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（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案2.2《函数的性质》 (2份打包，原卷版+教师版)
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这是一份（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案2.2《函数的性质》 (2份打包，原卷版+教师版)，文件包含小白高考新高考数学零基础一轮复习教案22《函数的性质》教师版doc、小白高考新高考数学零基础一轮复习教案22《函数的性质》原卷版doc等2份教案配套教学资源，其中教案共27页， 欢迎下载使用。
知识点一 函数的单调性
1．增函数与减函数
2．单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
[提醒] (1)函数单调性定义中的x1，x2具有以下三个特征：一是任意性，即“任意两数x1，x2∈D”，“任意”两字决不能丢；二是有大小，即x1x2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．
(2)若函数在区间D上单调递增(或递减)，则对D内任意的两个不等自变量x1，x2的值，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(或eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0).
(3)函数f(x)在给定区间上的单调性，是函数在此区间上的整体性质，不一定代表在整个定义域上有此性质．
3．谨记常用结论
(1)函数f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．
(2)k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反．
(3)若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与eq \f(1,fx)具有相反的单调性．
(4)若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数．
(5)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减，增﹣减＝增，减﹣增＝减．
(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调性判断方法：“同增异减”．
[重温经典]
1．函数f(x)＝x2﹣2x的单调递增区间是( )
A．(1，＋∞) B．(﹣∞，1) C．(﹣1，＋∞) D．(﹣∞，﹣1)
2．如果二次函数f(x)＝x2﹣(a﹣1)x＋5在区间(eq \f(1,2)，1)上是增函数，则实数a的取值范围为________．
3．函数f(x)＝lg(9﹣x2)的定义域为________；其单调递增区间为________．
4．设定义在[﹣1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．
5．若函数y＝eq \f(2x＋k,x－2)与y＝lg3(x﹣2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．
6．已知函数f(x)为定义在区间[﹣1,1]上的增函数，则满足f(x)知识点二 函数的最值
1．函数的最值
2.函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值．
[提醒] (1)对于单调函数，最大(小)值出现在定义域的边界处；
(2)对于非单调函数求最值，通常借助图象求解更方便；
(3)一般地，恒成立问题可以用求最值的方法来解决，而利用单调性是求最值的常用方法．注意以下关系：
f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a；f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a.解题时，要务必注意“＝”的取舍．
[重温经典]
1．函数f(x)＝eq \f(2,x－1)在[2,6]上的最大值是________．
2．若函数f(x)＝﹣eq \f(a,x)＋b(a>0)在[eq \f(1,2)，2]上的值域为[eq \f(1,2)，2]，则a＝________，b＝________.
3．函数y＝eq \f(x2－1,x2＋1)的值域为________．
4．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x<1))的最大值为________．
5．已知函数f(x)＝﹣x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值﹣2，则f(x)的最大值为________．
知识点三 函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义及图象特征
2.函数奇偶性的几个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
3．有关对称性的结论
(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．
若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．
(2)若f(x)＝f(2a﹣x)，则函数f(x)关于x＝a对称；若f(x)＋f(2a﹣x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．
[重温经典]
1．(多选)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上是增函数的有( )
A．y＝2﹣|x| B．y＝x SKIPIF 1 < 0 C．y＝x2﹣1 D．y＝x3
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(﹣1)＝________.
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(﹣2)＋f(0)＝________.
4．已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________________．
5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a﹣1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是________．
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(﹣lg35)的值为________．
知识点四 函数的周期性
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．谨记常用结论
定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．
(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a﹣b|；
(2)若在定义域内满足f(x＋a)＝﹣f(x)，f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，f(x＋a)＝﹣eq \f(1,fx)(a>0)，则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期．
[重温经典]
1．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈(﹣1,1)时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4x2＋2，－12．若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)﹣f(4)＝________.
3．已知f(x)是R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2 022)＝________.
4．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(﹣1)＝________.
