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（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案8.4《椭圆》 (2份打包，原卷版+教师版)
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这是一份（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案8.4《椭圆》 (2份打包，原卷版+教师版)，文件包含小白高考新高考数学零基础一轮复习教案84《椭圆》教师版doc、小白高考新高考数学零基础一轮复习教案84《椭圆》原卷版doc等2份教案配套教学资源，其中教案共21页， 欢迎下载使用。
1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a>c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段．
(3)若a2．椭圆的标准方程和几何性质
3．常用结论
(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为eq \f(2b2,a)，过焦点最长弦为长轴．
(2)过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.
(3)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为eq \f(x2,a2＋λ)＋eq \f(y2,b2＋λ)＝1(λ＞﹣b2)．
(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；
②S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
③△PF1F2的周长为2(a＋c)．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(椭圆的定义)设P是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝( )
A．4 B．8 C．6 D．18
解析：选C 由定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.
2．(椭圆的离心率)椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的离心率是( )
A.eq \f(\r(13),3) B．eq \f(\r(5),3) C.eq \f(2,3) D．eq \f(5,9)
解析：选B ∵椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，∴a＝3，c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(9－4)＝eq \r(5).∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3).故选B.
3．(椭圆的方程)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq \f(1,3)，则椭圆C的方程是( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
解析：选D 依题意，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,3)，,c2＝a2－b2，))解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.
4．(求参数)椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝________.
解析：椭圆x2＋my2＝1可化为x2＋eq \f(y2,\f(1,m))＝1，因为其焦点在y轴上，所以a2＝eq \f(1,m)，b2＝1，
依题意知 eq \r(\f(1,m))＝2，解得m＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
二、易错点练清
1．(忽视椭圆定义中2a>|F1F2|) 到两定点F1(﹣2,0)和F2(2，0)的距离之和为4的点的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段 C．圆 D．以上都不对
答案：B
2．(忽视对焦点位置的讨论)若椭圆的方程为eq \f(x2,10－a)＋eq \f(y2,a－2)＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.
解析：①当焦点在x轴上时，10﹣a﹣(a﹣2)＝22，解得a＝4；②当焦点在y轴上时，a﹣2﹣(10﹣a)＝22，解得a＝8.
答案：4或8
3．(忽视椭圆上点的坐标满足的条件)已知点P是椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为______________．
解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2﹣b2＝5﹣4＝1，所以c＝1，则F1(﹣1,0)，F2(1,0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1，得x＝±eq \f(\r(15),2)，又x>0，所以x＝eq \f(\r(15),2)，所以P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，1))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－1)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，1))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－1))
考点一 椭圆定义的应用
考法(一) 利用定义求轨迹方程
[例1]已知两圆C1：(x﹣4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,64)﹣eq \f(y2,48)＝1 B.eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,48)＝1 C.eq \f(x2,48)﹣eq \f(y2,64)＝1 D．eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
[解析] 设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13﹣r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1.
[答案] D
考法(二) 求解“焦点三角形”问题
[例2] 椭圆C：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2eq \r(3)，则△PF1F2的周长是( )
A．2(eq \r(2)＋eq \r(3)) B．4＋2eq \r(3) C.eq \r(2)＋eq \r(3) D．eq \r(2)＋2eq \r(3)
[解析] 如图，由于O，M，N分别为F1F2，PF1，PF2的中点，
所以OM∥PF2，ON∥PF1，且|OM|＝eq \f(1,2)|PF2|，|ON|＝eq \f(1,2)|PF1|，
所以四边形OMPN为平行四边形，
所以▱OMPN的周长为2(|OM|＋|ON|)＝|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq \r(3)，
所以a＝eq \r(3)，又知a2＝b2＋c2，b2＝1，所以c2＝a2﹣1＝2，所以|F1F2|＝2c＝2eq \r(2)，
所以△PF1F2的周长为2a＋2c＝2eq \r(3)＋2eq \r(2)＝2(eq \r(2)＋eq \r(3))，故选A.
[答案] A
考法(三) 利用定义求最值
[例3] 设点P是椭圆C：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1上的动点，F为椭圆C的右焦点，定点A(2,1)，则|PA|＋|PF|的取值范围是______________．
[解析] 如图所示，设F′是椭圆的左焦点，连接AF′，PF′，则F′(﹣2,0)，
∴|AF′|＝eq \r(42＋12)＝eq \r(17).∵|PF|＋|PF′|＝2a＝4eq \r(2)，
∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a﹣|PF′|≤2a＋|AF′|＝4eq \r(2)＋eq \r(17)，
|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a﹣|PF′|＝2a﹣(|PF′|﹣|PA|)≥2a﹣|AF′|＝4eq \r(2)﹣eq \r(17).
