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（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案2.5《对数与对数函数》 (2份打包，原卷版+教师版)
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这是一份（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案2.5《对数与对数函数》 (2份打包，原卷版+教师版)，文件包含小白高考新高考数学零基础一轮复习教案25《对数与对数函数》教师版doc、小白高考新高考数学零基础一轮复习教案25《对数与对数函数》原卷版doc等2份教案配套教学资源，其中教案共20页， 欢迎下载使用。
1.对数的运算性质与对数的换底公式相结合考查对数的运算，凸显数学运算的核心素养．
2．与不等式等问题相结合考查对数函数的图象及其应用，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
3．与不等式等问题相结合考查对数函数的单调性、值域等性质，凸显直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．对数
2．对数函数的图象与性质
3．底数的大小决定了图象相对位置的高低
不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；
在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．
(无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)
4．反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．计算：2 SKIPIF 1 < 0 ＋lg 8＋eq \f(3,2)lg 25＋(eq \f(9,25)) SKIPIF 1 < 0 ＝________.
2．计算lg225·lg34·lg59＝________.
3．已知函数y＝lga(x﹣3)﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
4．函数y＝eq \r(lg2x－1)的定义域为________．
5．函数y＝lg SKIPIF 1 < 0 (3x﹣1)的单调递减区间为________．
二、易错点练清
1．有下列结论：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝1，则x＝10；④若lg22＝x，则x＝1；⑤若lgmn·lg3m＝2，则n＝9.其中正确结论的序号是____________．
2．已知lg x＋lg y＝2lg(x﹣2y)，则eq \f(x,y)＝________.
3．若函数y＝lgax(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________.
考点一 对数式的化简与求值
[典例] (1)设alg34＝2，则4﹣a＝( )
A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,9) C.eq \f(1,8) D．eq \f(1,6)
(2)计算下列各式的值：
①lg535＋2lg SKIPIF 1 < 0 eq \r(2)﹣lg5eq \f(1,50)﹣lg514； ②[(1﹣lg63)2＋lg62·lg618]÷lg64.
[方法技巧]
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.
[针对训练]
1．(多选)若10a＝4,10b＝25，则( )
A．a＋b＝2 B．b﹣a＝1 C．ab>8lg22 D．b﹣a>lg 6
2．计算：eq \f(1－lg632＋lg62·lg618,lg64)＝________.
3．已知lg23＝a,3b＝7，则lg3eq \r(7)2eq \r(21)的值为________．
考点二 对数函数的图象及应用
考法(一) 对数函数图象的辨析
[例1]在同一直角坐标系中，函数y＝eq \f(1,ax)，y＝lga(x+eq \f(1,2))(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
[方法技巧]
研究对数型函数图象的思路
研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a>1或0考法(二) 对数函数图象的应用
[例2] 当0A.(0，eq \f(\r(2),2)) B.(eq \f(\r(2),2)，1) C．(1，eq \r(2)) D．(eq \r(2)，2)
[方法技巧]
与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法，应用时要准确画出图象，把方程根、不等式的解等问题转化为函数图象之间的问题．
[针对训练]
1．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)与g(x)＝lgax的图象可能是( )
2．已知函数f(x)＝|ln x|.若0A．(4，＋∞) B．[4，＋∞) C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)
3．已知函数f(x)＝|lg SKIPIF 1 < 0 x|的定义域为[eq \f(1,2),m]，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．
考点三 对数函数的性质及应用
考法(一) 与对数函数有关的函数定义域问题
[例1] 若函数y＝lg2(mx2﹣2mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A．(0,3) B．[0,3) C．(0,3] D．[0,3]
[方法技巧]
已知f(x)＝lga(px2＋qx＋r)(a>0，且a≠1)的定义域为R，求参数范围时，要注意分p＝0，p≠0讨论．同时p≠0时应结合图象说明成立条件．
考法(二) 与对数函数有关的比较大小问题
[例2] (1)设a＝30.7，b＝(eq \f(1,3))﹣0.8，c＝lg0.70.8，则a，b，c的大小关系为( )
