（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案8.5《双曲线》 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.结合双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
2．结合双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，考查求相关量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|﹣|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
3．常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c﹣a.
(3)等轴双曲线
①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
②性质：a＝b；e＝eq \r(2)；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．
(4)共轭双曲线
①定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．
②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(双曲线的定义)设F1，F2分别是双曲线x2﹣eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝( )
A．5 B．3 C．7 D．3或7
解析：选D ∵||PF1|﹣|PF2||＝2，∴|PF2|＝7或3.
2．(双曲线的实轴)双曲线2x2﹣y2＝8的实轴长是( )
A．2 B．2eq \r(2) C．4 D．4eq \r(2)
解析：选C 双曲线2x2﹣y2＝8的标准方程为eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,8)＝1，故实轴长为4.
3．(双曲线的渐近线)若双曲线C：eq \f(x2,m)﹣y2＝1(m>0)的一条渐近线方程为3x＋2y＝0，则实数m＝( )
A.eq \f(4,9) B．eq \f(9,4) C.eq \f(2,3) D．eq \f(3,2)
答案：A
4．(双曲线的标准方程)以椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为__________．
解析：设所求的双曲线方程为eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，得焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)．
所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2﹣a2＝3，
所以双曲线标准方程为x2﹣eq \f(y2,3)＝1.
答案：x2﹣eq \f(y2,3)＝1
5．(双曲线的离心率)若双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,4)＝1(a＞0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，则a＝________.
解析：设焦距为2c，则eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2)，即c2＝eq \f(5,4)a2.由c2＝a2＋4得eq \f(5,4)a2＝a2＋4，所以a2＝16，所以a＝4.
答案：4
二、易错点练清
1．(忽视双曲线定义的条件)平面内到点F1(0,4)，F2(0，﹣4)的距离之差等于6的点的轨迹是________________．
解析：由|PF1|﹣|PF2|＝6<|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2﹣a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线eq \f(y2,9)﹣eq \f(x2,7)＝1的下支．
答案：双曲线eq \f(y2,9)﹣eq \f(x2,7)＝1的下支
2．(忽视双曲线上的点到原点的最小距离)已知双曲线x2﹣eq \f(y2,16)＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
解析：设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|﹣|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，
又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c﹣a＝eq \r(17)﹣1>2，故|PF2|＝6.
答案：6
3．(忽视焦点的位置)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为eq \f(π,3)，则双曲线的离心率为________．
解析：若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1，则渐近线的方程为y＝±eq \f(b,a)x，
由题意可得eq \f(b,a)＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)，b＝eq \r(3)a，可得c＝2a，则e＝eq \f(c,a)＝2；若双曲线的焦点在y轴上，
设双曲线的方程为eq \f(y2,a2)﹣eq \f(x2,b2)＝1，则渐近线的方程为y＝±eq \f(a,b)x，由题意可得eq \f(a,b)＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)，a＝eq \r(3)b，
可得c＝eq \f(2\r(3),3)a，则e＝eq \f(2\r(3),3).综上可得e＝2或e＝eq \f(2\r(3),3).
答案：2或eq \f(2\r(3),3)
考点一 双曲线的定义及其应用
考法(一) 利用定义求轨迹方程
[例1] 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x﹣3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．
[解析] 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得
|MC1|﹣|AC1|＝|MA|，|MC2|﹣|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，所以|MC2|﹣|MC1|＝|BC2|﹣|AC1|＝3﹣1＝2<6.
这表明动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2且小于|C1C2|.
根据双曲线的定义知，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，且a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为x2﹣eq \f(y2,8)＝1(x≤﹣1)．
[答案] x2﹣eq \f(y2,8)＝1(x≤﹣1)
考法(二) 求解“焦点三角形”问题
[例2] 已知F1，F2为双曲线C：x2﹣y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
[解析] 由双曲线的方程得a＝1，c＝eq \r(2)，由双曲线的定义得||PF1|﹣|PF2||＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2﹣2|PF1|·|PF2|cs 60°，
即(2eq \r(2))2＝|PF1|2＋|PF2|2﹣|PF1|·|PF2|＝(|PF1|﹣|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.
[答案] B
考法(三) 利用定义求最值
[例3] 已知F是双曲线eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,12)＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
[解析] 因为F是双曲线eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,12)＝1的左焦点，所以F(﹣4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋eq \r(4－12＋0－42)＝4＋5＝9.