∴|PA|＋|PF|的取值范围是[4eq \r(2)﹣eq \r(17)，4eq \r(2)＋eq \r(17) ]．
[答案] [4eq \r(2)﹣eq \r(17)，4eq \r(2)＋eq \r(17) ]
[方法技巧] 椭圆定义应用的类型及方法
[针对训练]
1．(多选)(2021·日照模拟)已知P是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cs∠F1PF2＝eq \f(1,3)，则( )
A．△PF1F2的周长为12 B．S△PF1F2＝2eq \r(2)
C．点P到x轴的距离为eq \f(2\r(10),5) D．eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝2
解析：选BCD 由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝eq \r(5)，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2eq \r(5)，故A选项错误；
在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cs∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2﹣2|PF1||PF2|﹣2|PF1|·|PF2|cs∠F1PF2，
所以20＝36﹣2|PF1|·|PF2|﹣eq \f(2,3)|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，
故S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×6×eq \f(2\r(2),3)＝2eq \r(2)，故B选项正确；
设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2|·d＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)d＝2eq \r(2)，解得d＝eq \f(2\r(10),5)，故C选项正确；
eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝|eq \(PF1,\s\up7(―→))|·|eq \(PF2,\s\up7(―→))|cs∠F1PF2＝6×eq \f(1,3)＝2，故D选项正确．
考点二 椭圆的标准方程
[例1] 过点(eq \r(3)，﹣eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,2\r(5))＋eq \f(y2,4)＝1 C.eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2\r(5))＝1
[解析] 法一：定义法
椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点为(0，﹣4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝eq \r(\r(3)－02＋－\r(5)＋42)＋eq \r(\r(3)－02＋－\r(5)－42)，
解得a＝2eq \r(5).由c2＝a2﹣b2，可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.故选C.
法二：待定系数法
设所求椭圆方程为eq \f(y2,25＋k)＋eq \f(x2,9＋k)＝1(k>﹣9)，将点(eq \r(3)，﹣eq \r(5))的坐标代入，
可得eq \f(－\r(5)2,25＋k)＋eq \f(\r(3)2,9＋k)＝1，解得k＝﹣5，所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.故选C.
[答案] C
[例2] 如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(﹣5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,15)＝1 C.eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1 D．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)＝1
[解析] 由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，
∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，
∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，
得|PF′|＝eq \r(|FF′|2－|PF|2)＝eq \r(102－62)＝8，由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，
从而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2﹣c2＝49﹣25＝24，∴椭圆C的方程为eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1，故选C.
[答案] C
[方法技巧] 求椭圆标准方程的2种常用方法
[针对训练]
1．若直线x﹣2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋y2＝1 B.eq \f(x2,4)＋y2＝1 C.eq \f(x2,5)＋y2＝1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1 D．以上答案都不正确
解析：选C 直线与坐标轴的交点为(0,1)，(﹣2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，
所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1；当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，
所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,5)＋eq \f(x2,4)＝1.
2．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，eq \r(3))是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1 B．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,6)＝1 C.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1
解析：选A 设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由点P(2，eq \r(3))在椭圆上知eq \f(4,a2)＋eq \f(3,b2)＝1.
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，又c2＝a2﹣b2，联立得a2＝8，b2＝6.所以椭圆方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1.
考点三 椭圆的几何性质
考法(一) 求椭圆的离心率
[例1] (1)已知椭圆方程为eq \f(x2,a)＋eq \f(y2,b)＝1，且a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2)
(2)过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>b>0))的左焦点F的直线过C的上端点B，且与椭圆相交于点A，若eq \(BF,\s\up7(―→))＝3eq \(FA,\s\up7(―→))，则C的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(2),2)
[解析] (1)因为a，b，a＋b成等差数列，所以2b＝a＋a＋b，即b＝2a，又因为a，b，ab成等比数列，b≠0，a≠0，所以b2＝a·ab，即b＝a2，所以a＝2，b＝4，椭圆方程为eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1，c＝eq \r(4－2)＝eq \r(2)，所以离心率e＝eq \f(\r(2),2).故选C.
(2)由题意可得B(0，b)，F(﹣c,0)，由eq \(BF,\s\up7(―→))＝3eq \(FA,\s\up7(―→))，得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)c，－\f(b,3)))，
又点A在椭圆上，则eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)c))2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,3)))2,b2)＝1，整理可得eq \f(16,9)·eq \f(c2,a2)＝eq \f(8,9)，∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,2)，e＝eq \f(\r(2),2).故选D.
[答案] (1)C (2)D
[方法技巧]
求椭圆离心率的3种方法
(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
[提醒] 在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.