A．a(2)若2a＋lg2a＝4b＋2lg4b，则( )
A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2
[方法技巧] 对数函数值大小比较的方法
考法(三) 与对数函数有关的不等式问题
[例3] 设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x＞0，,lg\f(1,2)－x，x＜0.))若f(a)＞f(﹣a)，则实数a的取值范围是( )
A．(﹣1,0)∪(0,1) B．(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞)
C．(﹣1,0)∪(1，＋∞) D．(﹣∞，﹣1)∪(0,1)
[方法技巧]
简单对数不等式问题的求解策略
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论．
(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
[针对训练]
1．(多选)设函数y＝ln(x2﹣x＋1)，则下列命题中正确的是( )
A．函数的定义域为R B．函数是增函数
C．函数的值域为R D．函数的图象关于直线x＝eq \f(1,2)对称
2．已知55<84，134<85.设a＝lg53，b＝lg85，c＝lg138，则( )
A．a3．已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)，若a＝g(﹣lg25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝lg2(x＋1)，则满足不等式f(a﹣2a2)＋4>0的实数a的取值范围是________．
5．已知lgaeq \f(3,4)<1，那么a的取值范围是________．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．lg29·lg32＋lgaeq \f(5,4)＋lga(eq \f(4,5)a)(a>0，且a≠1)的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．函数y＝eq \r(lg SKIPIF 1 < 0 2x－1)的定义域是( )
A．[1,2] B．[1,2) C.[eq \f(1,2)，1] D．(eq \f(1,2)，1]
3．设a＝lg3π，b＝lg2eq \r(3)，c＝lg3eq \r(2)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
4．(多选)已知函数f(x)＝lg SKIPIF 1 < 0 (x＋eq \f(1,x))，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的定义域为(0，＋∞) B．f(x)的值域为[﹣1，＋∞)
C．f(x)是奇函数 D．f(x)在(0,1)上单调递增
5．已知a>0，且a≠1，函数y＝lga(2x﹣3)＋eq \r(2)的图象恒过点P.若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________.
6．函数y＝lg2|x＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．
二、综合练——练思维敏锐度
1．已知函数f(x)＝lg(eq \r(1＋4x2)＋2x)＋2，则f(ln 2)＋f(lneq \f(1,2))＝( )
A．4 B．2 C．1 D．0
2．(多选)已知函数f(x)＝(lg2x)2﹣lg2x2﹣3，则下列说法正确的是( )
A．f(4)＝﹣3
B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点
C．函数y＝f(x)的最小值为﹣4
D．函数y＝f(x)的最大值为4
3．若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则( )
A．ln(y﹣x＋1)＞0 B．ln(y﹣x＋1)＜0 C．ln|x﹣y|＞0 D．ln|x﹣y|＜0
4．设函数f(x)＝lga|x|(a>0，且a≠1)在(﹣∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( )
A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定
5．(多选)如果函数f(x)＝lga|x﹣1|在(0,1)上是减函数，那么( )
A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值
B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值
C．f(x)在定义域内是偶函数
D．f(x)的图象关于直线x＝1对称
6．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlg2(1+eq \f(S,N)).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中eq \f(S,N)叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比eq \f(S,N)从1 000提升至2 000，则C大约增加了( )
A．10% B．30% C．50% D．100%
7．已知函数f(x)＝lga(2x﹣a)在区间[eq \f(1,2)，eq \f(2,3)]上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是( )
A.(eq \f(1,3)，1). B．[eq \f(1,3)，1). C.(eq \f(2,3)，1). D．[eq \f(2,3)，1)
8．如果函数f(x)的图象与函数g(x)＝ex的图象关于直线y＝x对称，则f(4x﹣x2)的单调递增区间为________．
9．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝lg SKIPIF 1 < 0 x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2﹣1)>﹣2.