5．定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(﹣3，0]时，f(x)＝﹣x﹣1，当x∈(0,2]时，f(x)＝lg2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)的值等于________．
第2课时 精研题型明考向——函数的性质及其应用
一、真题集中研究——明考情
1．(复合函数的单调性及定义域)已知函数f(x)＝lg(x2﹣4x﹣5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣1] B．(﹣∞，2] C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)
2．(函数的单调性、奇偶性)设函数f(x)＝ln|2x＋1|﹣ln|2x﹣1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在(eq \f(1,2)，+∞)单调递增
B．是奇函数，且在(﹣eq \f(1,2),eq \f(1,2))单调递减
C．是偶函数，且在(﹣∞,﹣eq \f(1,2))单调递增
D．是奇函数，且在(﹣∞,﹣eq \f(1,2))单调递减
3．若定义在R的奇函数f(x)在(﹣∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x﹣1)≥0的x的取值范围是( )
A．[﹣1,1]∪[3，＋∞) B．[﹣3，﹣1]∪[0,1]
C．[﹣1,0]∪[1，＋∞) D．[﹣1,0]∪[1,3]
4．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex﹣1，则当x<0时，f(x)＝( )
A．e﹣x﹣1 B．e﹣x＋1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x＋1
5．设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )
A．f(lg3eq \f(1,4))>f( SKIPIF 1 < 0 )>f( SKIPIF 1 < 0 ) B．f(lg3eq \f(1,4))>f( SKIPIF 1 < 0 )>f( SKIPIF 1 < 0 )
C．f( SKIPIF 1 < 0 )>f( SKIPIF 1 < 0 )>f(lg3eq \f(1,4)) D．f( SKIPIF 1 < 0 )>f( SKIPIF 1 < 0 )>f(lg3eq \f(1,4))
6．已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝x SKIPIF 1 < 0 ，则f(﹣8)的值是________．
[把脉考情]
二、题型精细研究——提素养
题型一 函数单调性的判断及应用
考法(一) 确定函数的单调性及求单调区间
[例1] (1)函数f(x)＝|x2﹣3x＋2|的单调递增区间是( )
A.[eq \f(3,2)，＋∞) B.[1,eq \f(3,2)]和[2，＋∞) C．(﹣∞，1]和[eq \f(3,2)，2] D.(﹣∞，eq \f(3,2)]和[2，＋∞)
(2)函数y＝eq \r(x2＋x－6)的单调递增区间为__________，单调递减区间为________．
(3)讨论函数f(x)＝eq \f(ax,x2－1)(a>0)在(﹣1,1)上的单调性．
[方法技巧] 确定函数单调性的常用方法
考法(二) 比较大小
[例2] 函数f(x)＝eq \f(ex＋e－x,ex－e－x)，若a＝f(﹣eq \f(1,2))，b＝f(ln 2)，c＝f(ln eq \f(1,3))，则有( )
A．c>b>a B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a
[方法技巧]
利用函数的单调性比较大小的方法
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解．
考法(三) 解函数不等式
[例3] 定义在[﹣2,2]上的函数f(x)满足(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2﹣a)>f(2a﹣2)，则实数a的取值范围为( )
A．[﹣1,2) B．[0,2) C．[0,1) D．[﹣1,1)
[方法技巧]
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
考法(四) 利用单调性求参数的取值范围
[例4] 已知函数y＝lg SKIPIF 1 < 0 (6﹣ax＋x2)在[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围为________．
[方法技巧]
利用函数单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意两段端点值的大小．
[针对训练]
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝﹣x2 B．f(x)＝3﹣x C．f(x)＝ln |x| D．f(x)＝x＋sin x
2．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且在[﹣1,0]上单调递减，设a＝f(eq \r(2))，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是( )
A．b3．已知函数f(x)的定义域为R，且在[0，＋∞)上是增函数，g(x)＝﹣f(|x|)，若g(lg x)>g(1)，则x的取值范围是( )
A．(0,10) B．(10，＋∞) C.(eq \f(1,10)，10) D.(0，eq \f(1,10))∪(10，＋∞)
4．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax，x>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(a,2)))x＋2，x≤1，))满足对任意的实数x1≠x2都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，则实数a的取值范围为________．
题型二 函数最值的求法
[典例] (1)函数f(x)＝(eq \f(1,3))x﹣lg2(x＋2)在区间[﹣1,1]上的最大值为________．
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≤1，,x＋\f(6,x)－6，x>1，))则f(x)的最小值是________．
(3)函数f(x)＝2x2﹣eq \r(x2＋1)的最小值为________．
[方法技巧]
求解函数最值的4种常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)换元法：求形如y＝eq \r(ax＋b)＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．
(3)分离常数法：求形如y＝eq \f(cx＋d,ax＋b)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用分离常数法求解．
(4)基本不等式法：求形如y＝ax＋eq \f(b,x)(a>0，b>0)的函数的最小值常用基本不等式，注意等号成立的条件．
[针对训练]
1．函数f(x)＝eq \f(1,x－1)在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是eq \f(1,3)，则a＋b＝________.