考法(二) 求椭圆的离心率的范围
[例2] 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)，直线y＝x与椭圆相交于A，B两点，若椭圆上存在异于A，B两点的点P使得kPA·kPB∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))，则离心率e的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6),3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))
[解析] 设P(x0，y0)，直线y＝x过原点，由椭圆的对称性设A(x1，y1)，B(﹣x1，﹣y1)，
kPAkPB＝eq \f(y0－y1,x0－x1)×eq \f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq \f(y\\al(2,0)－y\\al(2,1),x\\al(2,0)－x\\al(2,1)).又eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，两式做差，
代入上式得kPAkPB＝﹣eq \f(b2,a2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))，故0[答案] B
[方法技巧] 求椭圆离心率范围的2种方法
[针对训练]
1．(多选)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，则下述正确的是( )
A．椭圆C的长轴长为10
B．椭圆C的两个焦点分别为(0，﹣3)和(0,3)
C．椭圆C的离心率等于eq \f(3,5)
D．若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则|PQ|＝eq \f(32,5)
解析：选ACD ∵16x2＋25y2＝400，∴eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1，
∴a＝5，b＝4，c＝3，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,5)，∴长轴长2a＝10，故A、C正确，B错误．
对于选项D，|PQ|＝eq \f(2b2,a)＝eq \f(32,5)，正确．故选A、C、D.
2．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直线l过焦点且倾斜角为eq \f(π,4)，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(2),3) B．eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(5),3) D．eq \f(\r(6),3)
解析：选D 直线l的方程为y＝x±c，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦为AB，AB＝2c，设OC⊥AB，垂足为C，则OC＝eq \f(|±c|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)c，在Rt△OAC中，OA2＝AC2＋OC2⇒a2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AB))2＋eq \f(1,2)c2⇒a2＝eq \f(3,2)c2⇒c＝eq \f(\r(6),3)a⇒e＝eq \f(\r(6),3)，故选D.
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上
C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为eq \r(n)
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
解析：选AD ∵mx2＋ny2＝1，∴eq \f(x2,\f(1,m))＋eq \f(y2,\f(1,n))＝1，若m＞n＞0，∴0＜eq \f(1,m)＜eq \f(1,n)，∴C是椭圆，且焦点在y轴上，故A正确，B错误．若m＝n＞0，则x2＋y2＝eq \f(1,n)，C是圆，半径为eq \f(1,\r(n))，C错误．若m＝0，n＞0，∴y2＝eq \f(1,n)，∴y＝±eq \f(\r(n),n)，则C是两条直线，D正确．故选A、D.
2．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，则( )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2 C．a＝2b D．3a＝4b
解析：选B 因为椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.
3．已知焦点在y轴上的椭圆 eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,m)＝1的长轴长为8，则m＝( )
A．4 B．8 C．16 D．18
解析：选C 椭圆的焦点在y轴上，则m＝a2.由长轴长2a＝8得a＝4，所以m＝16.故选C.
4．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4eq \r(3)，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 B．eq \f(x2,3)＋y2＝1 C.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1 D．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1
解析：选A ∵△AF1B的周长为4eq \r(3)，∴由椭圆的定义可知4a＝4eq \r(3)，
∴a＝eq \r(3)，∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)，∴c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝2，∴C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1，故选A.
5．椭圆eq \f(x2,m2＋1)＋eq \f(y2,m2)＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝eq \f(π,3)，则m＝( )
A．1 B．eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
解析：选C ∵c＝eq \r(m2＋1－m2)＝1，b＝m，由∠F1AF2＝eq \f(π,3)，得∠F1AO＝eq \f(π,6)，
∴tan∠F1AO＝eq \f(1,m)＝eq \f(\r(3),3)，解得m＝eq \r(3)，故选C.
6．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1﹣eq \f(\r(3),2) B．2﹣eq \r(3) C.eq \f(\r(3)－1,2) D．eq \r(3)﹣1
解析：选D 由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝eq \r(3)c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq \r(3)c＋c＝2a，所以(eq \r(3)＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)﹣1.故选D.
二、综合练——练思维敏锐度
1．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋y2＝1 B．eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(x2,4)＋y2＝1或eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)＋y2＝1或eq \f(y2,4)＋x2＝1
解析：选C 由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a＝2b.因为椭圆经过点(2,0)，所以若焦点在x轴上，则a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1；若焦点在y轴上，则a＝4，b＝2，椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1，故选C.
2．设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )
A．4 B．3 C．2 D．5
解析：选A 连接PF2，由题意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝eq \f(1,2)|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a﹣|PF2|＝10﹣6＝4.故选A.
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1 B．x2＋eq \f(y2,6)＝1 C.eq \f(x2,6)＋y2＝1 D．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1
解析：选B 椭圆9x2＋4y2＝36可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±eq \r(5))，
故可设所求椭圆方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝eq \r(5).又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
则所求椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,6)＝1.
4．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq \f(1,4)，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D．eq \f(3,4)
解析：选B 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为eq \f(x,c)＋eq \f(y,b)＝1，即bx＋cy﹣bc＝0.由题意知eq \f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq \f(1,4)×2b，解得eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即e＝eq \f(1,2).故选B.