10．已知函数f(x)＝lg(x＋eq \f(a,x)﹣2>0)，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，lgaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝lgaN
lga1＝0，lgaa＝1，algaN＝N
运算
法则
lga(M·N)＝lgaM＋lgaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
lgaeq \f(M,N)＝lgaM﹣lgaN
lgaMn＝nlgaM(n∈R)
换底
公式
lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
y＝lgax
a>1
0图象
性质
定义域为(0，＋∞)
值域为R
过定点(1,0)，即x＝eq \a\vs4\al(1)时，y＝eq \a\vs4\al(0)
当x>1时，y>0；
当x>1时，y<0；
当0当00
在区间(0，＋∞)上是增函数
在区间(0，＋∞)上是减函数
单调性法
在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底
中间量
过渡法
寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”
图象法
根据图象观察得出大小关系
1.对数的运算性质与对数的换底公式相结合考查对数的运算，凸显数学运算的核心素养．
2．与不等式等问题相结合考查对数函数的图象及其应用，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
3．与不等式等问题相结合考查对数函数的单调性、值域等性质，凸显直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．对数
2．对数函数的图象与性质
3．底数的大小决定了图象相对位置的高低
不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0
在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．
(无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)
4．反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．计算：2 SKIPIF 1 < 0 ＋lg 8＋eq \f(3,2)lg 25＋(eq \f(9,25)) SKIPIF 1 < 0 ＝________.
2．计算lg225·lg34·lg59＝________.
3．已知函数y＝lga(x﹣3)﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
4．函数y＝eq \r(lg2x－1)的定义域为________．
5．函数y＝lg SKIPIF 1 < 0 (3x﹣1)的单调递减区间为________．
二、易错点练清
1．有下列结论：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝1，则x＝10；④若lg22＝x，则x＝1；⑤若lgmn·lg3m＝2，则n＝9.其中正确结论的序号是____________．
2．已知lg x＋lg y＝2lg(x﹣2y)，则eq \f(x,y)＝________.
3．若函数y＝lgax(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________.
考点一 对数式的化简与求值
[典例] (1)设alg34＝2，则4﹣a＝( )
A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,9) C.eq \f(1,8) D．eq \f(1,6)
(2)计算下列各式的值：
①lg535＋2lg SKIPIF 1 < 0 eq \r(2)﹣lg5eq \f(1,50)﹣lg514； ②[(1﹣lg63)2＋lg62·lg618]÷lg64.
[方法技巧]
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.
[针对训练]
1．(多选)若10a＝4,10b＝25，则( )
A．a＋b＝2 B．b﹣a＝1 C．ab>8lg22 D．b﹣a>lg 6
2．计算：eq \f(1－lg632＋lg62·lg618,lg64)＝________.
3．已知lg23＝a,3b＝7，则lg3eq \r(7)2eq \r(21)的值为________．
考点二 对数函数的图象及应用
考法(一) 对数函数图象的辨析
[例1]在同一直角坐标系中，函数y＝eq \f(1,ax)，y＝lga(x+eq \f(1,2))(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
[方法技巧]
研究对数型函数图象的思路
研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a>1或0
[例2] 当0
[方法技巧]
与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法，应用时要准确画出图象，把方程根、不等式的解等问题转化为函数图象之间的问题．
[针对训练]
1．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)与g(x)＝lgax的图象可能是( )
2．已知函数f(x)＝|ln x|.若0
3．已知函数f(x)＝|lg SKIPIF 1 < 0 x|的定义域为[eq \f(1,2),m]，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．
考点三 对数函数的性质及应用
考法(一) 与对数函数有关的函数定义域问题
[例1] 若函数y＝lg2(mx2﹣2mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A．(0,3) B．[0,3) C．(0,3] D．[0,3]
[方法技巧]
已知f(x)＝lga(px2＋qx＋r)(a>0，且a≠1)的定义域为R，求参数范围时，要注意分p＝0，p≠0讨论．同时p≠0时应结合图象说明成立条件．
考法(二) 与对数函数有关的比较大小问题
[例2] (1)设a＝30.7，b＝(eq \f(1,3))﹣0.8，c＝lg0.70.8，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2
[方法技巧] 对数函数值大小比较的方法
考法(三) 与对数函数有关的不等式问题
[例3] 设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x＞0，,lg\f(1,2)－x，x＜0.))若f(a)＞f(﹣a)，则实数a的取值范围是( )
