x·a>0在x∈(﹣∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是________．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．函数y＝ln(2x﹣1)的定义域是( )
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞) C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
2．函数y＝(eq \f(1,2))2x﹣x2的值域为( )
A.[eq \f(1,2)，+∞) B．(-∞，eq \f(1,2)] C.(0，eq \f(1,2)] D．(0，2]
3．已知函数f(x)＝4＋2ax﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )
A．(1，6) B．(1，5) C．(0，5) D．(5，0)
4．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a
二、综合练——练思维敏锐度
1．已知ab＝﹣5，则aeq \r(－\f(b,a))＋beq \r(－\f(a,b))的值是( )
A．2eq \r(5) B．0 C．﹣2eq \r(5) D．±2eq \r(5)
2．已知0A．ba B．Aa C．ab D．bb
3．函数y＝(eq \f(1,3)) SKIPIF 1 < 0 的值域为( )
A．(0，1) B．(1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)
4．函数y＝ax(a>0且a≠1)与函数y＝(a﹣1)x2﹣2x﹣1在同一个坐标系内的图象可能是( )
5．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x﹣m|﹣1为偶函数，记a＝f(lg0.53)，b＝f(lg25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a6．若ea＋πb≥e﹣b＋π﹣a，则有( )
A．a＋b≤0 B．a﹣b≥0 C．a﹣b≤0 D．a＋b≥0
7．(多选)已知函数f(x)＝eq \f(2x－1,2x＋1)，下面说法正确的有( )
A．f(x)的图象关于原点对称 B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的值域为(﹣1，1) D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＜0
8．化简：(2eq \r(3,a2)·eq \r(b))(﹣6eq \r(a)·eq \r(3,b))÷(﹣3eq \r(6,a)·eq \r(6,b5))＝_______.
9．若函数f(x)＝ax﹣1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a的值为________．
10．当x∈(﹣∞，﹣1]时，不等式(m2﹣m)·4x﹣2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
11．设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax﹣1在[﹣1，1]上的最大值是14，求实数a的值．
12．已知函数f(x)＝2a·4x﹣2x﹣1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[﹣3，0]上的值域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．
13．已知定义域为R的函数f(x)＝eq \f(－2x＋b,2x＋1＋a)是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2﹣2t)＋f(2t2﹣k)<0恒成立，求k的取值范围．
幂的有
关概念
正分数指数幂：a SKIPIF 1 < 0 ＝eq \r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数指数幂：a SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,a SKIPIF 1 < 0 )＝eq \f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义
有理数
指数幂
的性质
aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)
(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)
y＝ax
a>1
0图象
性质
函数的定义域为eq \a\vs4\al(R)；值域为(0，＋∞)
函数图象过定点(0，1)，即当x＝eq \a\vs4\al(0)时，y＝eq \a\vs4\al(1)
当x>0时，恒有y>1；
当x>0时，恒有0当x<0时，恒有0当x<0时，恒有y>1
函数在定义域R上为增函数
函数在定义域R上为减函数
单调性法
取中间
不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底
值法
不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系
图解法
根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小