2．函数f(x)＝x﹣eq \r(x＋1)的最小值为________．
3．当﹣3≤x≤﹣1时，函数y＝eq \f(5x－1,4x＋2)的最小值为________．
题型三 函数奇偶性的判断及应用
考法(一) 函数奇偶性的判断
[例1]函数y＝x2lgeq \f(x－2,x＋2)的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于直线y＝x对称 D．关于y轴对称
[方法技巧] 函数奇偶性的判定方法
(1)定义法：
(2)图象法：
(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
考法(二) 函数奇偶性的应用
[例2] (1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝lg2(x＋2)﹣1，则f(﹣6)＝( )
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
(2)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
[方法技巧] 利用函数奇偶性可以解决以下问题
[针对训练]
1．(多选)设函数f(x)＝eq \f(ex－e－x,2)，则下列结论正确的是( )
A．|f(x)|是偶函数 B．﹣f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数
2．已知函数f(x)＝eq \f(2|x|＋1＋x3＋2,2|x|＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于( )
A．0 B．2 C．4 D．8
3．若函数f(x)＝eq \f(k－2x,1＋k·2x)在定义域上为奇函数，则实数k＝________.
题型四 函数周期性的判断及应用
[典例](已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝﹣f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋lg2x，则f(2 020)＝( )
A．5 B.eq \f(1,2) C．2 D．﹣5
[方法技巧]
函数周期性问题的求解策略
(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
[针对训练]
1．已知f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，且x∈[1,3)时，f(x)＝lg2x＋1，则f(2 023)的值为( )
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝﹣eq \f(1,fx)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(﹣eq \f(11,2))＝______.
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
1．下列函数为奇函数的是( )
A．f(x)＝x3＋1 B．f(x)＝lneq \f(1－x,1＋x) C．f(x)＝ex D．f(x)＝xsin x
2．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x﹣1)＜f(eq \f(1,3))的x的取值范围是( )
A.(eq \f(1,3)，eq \f(2,3)) B.[eq \f(1,3)，eq \f(2,3)) C.(eq \f(1,2)，eq \f(2,3)) D.[eq \f(1,2)，eq \f(2,3))
3．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f(x)·g(x)是偶函数 B．|f(x)|·g(x)是奇函数
C．f(x)·|g(x)|是奇函数 D．|f(x)·g(x)|是偶函数
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3，x≤0，,lnx＋1，x>0，))若f(2﹣x2)>f(x)，则实数x的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣1)∪(2，＋∞) B．(﹣∞，﹣2)∪(1，＋∞)
C．(﹣1,2) D．(﹣2,1)
5．若函数f(x)＝2|x﹣a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(﹣∞，1) D．(﹣∞，1]
6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x﹣4)＝﹣f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(﹣25)C．f(11)7．已知函数f(x)＝2 024x＋lg2 024(eq \r(x2＋1)＋x)﹣2 024﹣x＋3，则关于x的不等式f(1﹣2x)＋f(x)>6的解集为( )
A．(﹣∞，1) B．(1，＋∞) C．(﹣∞，2) D．(2，＋∞)
8．如果奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，则不等式eq \f(fx－f－x,x)<0的解集为( )
A．(﹣2,0)∪(2，＋∞) B．(﹣∞，﹣2)∪(0,2)
C．(﹣∞，﹣2)∪(2，＋∞) D．(﹣2,0)∪(0,2)
9．若f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1x＋4a，x<1，,－ax，x≥1))是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________．
10．已知f(x)＝eq \f(x,x－a)(x≠a)．
(1)若a＝﹣2，试证f(x)在(﹣∞，﹣2)上单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
奇函数
偶函数
定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(﹣x)＝﹣f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
都有f(﹣x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
图象特征
关于原点对称
关于y轴对称
常规
角度
1.函数单调性的判断及应用：主要考查判断函数的单调性、求单调区间，利用单调性求参数的取值范围、比较大小、求最值等；
2.函数奇偶性的判断及应用：主要考查判断函数的奇偶性，利用奇偶性求值等；
3.函数周期性的判断及应用：主要考查函数周期性的判断，利用周期性求值等
创新
角度
函数的性质与解不等式、函数的零点、命题的真假性、导数等交汇命题
定义法
先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论
图象法
若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性
导数法
先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性
求函数值
将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值
求解析式
将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出
求解析式
中的参数
利用待定系数法求解，根据f(x)±f(﹣x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性建立方程(组)，进而得出参数的值
画函数图象
利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象
求特殊值
利用奇函数的最大值与最小值之和为零求一些特殊结构的函数值
知识点一 函数的单调性
1．增函数与减函数
2．单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
[提醒] (1)函数单调性定义中的x1，x2具有以下三个特征：一是任意性，即“任意两数x1，x2∈D”，“任意”两字决不能丢；二是有大小，即x1
(2)若函数在区间D上单调递增(或递减)，则对D内任意的两个不等自变量x1，x2的值，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(或eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0).