5．(多选)设椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1的右焦点为F，直线y＝m(0A．|AF|＋|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C．当m＝eq \r(2)时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为eq \r(6)
解析：选AD 设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，
∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，
∵|AF|＋|BF|为定值6，|AB|的取值范围是(0,6)，∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；
将y＝eq \r(2)与椭圆方程联立，可解得A(﹣eq \r(3)，eq \r(2))，B(eq \r(3)，eq \r(2))，
又∵F(eq \r(6)，0)，∴BA―→·eq \(BF,\s\up7(―→))＝(﹣2eq \r(3)，0)·(eq \r(6)﹣eq \r(3)，﹣eq \r(2))＝6﹣6eq \r(2)<0，∴△ABF不是直角三角形，C错误；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(﹣eq \r(6)，1)，B(eq \r(6)，1)，∴S△ABF＝eq \f(1,2)×2eq \r(6)×1＝eq \r(6)，D正确．
6．已知O为坐标原点，点F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点，A为椭圆C上的一点，且AF2⊥F1F2，AF1与y轴交于点B，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OB))的值为( )
A.eq \f(3,4) B．eq \f(3,2) C.eq \f(5,4) D．eq \f(5,2)
解析：选A 由AF2⊥F1F2，可知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))＝eq \f(b2,a)＝eq \f(3,2)，∵OB∥AF2且O为F1F2中点，∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OB))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))＝eq \f(3,4).
7．与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x﹣3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．
解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9﹣r.所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|＝6，即P在以C1(﹣3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
答案：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
8．设F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一个点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________．
解析：∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2为直角三角形，
又知△PF1F2的面积为9，∴eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝9，得|PF1|·|PF2|＝18.
在Rt△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴(|PF1|＋|PF2|)2﹣2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2﹣36＝4c2，∴a2﹣c2＝9，即b2＝9，又知b>0，∴b＝3，
∵△PF1F2的周长为18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①又知a2﹣c2＝9，∴a﹣c＝1.②
由①②得a＝5，c＝4，∴所求的椭圆方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
答案：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
9．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点P是椭圆在第一象限上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线，垂足为A，若|OA|＝2b，则椭圆的离心率为________．
解析：如图，延长F2A交F1P于点M，由题意可知|PM|＝|PF2|，
由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，
故有|PF1|＋|PM|＝|MF1|＝2a.连接OA，知OA是△F1F2M的中位线，
∴|OA|＝eq \f(1,2)|MF1|＝a，由|OA|＝2b，得2b＝a，则a2＝4b2＝4(a2﹣c2)，
即c2＝eq \f(3,4)a2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2).
答案：eq \f(\r(3),2)
10．设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点．若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为________．
解析：∵∠F1AF2＝90°，∴a＝eq \r(2)b，即椭圆方程为eq \f(x2,2b2)＋eq \f(y2,b2)＝1.
设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，n))，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，b))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－b))，且eq \f(m2,2b2)＋eq \f(n2,b2)＝1，即n2﹣b2＝﹣eq \f(m2,2)，
kAMkBM＝eq \f(n－b,m)·eq \f(n＋b,m)＝eq \f(n2－b2,m2)＝eq \f(－\f(m2,2),m2)＝﹣eq \f(1,2)，又kAM＝﹣1，∴kBM＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
11．已知椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(0(1)求C的方程；
(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．
解：(1)由题设可得eq \f(\r(25－m2),5)＝eq \f(\r(15),4)，解得m2＝eq \f(25,16)，所以C的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,\f(25,16))＝1.
(2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根据对称性可设yQ>0，由题意知yP>0.
由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y＝﹣eq \f(1,yQ)(x﹣5)，
所以|BP|＝yPeq \r(1＋y\\al(2,Q))，|BQ|＝eq \r(1＋y\\al(2,Q)).
因为|BP|＝|BQ|，所以yP＝1，将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或﹣3.
由直线BP的方程得yQ＝2或8.
所以点P，Q的坐标分别为P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(﹣3,1)，Q2(6，8)．
|P1Q1|＝eq \r(10)，直线P1Q1的方程为y＝eq \f(1,3)x，点A(﹣5,0)到直线P1Q1的距离为eq \f(\r(10),2)，
故△AP1Q1的面积为eq \f(1,2)×eq \f(\r(10),2)×eq \r(10)＝eq \f(5,2)；
|P2Q2|＝eq \r(130)，直线P2Q2的方程为y＝eq \f(7,9)x＋eq \f(10,3)，点A到直线P2Q2的距离为eq \f(\r(130),26)，
故△AP2Q2的面积为eq \f(1,2)×eq \f(\r(130),26)×eq \r(130)＝eq \f(5,2).
综上，△APQ的面积为eq \f(5,2).