A．(﹣1,0)∪(0,1) B．(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞)
C．(﹣1,0)∪(1，＋∞) D．(﹣∞，﹣1)∪(0,1)
[方法技巧]
简单对数不等式问题的求解策略
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0
(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
[针对训练]
1．(多选)设函数y＝ln(x2﹣x＋1)，则下列命题中正确的是( )
A．函数的定义域为R B．函数是增函数
C．函数的值域为R D．函数的图象关于直线x＝eq \f(1,2)对称
2．已知55<84，134<85.设a＝lg53，b＝lg85，c＝lg138，则( )
A．a
A．a
5．已知lgaeq \f(3,4)<1，那么a的取值范围是________．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．lg29·lg32＋lgaeq \f(5,4)＋lga(eq \f(4,5)a)(a>0，且a≠1)的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．函数y＝eq \r(lg SKIPIF 1 < 0 2x－1)的定义域是( )
A．[1,2] B．[1,2) C.[eq \f(1,2)，1] D．(eq \f(1,2)，1]
3．设a＝lg3π，b＝lg2eq \r(3)，c＝lg3eq \r(2)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
4．(多选)已知函数f(x)＝lg SKIPIF 1 < 0 (x＋eq \f(1,x))，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的定义域为(0，＋∞) B．f(x)的值域为[﹣1，＋∞)
C．f(x)是奇函数 D．f(x)在(0,1)上单调递增
5．已知a>0，且a≠1，函数y＝lga(2x﹣3)＋eq \r(2)的图象恒过点P.若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________.
6．函数y＝lg2|x＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．
二、综合练——练思维敏锐度
1．已知函数f(x)＝lg(eq \r(1＋4x2)＋2x)＋2，则f(ln 2)＋f(lneq \f(1,2))＝( )
A．4 B．2 C．1 D．0
2．(多选)已知函数f(x)＝(lg2x)2﹣lg2x2﹣3，则下列说法正确的是( )
A．f(4)＝﹣3
B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点
C．函数y＝f(x)的最小值为﹣4
D．函数y＝f(x)的最大值为4
3．若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则( )
A．ln(y﹣x＋1)＞0 B．ln(y﹣x＋1)＜0 C．ln|x﹣y|＞0 D．ln|x﹣y|＜0
4．设函数f(x)＝lga|x|(a>0，且a≠1)在(﹣∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( )
A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)
5．(多选)如果函数f(x)＝lga|x﹣1|在(0,1)上是减函数，那么( )
A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值
B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值
C．f(x)在定义域内是偶函数
D．f(x)的图象关于直线x＝1对称
6．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlg2(1+eq \f(S,N)).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中eq \f(S,N)叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比eq \f(S,N)从1 000提升至2 000，则C大约增加了( )
A．10% B．30% C．50% D．100%
7．已知函数f(x)＝lga(2x﹣a)在区间[eq \f(1,2)，eq \f(2,3)]上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是( )
A.(eq \f(1,3)，1). B．[eq \f(1,3)，1). C.(eq \f(2,3)，1). D．[eq \f(2,3)，1)
8．如果函数f(x)的图象与函数g(x)＝ex的图象关于直线y＝x对称，则f(4x﹣x2)的单调递增区间为________．
9．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝lg SKIPIF 1 < 0 x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2﹣1)>﹣2.
10．已知函数f(x)＝lg(x＋eq \f(a,x)﹣2>0)，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，lgaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝lgaN
lga1＝0，lgaa＝1，algaN＝N
运算
法则
lga(M·N)＝lgaM＋lgaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
lgaeq \f(M,N)＝lgaM﹣lgaN
lgaMn＝nlgaM(n∈R)
换底
公式
lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
y＝lgax
a>1
0
性质
定义域为(0，＋∞)
值域为R
过定点(1,0)，即x＝eq \a\vs4\al(1)时，y＝eq \a\vs4\al(0)
当x>1时，y>0；
当x>1时，y<0；
当0
在区间(0，＋∞)上是增函数
在区间(0，＋∞)上是减函数
单调性法
在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底
中间量
过渡法
寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”
图象法
根据图象观察得出大小关系
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