(3)函数f(x)在给定区间上的单调性，是函数在此区间上的整体性质，不一定代表在整个定义域上有此性质．
3．谨记常用结论
(1)函数f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．
(2)k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反．
(3)若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与eq \f(1,fx)具有相反的单调性．
(4)若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数．
(5)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减，增﹣减＝增，减﹣增＝减．
(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调性判断方法：“同增异减”．
[重温经典]
1．函数f(x)＝x2﹣2x的单调递增区间是( )
A．(1，＋∞) B．(﹣∞，1) C．(﹣1，＋∞) D．(﹣∞，﹣1)
2．如果二次函数f(x)＝x2﹣(a﹣1)x＋5在区间(eq \f(1,2)，1)上是增函数，则实数a的取值范围为________．
3．函数f(x)＝lg(9﹣x2)的定义域为________；其单调递增区间为________．
4．设定义在[﹣1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．
5．若函数y＝eq \f(2x＋k,x－2)与y＝lg3(x﹣2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．
6．已知函数f(x)为定义在区间[﹣1,1]上的增函数，则满足f(x)
1．函数的最值
2.函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值．
[提醒] (1)对于单调函数，最大(小)值出现在定义域的边界处；
(2)对于非单调函数求最值，通常借助图象求解更方便；
(3)一般地，恒成立问题可以用求最值的方法来解决，而利用单调性是求最值的常用方法．注意以下关系：
f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a；f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a.解题时，要务必注意“＝”的取舍．
[重温经典]
1．函数f(x)＝eq \f(2,x－1)在[2,6]上的最大值是________．
2．若函数f(x)＝﹣eq \f(a,x)＋b(a>0)在[eq \f(1,2)，2]上的值域为[eq \f(1,2)，2]，则a＝________，b＝________.
3．函数y＝eq \f(x2－1,x2＋1)的值域为________．
4．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x<1))的最大值为________．
5．已知函数f(x)＝﹣x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值﹣2，则f(x)的最大值为________．
知识点三 函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义及图象特征
2.函数奇偶性的几个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
3．有关对称性的结论
(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．
若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．
(2)若f(x)＝f(2a﹣x)，则函数f(x)关于x＝a对称；若f(x)＋f(2a﹣x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．
[重温经典]
1．(多选)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上是增函数的有( )
A．y＝2﹣|x| B．y＝x SKIPIF 1 < 0 C．y＝x2﹣1 D．y＝x3
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(﹣1)＝________.
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(﹣2)＋f(0)＝________.
4．已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________________．
5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a﹣1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是________．
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(﹣lg35)的值为________．
知识点四 函数的周期性
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．谨记常用结论
定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．
(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a﹣b|；
(2)若在定义域内满足f(x＋a)＝﹣f(x)，f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，f(x＋a)＝﹣eq \f(1,fx)(a>0)，则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期．
[重温经典]
1．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈(﹣1,1)时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4x2＋2，－1
3．已知f(x)是R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2 022)＝________.
4．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(﹣1)＝________.