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
性 质
范围
﹣a≤x≤a，﹣b≤y≤b
﹣b≤x≤b，﹣a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)
顶点
A1(﹣a,0)，A2(a,0)，B1(0，﹣b)，B2(0，b)
A1(0，﹣a)，A2(0，a)，B1(﹣b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝eq \f(c,a)，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2﹣b2
求方程
通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程
焦点三角形问题
利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧
求最值
抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值
定义法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系
数法
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)
方法
解读
适合题型
几何法
利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a﹣c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系
题设条件有明显的几何关系
直接法
根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式
题设条件直接有不等关系
1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a>c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段．
(3)若a
3．常用结论
(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为eq \f(2b2,a)，过焦点最长弦为长轴．
(2)过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.
(3)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为eq \f(x2,a2＋λ)＋eq \f(y2,b2＋λ)＝1(λ＞﹣b2)．
(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；
②S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
③△PF1F2的周长为2(a＋c)．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(椭圆的定义)设P是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝( )
A．4 B．8 C．6 D．18
解析：选C 由定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.
2．(椭圆的离心率)椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的离心率是( )
A.eq \f(\r(13),3) B．eq \f(\r(5),3) C.eq \f(2,3) D．eq \f(5,9)
解析：选B ∵椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，∴a＝3，c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(9－4)＝eq \r(5).∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3).故选B.
3．(椭圆的方程)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq \f(1,3)，则椭圆C的方程是( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
解析：选D 依题意，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,3)，,c2＝a2－b2，))解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.
4．(求参数)椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝________.
解析：椭圆x2＋my2＝1可化为x2＋eq \f(y2,\f(1,m))＝1，因为其焦点在y轴上，所以a2＝eq \f(1,m)，b2＝1，
依题意知 eq \r(\f(1,m))＝2，解得m＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
二、易错点练清
1．(忽视椭圆定义中2a>|F1F2|) 到两定点F1(﹣2,0)和F2(2，0)的距离之和为4的点的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段 C．圆 D．以上都不对
答案：B
2．(忽视对焦点位置的讨论)若椭圆的方程为eq \f(x2,10－a)＋eq \f(y2,a－2)＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.
解析：①当焦点在x轴上时，10﹣a﹣(a﹣2)＝22，解得a＝4；②当焦点在y轴上时，a﹣2﹣(10﹣a)＝22，解得a＝8.
答案：4或8
3．(忽视椭圆上点的坐标满足的条件)已知点P是椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为______________．
解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2﹣b2＝5﹣4＝1，所以c＝1，则F1(﹣1,0)，F2(1,0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1，得x＝±eq \f(\r(15),2)，又x>0，所以x＝eq \f(\r(15),2)，所以P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，1))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－1)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，1))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－1))
考点一 椭圆定义的应用
考法(一) 利用定义求轨迹方程
[例1]已知两圆C1：(x﹣4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,64)﹣eq \f(y2,48)＝1 B.eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,48)＝1 C.eq \f(x2,48)﹣eq \f(y2,64)＝1 D．eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
[解析] 设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13﹣r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1.
[答案] D
考法(二) 求解“焦点三角形”问题
[例2] 椭圆C：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2eq \r(3)，则△PF1F2的周长是( )
A．2(eq \r(2)＋eq \r(3)) B．4＋2eq \r(3) C.eq \r(2)＋eq \r(3) D．eq \r(2)＋2eq \r(3)
[解析] 如图，由于O，M，N分别为F1F2，PF1，PF2的中点，
所以OM∥PF2，ON∥PF1，且|OM|＝eq \f(1,2)|PF2|，|ON|＝eq \f(1,2)|PF1|，
所以四边形OMPN为平行四边形，
所以▱OMPN的周长为2(|OM|＋|ON|)＝|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq \r(3)，
所以a＝eq \r(3)，又知a2＝b2＋c2，b2＝1，所以c2＝a2﹣1＝2，所以|F1F2|＝2c＝2eq \r(2)，
所以△PF1F2的周长为2a＋2c＝2eq \r(3)＋2eq \r(2)＝2(eq \r(2)＋eq \r(3))，故选A.
[答案] A
考法(三) 利用定义求最值
[例3] 设点P是椭圆C：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1上的动点，F为椭圆C的右焦点，定点A(2,1)，则|PA|＋|PF|的取值范围是______________．
[解析] 如图所示，设F′是椭圆的左焦点，连接AF′，PF′，则F′(﹣2,0)，
∴|AF′|＝eq \r(42＋12)＝eq \r(17).∵|PF|＋|PF′|＝2a＝4eq \r(2)，
∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a﹣|PF′|≤2a＋|AF′|＝4eq \r(2)＋eq \r(17)，
|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a﹣|PF′|＝2a﹣(|PF′|﹣|PA|)≥2a﹣|AF′|＝4eq \r(2)﹣eq \r(17).