5．定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(﹣3，0]时，f(x)＝﹣x﹣1，当x∈(0,2]时，f(x)＝lg2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)的值等于________．
第2课时 精研题型明考向——函数的性质及其应用
一、真题集中研究——明考情
1．(复合函数的单调性及定义域)已知函数f(x)＝lg(x2﹣4x﹣5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣1] B．(﹣∞，2] C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)
2．(函数的单调性、奇偶性)设函数f(x)＝ln|2x＋1|﹣ln|2x﹣1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在(eq \f(1,2)，+∞)单调递增
B．是奇函数，且在(﹣eq \f(1,2),eq \f(1,2))单调递减
C．是偶函数，且在(﹣∞,﹣eq \f(1,2))单调递增
D．是奇函数，且在(﹣∞,﹣eq \f(1,2))单调递减
3．若定义在R的奇函数f(x)在(﹣∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x﹣1)≥0的x的取值范围是( )
A．[﹣1,1]∪[3，＋∞) B．[﹣3，﹣1]∪[0,1]
C．[﹣1,0]∪[1，＋∞) D．[﹣1,0]∪[1,3]
4．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex﹣1，则当x<0时，f(x)＝( )
A．e﹣x﹣1 B．e﹣x＋1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x＋1
5．设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )
A．f(lg3eq \f(1,4))>f( SKIPIF 1 < 0 )>f( SKIPIF 1 < 0 ) B．f(lg3eq \f(1,4))>f( SKIPIF 1 < 0 )>f( SKIPIF 1 < 0 )
C．f( SKIPIF 1 < 0 )>f( SKIPIF 1 < 0 )>f(lg3eq \f(1,4)) D．f( SKIPIF 1 < 0 )>f( SKIPIF 1 < 0 )>f(lg3eq \f(1,4))
6．已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝x SKIPIF 1 < 0 ，则f(﹣8)的值是________．
[把脉考情]
二、题型精细研究——提素养
题型一 函数单调性的判断及应用
考法(一) 确定函数的单调性及求单调区间
[例1] (1)函数f(x)＝|x2﹣3x＋2|的单调递增区间是( )
A.[eq \f(3,2)，＋∞) B.[1,eq \f(3,2)]和[2，＋∞) C．(﹣∞，1]和[eq \f(3,2)，2] D.(﹣∞，eq \f(3,2)]和[2，＋∞)
(2)函数y＝eq \r(x2＋x－6)的单调递增区间为__________，单调递减区间为________．
(3)讨论函数f(x)＝eq \f(ax,x2－1)(a>0)在(﹣1,1)上的单调性．
[方法技巧] 确定函数单调性的常用方法
考法(二) 比较大小
[例2] 函数f(x)＝eq \f(ex＋e－x,ex－e－x)，若a＝f(﹣eq \f(1,2))，b＝f(ln 2)，c＝f(ln eq \f(1,3))，则有( )
A．c>b>a B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a
[方法技巧]
利用函数的单调性比较大小的方法
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解．
考法(三) 解函数不等式
[例3] 定义在[﹣2,2]上的函数f(x)满足(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2﹣a)>f(2a﹣2)，则实数a的取值范围为( )
A．[﹣1,2) B．[0,2) C．[0,1) D．[﹣1,1)
[方法技巧]
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
考法(四) 利用单调性求参数的取值范围
[例4] 已知函数y＝lg SKIPIF 1 < 0 (6﹣ax＋x2)在[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围为________．
[方法技巧]
利用函数单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
(3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意两段端点值的大小．
[针对训练]
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝﹣x2 B．f(x)＝3﹣x C．f(x)＝ln |x| D．f(x)＝x＋sin x
2．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且在[﹣1,0]上单调递减，设a＝f(eq \r(2))，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是( )
A．b
A．(0,10) B．(10，＋∞) C.(eq \f(1,10)，10) D.(0，eq \f(1,10))∪(10，＋∞)
4．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax，x>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(a,2)))x＋2，x≤1，))满足对任意的实数x1≠x2都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，则实数a的取值范围为________．
题型二 函数最值的求法
[典例] (1)函数f(x)＝(eq \f(1,3))x﹣lg2(x＋2)在区间[﹣1,1]上的最大值为________．
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≤1，,x＋\f(6,x)－6，x>1，))则f(x)的最小值是________．
(3)函数f(x)＝2x2﹣eq \r(x2＋1)的最小值为________．
[方法技巧]
求解函数最值的4种常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)换元法：求形如y＝eq \r(ax＋b)＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．
(3)分离常数法：求形如y＝eq \f(cx＋d,ax＋b)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用分离常数法求解．
(4)基本不等式法：求形如y＝ax＋eq \f(b,x)(a>0，b>0)的函数的最小值常用基本不等式，注意等号成立的条件．
[针对训练]
1．函数f(x)＝eq \f(1,x－1)在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是eq \f(1,3)，则a＋b＝________.