∴|PA|＋|PF|的取值范围是[4eq \r(2)﹣eq \r(17)，4eq \r(2)＋eq \r(17) ]．
[答案] [4eq \r(2)﹣eq \r(17)，4eq \r(2)＋eq \r(17) ]
[方法技巧] 椭圆定义应用的类型及方法
[针对训练]
1．(多选)(2021·日照模拟)已知P是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cs∠F1PF2＝eq \f(1,3)，则( )
A．△PF1F2的周长为12 B．S△PF1F2＝2eq \r(2)
C．点P到x轴的距离为eq \f(2\r(10),5) D．eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝2
解析：选BCD 由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝eq \r(5)，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2eq \r(5)，故A选项错误；
在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cs∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2﹣2|PF1||PF2|﹣2|PF1|·|PF2|cs∠F1PF2，
所以20＝36﹣2|PF1|·|PF2|﹣eq \f(2,3)|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，
故S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×6×eq \f(2\r(2),3)＝2eq \r(2)，故B选项正确；
设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2|·d＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)d＝2eq \r(2)，解得d＝eq \f(2\r(10),5)，故C选项正确；
eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝|eq \(PF1,\s\up7(―→))|·|eq \(PF2,\s\up7(―→))|cs∠F1PF2＝6×eq \f(1,3)＝2，故D选项正确．
考点二 椭圆的标准方程
[例1] 过点(eq \r(3)，﹣eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,2\r(5))＋eq \f(y2,4)＝1 C.eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2\r(5))＝1
[解析] 法一：定义法
椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点为(0，﹣4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝eq \r(\r(3)－02＋－\r(5)＋42)＋eq \r(\r(3)－02＋－\r(5)－42)，
解得a＝2eq \r(5).由c2＝a2﹣b2，可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.故选C.
法二：待定系数法
设所求椭圆方程为eq \f(y2,25＋k)＋eq \f(x2,9＋k)＝1(k>﹣9)，将点(eq \r(3)，﹣eq \r(5))的坐标代入，
可得eq \f(－\r(5)2,25＋k)＋eq \f(\r(3)2,9＋k)＝1，解得k＝﹣5，所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.故选C.
[答案] C
[例2] 如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(﹣5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,15)＝1 C.eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1 D．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)＝1
[解析] 由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，
∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，
∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，
得|PF′|＝eq \r(|FF′|2－|PF|2)＝eq \r(102－62)＝8，由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，
从而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2﹣c2＝49﹣25＝24，∴椭圆C的方程为eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1，故选C.
[答案] C
[方法技巧] 求椭圆标准方程的2种常用方法
[针对训练]
1．若直线x﹣2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋y2＝1 B.eq \f(x2,4)＋y2＝1 C.eq \f(x2,5)＋y2＝1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1 D．以上答案都不正确
解析：选C 直线与坐标轴的交点为(0,1)，(﹣2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，
所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1；当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，
所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,5)＋eq \f(x2,4)＝1.
2．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，eq \r(3))是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1 B．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,6)＝1 C.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1
解析：选A 设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由点P(2，eq \r(3))在椭圆上知eq \f(4,a2)＋eq \f(3,b2)＝1.
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，又c2＝a2﹣b2，联立得a2＝8，b2＝6.所以椭圆方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1.
考点三 椭圆的几何性质
考法(一) 求椭圆的离心率
[例1] (1)已知椭圆方程为eq \f(x2,a)＋eq \f(y2,b)＝1，且a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2)
(2)过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>b>0))的左焦点F的直线过C的上端点B，且与椭圆相交于点A，若eq \(BF,\s\up7(―→))＝3eq \(FA,\s\up7(―→))，则C的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(2),2)
[解析] (1)因为a，b，a＋b成等差数列，所以2b＝a＋a＋b，即b＝2a，又因为a，b，ab成等比数列，b≠0，a≠0，所以b2＝a·ab，即b＝a2，所以a＝2，b＝4，椭圆方程为eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1，c＝eq \r(4－2)＝eq \r(2)，所以离心率e＝eq \f(\r(2),2).故选C.
(2)由题意可得B(0，b)，F(﹣c,0)，由eq \(BF,\s\up7(―→))＝3eq \(FA,\s\up7(―→))，得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)c，－\f(b,3)))，
又点A在椭圆上，则eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)c))2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,3)))2,b2)＝1，整理可得eq \f(16,9)·eq \f(c2,a2)＝eq \f(8,9)，∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,2)，e＝eq \f(\r(2),2).故选D.
[答案] (1)C (2)D
[方法技巧]
求椭圆离心率的3种方法
(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
[提醒] 在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.
考法(二) 求椭圆的离心率的范围
[例2] 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)，直线y＝x与椭圆相交于A，B两点，若椭圆上存在异于A，B两点的点P使得kPA·kPB∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))，则离心率e的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6),3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))
[解析] 设P(x0，y0)，直线y＝x过原点，由椭圆的对称性设A(x1，y1)，B(﹣x1，﹣y1)，
kPAkPB＝eq \f(y0－y1,x0－x1)×eq \f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq \f(y\\al(2,0)－y\\al(2,1),x\\al(2,0)－x\\al(2,1)).又eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，两式做差，
代入上式得kPAkPB＝﹣eq \f(b2,a2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))，故0
[方法技巧] 求椭圆离心率范围的2种方法
[针对训练]
1．(多选)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，则下述正确的是( )
A．椭圆C的长轴长为10
B．椭圆C的两个焦点分别为(0，﹣3)和(0,3)
C．椭圆C的离心率等于eq \f(3,5)
D．若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则|PQ|＝eq \f(32,5)
解析：选ACD ∵16x2＋25y2＝400，∴eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1，
∴a＝5，b＝4，c＝3，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,5)，∴长轴长2a＝10，故A、C正确，B错误．
对于选项D，|PQ|＝eq \f(2b2,a)＝eq \f(32,5)，正确．故选A、C、D.
2．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直线l过焦点且倾斜角为eq \f(π,4)，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(2),3) B．eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(5),3) D．eq \f(\r(6),3)
解析：选D 直线l的方程为y＝x±c，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦为AB，AB＝2c，设OC⊥AB，垂足为C，则OC＝eq \f(|±c|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)c，在Rt△OAC中，OA2＝AC2＋OC2⇒a2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AB))2＋eq \f(1,2)c2⇒a2＝eq \f(3,2)c2⇒c＝eq \f(\r(6),3)a⇒e＝eq \f(\r(6),3)，故选D.
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上
C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为eq \r(n)
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
解析：选AD ∵mx2＋ny2＝1，∴eq \f(x2,\f(1,m))＋eq \f(y2,\f(1,n))＝1，若m＞n＞0，∴0＜eq \f(1,m)＜eq \f(1,n)，∴C是椭圆，且焦点在y轴上，故A正确，B错误．若m＝n＞0，则x2＋y2＝eq \f(1,n)，C是圆，半径为eq \f(1,\r(n))，C错误．若m＝0，n＞0，∴y2＝eq \f(1,n)，∴y＝±eq \f(\r(n),n)，则C是两条直线，D正确．故选A、D.
2．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，则( )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2 C．a＝2b D．3a＝4b
解析：选B 因为椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.
3．已知焦点在y轴上的椭圆 eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,m)＝1的长轴长为8，则m＝( )
A．4 B．8 C．16 D．18
解析：选C 椭圆的焦点在y轴上，则m＝a2.由长轴长2a＝8得a＝4，所以m＝16.故选C.
4．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4eq \r(3)，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 B．eq \f(x2,3)＋y2＝1 C.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1 D．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1
解析：选A ∵△AF1B的周长为4eq \r(3)，∴由椭圆的定义可知4a＝4eq \r(3)，
∴a＝eq \r(3)，∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)，∴c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝2，∴C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1，故选A.
5．椭圆eq \f(x2,m2＋1)＋eq \f(y2,m2)＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝eq \f(π,3)，则m＝( )
A．1 B．eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
解析：选C ∵c＝eq \r(m2＋1－m2)＝1，b＝m，由∠F1AF2＝eq \f(π,3)，得∠F1AO＝eq \f(π,6)，
∴tan∠F1AO＝eq \f(1,m)＝eq \f(\r(3),3)，解得m＝eq \r(3)，故选C.
6．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1﹣eq \f(\r(3),2) B．2﹣eq \r(3) C.eq \f(\r(3)－1,2) D．eq \r(3)﹣1
解析：选D 由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝eq \r(3)c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq \r(3)c＋c＝2a，所以(eq \r(3)＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)﹣1.故选D.
二、综合练——练思维敏锐度
1．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋y2＝1 B．eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(x2,4)＋y2＝1或eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)＋y2＝1或eq \f(y2,4)＋x2＝1
解析：选C 由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a＝2b.因为椭圆经过点(2,0)，所以若焦点在x轴上，则a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1；若焦点在y轴上，则a＝4，b＝2，椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1，故选C.
2．设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )
A．4 B．3 C．2 D．5
解析：选A 连接PF2，由题意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝eq \f(1,2)|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a﹣|PF2|＝10﹣6＝4.故选A.
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1 B．x2＋eq \f(y2,6)＝1 C.eq \f(x2,6)＋y2＝1 D．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1
解析：选B 椭圆9x2＋4y2＝36可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±eq \r(5))，
故可设所求椭圆方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝eq \r(5).又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
则所求椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,6)＝1.
4．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq \f(1,4)，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D．eq \f(3,4)
解析：选B 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为eq \f(x,c)＋eq \f(y,b)＝1，即bx＋cy﹣bc＝0.由题意知eq \f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq \f(1,4)×2b，解得eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即e＝eq \f(1,2).故选B.