2．函数f(x)＝x﹣eq \r(x＋1)的最小值为________．
3．当﹣3≤x≤﹣1时，函数y＝eq \f(5x－1,4x＋2)的最小值为________．
题型三 函数奇偶性的判断及应用
考法(一) 函数奇偶性的判断
[例1]函数y＝x2lgeq \f(x－2,x＋2)的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于直线y＝x对称 D．关于y轴对称
[方法技巧] 函数奇偶性的判定方法
(1)定义法：
(2)图象法：
(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
考法(二) 函数奇偶性的应用
[例2] (1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝lg2(x＋2)﹣1，则f(﹣6)＝( )
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
(2)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
[方法技巧] 利用函数奇偶性可以解决以下问题
[针对训练]
1．(多选)设函数f(x)＝eq \f(ex－e－x,2)，则下列结论正确的是( )
A．|f(x)|是偶函数 B．﹣f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数
2．已知函数f(x)＝eq \f(2|x|＋1＋x3＋2,2|x|＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于( )
A．0 B．2 C．4 D．8
3．若函数f(x)＝eq \f(k－2x,1＋k·2x)在定义域上为奇函数，则实数k＝________.
题型四 函数周期性的判断及应用
[典例](已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝﹣f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋lg2x，则f(2 020)＝( )
A．5 B.eq \f(1,2) C．2 D．﹣5
[方法技巧]
函数周期性问题的求解策略
(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
[针对训练]
1．已知f(x)满足∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，且x∈[1,3)时，f(x)＝lg2x＋1，则f(2 023)的值为( )
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝﹣eq \f(1,fx)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(﹣eq \f(11,2))＝______.
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
1．下列函数为奇函数的是( )
A．f(x)＝x3＋1 B．f(x)＝lneq \f(1－x,1＋x) C．f(x)＝ex D．f(x)＝xsin x
2．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x﹣1)＜f(eq \f(1,3))的x的取值范围是( )
A.(eq \f(1,3)，eq \f(2,3)) B.[eq \f(1,3)，eq \f(2,3)) C.(eq \f(1,2)，eq \f(2,3)) D.[eq \f(1,2)，eq \f(2,3))
3．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f(x)·g(x)是偶函数 B．|f(x)|·g(x)是奇函数
C．f(x)·|g(x)|是奇函数 D．|f(x)·g(x)|是偶函数
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3，x≤0，,lnx＋1，x>0，))若f(2﹣x2)>f(x)，则实数x的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣1)∪(2，＋∞) B．(﹣∞，﹣2)∪(1，＋∞)
C．(﹣1,2) D．(﹣2,1)
5．若函数f(x)＝2|x﹣a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(﹣∞，1) D．(﹣∞，1]
6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x﹣4)＝﹣f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(﹣25)
A．(﹣∞，1) B．(1，＋∞) C．(﹣∞，2) D．(2，＋∞)
8．如果奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，则不等式eq \f(fx－f－x,x)<0的解集为( )
A．(﹣2,0)∪(2，＋∞) B．(﹣∞，﹣2)∪(0,2)
C．(﹣∞，﹣2)∪(2，＋∞) D．(﹣2,0)∪(0,2)
9．若f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1x＋4a，x<1，,－ax，x≥1))是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________．
10．已知f(x)＝eq \f(x,x－a)(x≠a)．
(1)若a＝﹣2，试证f(x)在(﹣∞，﹣2)上单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
奇函数
偶函数
定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(﹣x)＝﹣f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
都有f(﹣x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
图象特征
关于原点对称
关于y轴对称
常规
角度
1.函数单调性的判断及应用：主要考查判断函数的单调性、求单调区间，利用单调性求参数的取值范围、比较大小、求最值等；
2.函数奇偶性的判断及应用：主要考查判断函数的奇偶性，利用奇偶性求值等；
3.函数周期性的判断及应用：主要考查函数周期性的判断，利用周期性求值等
创新
角度
函数的性质与解不等式、函数的零点、命题的真假性、导数等交汇命题
定义法
先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论
图象法
若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性
导数法
先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性
求函数值
将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值
求解析式
将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出
求解析式
中的参数
利用待定系数法求解，根据f(x)±f(﹣x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性建立方程(组)，进而得出参数的值
画函数图象
利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象
求特殊值
利用奇函数的最大值与最小值之和为零求一些特殊结构的函数值
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