5．(多选)设椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1的右焦点为F，直线y＝m(0
B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C．当m＝eq \r(2)时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为eq \r(6)
解析：选AD 设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，
∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，
∵|AF|＋|BF|为定值6，|AB|的取值范围是(0,6)，∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；
将y＝eq \r(2)与椭圆方程联立，可解得A(﹣eq \r(3)，eq \r(2))，B(eq \r(3)，eq \r(2))，
又∵F(eq \r(6)，0)，∴BA―→·eq \(BF,\s\up7(―→))＝(﹣2eq \r(3)，0)·(eq \r(6)﹣eq \r(3)，﹣eq \r(2))＝6﹣6eq \r(2)<0，∴△ABF不是直角三角形，C错误；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(﹣eq \r(6)，1)，B(eq \r(6)，1)，∴S△ABF＝eq \f(1,2)×2eq \r(6)×1＝eq \r(6)，D正确．
6．已知O为坐标原点，点F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点，A为椭圆C上的一点，且AF2⊥F1F2，AF1与y轴交于点B，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OB))的值为( )
A.eq \f(3,4) B．eq \f(3,2) C.eq \f(5,4) D．eq \f(5,2)
解析：选A 由AF2⊥F1F2，可知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))＝eq \f(b2,a)＝eq \f(3,2)，∵OB∥AF2且O为F1F2中点，∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OB))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))＝eq \f(3,4).
7．与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x﹣3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．
解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9﹣r.所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|＝6，即P在以C1(﹣3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
答案：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
8．设F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一个点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________．
解析：∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2为直角三角形，
又知△PF1F2的面积为9，∴eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝9，得|PF1|·|PF2|＝18.
在Rt△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴(|PF1|＋|PF2|)2﹣2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2﹣36＝4c2，∴a2﹣c2＝9，即b2＝9，又知b>0，∴b＝3，
∵△PF1F2的周长为18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①又知a2﹣c2＝9，∴a﹣c＝1.②
由①②得a＝5，c＝4，∴所求的椭圆方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
答案：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
9．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点P是椭圆在第一象限上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线，垂足为A，若|OA|＝2b，则椭圆的离心率为________．
解析：如图，延长F2A交F1P于点M，由题意可知|PM|＝|PF2|，
由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，
故有|PF1|＋|PM|＝|MF1|＝2a.连接OA，知OA是△F1F2M的中位线，
∴|OA|＝eq \f(1,2)|MF1|＝a，由|OA|＝2b，得2b＝a，则a2＝4b2＝4(a2﹣c2)，
即c2＝eq \f(3,4)a2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2).
答案：eq \f(\r(3),2)
10．设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点．若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为________．
解析：∵∠F1AF2＝90°，∴a＝eq \r(2)b，即椭圆方程为eq \f(x2,2b2)＋eq \f(y2,b2)＝1.
设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，n))，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，b))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－b))，且eq \f(m2,2b2)＋eq \f(n2,b2)＝1，即n2﹣b2＝﹣eq \f(m2,2)，
kAMkBM＝eq \f(n－b,m)·eq \f(n＋b,m)＝eq \f(n2－b2,m2)＝eq \f(－\f(m2,2),m2)＝﹣eq \f(1,2)，又kAM＝﹣1，∴kBM＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
11．已知椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(0
(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．
解：(1)由题设可得eq \f(\r(25－m2),5)＝eq \f(\r(15),4)，解得m2＝eq \f(25,16)，所以C的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,\f(25,16))＝1.
(2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根据对称性可设yQ>0，由题意知yP>0.
由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y＝﹣eq \f(1,yQ)(x﹣5)，
所以|BP|＝yPeq \r(1＋y\\al(2,Q))，|BQ|＝eq \r(1＋y\\al(2,Q)).
因为|BP|＝|BQ|，所以yP＝1，将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或﹣3.
由直线BP的方程得yQ＝2或8.
所以点P，Q的坐标分别为P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(﹣3,1)，Q2(6，8)．
|P1Q1|＝eq \r(10)，直线P1Q1的方程为y＝eq \f(1,3)x，点A(﹣5,0)到直线P1Q1的距离为eq \f(\r(10),2)，
故△AP1Q1的面积为eq \f(1,2)×eq \f(\r(10),2)×eq \r(10)＝eq \f(5,2)；
|P2Q2|＝eq \r(130)，直线P2Q2的方程为y＝eq \f(7,9)x＋eq \f(10,3)，点A到直线P2Q2的距离为eq \f(\r(130),26)，
故△AP2Q2的面积为eq \f(1,2)×eq \f(\r(130),26)×eq \r(130)＝eq \f(5,2).
综上，△APQ的面积为eq \f(5,2).
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
性 质
范围
﹣a≤x≤a，﹣b≤y≤b
﹣b≤x≤b，﹣a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)
顶点
A1(﹣a,0)，A2(a,0)，B1(0，﹣b)，B2(0，b)
A1(0，﹣a)，A2(0，a)，B1(﹣b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝eq \f(c,a)，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2﹣b2
求方程
通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程
焦点三角形问题
利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧
求最值
抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值
定义法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系
数法
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)
方法
解读
适合题型
几何法
利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a﹣c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系
题设条件有明显的几何关系
直接法
根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式
题设条件直接有不等关系
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