[答案] 9
[方法技巧]
双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|﹣|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
[提醒] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
[针对训练]
1．已知点O(0,0)，A(﹣2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|﹣|PB|＝2，且P为函数y＝3eq \r(4－x2)图象上的点，则|OP|＝( )
A.eq \f(\r(22),2) B．eq \f(4\r(10),5) C.eq \r(7) D．eq \r(10)
解析：选D 由|PA|﹣|PB|＝2<|AB|＝4，知点P的轨迹是双曲线的右支，点P的轨迹方程为x2﹣eq \f(y2,3)＝1(x≥1)，又y＝3eq \r(4－x2)，所以x2＝eq \f(13,4)，y2＝eq \f(27,4)，所以|OP|＝eq \r(x2＋y2)＝ eq \r(\f(13,4)＋\f(27,4))＝eq \r(10)，故选D.
2．设F1，F2是双曲线C：x2﹣eq \f(y2,3)＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为( )
A.eq \f(7,2) B．3 C.eq \f(5,2) D．2
解析：选B 法一：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(﹣2,0)，F2(2,0)．
又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16.
不妨令点P在双曲线C的右支上，则有|PF1|﹣|PF2|＝2，
两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2﹣2|PF1|·|PF2|＝4，所以|PF1|·|PF2|＝6，
则S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×6＝3，故选B.
法二：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(﹣2,0)，F2(2,0)．
又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，
所以△PF1F2是直角三角形，所以S△PF1F2＝eq \f(b2,tan\f(θ,2))＝eq \f(3,tan 45°)＝3(其中θ＝∠F1PF2)，故选B.
考点二 双曲线的标准方程
[典例] (1)经过点M(2eq \r(3)，2eq \r(5))且与双曲线eq \f(x2,3)﹣eq \f(y2,2)＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )
A.eq \f(x2,18)﹣eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,12)﹣eq \f(y2,18)＝1 C.eq \f(y2,18)﹣eq \f(x2,12)＝1 D．eq \f(y2,12)﹣eq \f(x2,18)＝1
(2)已知曲线C的方程为eq \f(x2,k2－2)﹣eq \f(y2,6－k)＝1(k∈R)，则下列结论正确的是( )
A．当k＝8时，曲线C为椭圆，其焦距为4＋eq \r(15)
B．当k＝2时，曲线C为双曲线，其离心率为eq \r(3)
C．存在实数k，使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线
D．当k＝3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆(x﹣4)2＋y2＝9相切
[解析] (1)设所求双曲线的方程为eq \f(x2,3)﹣eq \f(y2,2)＝λ，将点M(2eq \r(3)，2eq \r(5))代入得eq \f(2\r(3)2,3)﹣eq \f(2\r(5)2,2)＝λ，解得λ＝﹣6，所以双曲线方程为eq \f(y2,12)﹣eq \f(x2,18)＝1，故选D.
(2)对于A，当k＝8时，曲线C的方程为eq \f(x2,62)＋eq \f(y2,2)＝1，轨迹为椭圆，焦距2c＝2eq \r(62－2)＝4eq \r(15)，A错误；对于B，当k＝2时，曲线C的方程为eq \f(x2,2)﹣eq \f(y2,4)＝1，轨迹为双曲线，则a＝eq \r(2)，c＝eq \r(6)，∴离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，B正确；对于C，若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6－k＜0，,k2－2＜0，))解集为空集，∴不存在实数k，使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线，C错误；对于D，当k＝3时，曲线C的方程为eq \f(x2,7)﹣eq \f(y2,3)＝1，其渐近线方程为y＝±eq \f(\r(21),7)x，则圆(x﹣4)2＋y2＝9的圆心到渐近线的距离d＝eq \f(|±4\r(21)|,\r(21＋49))＝eq \f(4\r(3),\r(10))＝eq \f(2\r(30),5)≠3，∴双曲线的渐近线与圆(x﹣4)2＋y2＝9不相切，D错误．故选B.
[答案] (1)D (2)B
[方法技巧] 待定系数法求双曲线方程的5种类型
[针对训练]
1．双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为(﹣3,0)，且C的离心率为eq \f(3,2)，则C的方程为( )
A.eq \f(y2,4)﹣eq \f(x2,5)＝1 B．eq \f(y2,5)﹣eq \f(x2,4)＝1 C.eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,5)＝1 D．eq \f(x2,5)﹣eq \f(y2,4)＝1
解析：选C 由题意，可得c＝3，又由e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2)，∴a＝2，
又b2＝32﹣22＝5，故C的方程为eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,5)＝1，故选C.
2．设双曲线C的方程为eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,4)＝1 B．x2﹣eq \f(y2,4)＝1 C.eq \f(x2,4)﹣y2＝1 D．x2﹣y2＝1
解析：选D 法一：由题知y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，则过焦点和点(0，b)的直线方程为x＋eq \f(y,b)＝1，而eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝0和eq \f(x,a)﹣eq \f(y,b)＝0，由l与一条渐近线平行，与另一条渐近线垂直，得a＝1，b＝1，故选D.
法二：由题知双曲线C的两条渐近线互相垂直，则a＝b，即渐近线方程为x±y＝0，排除B、C.又知y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，l过点(1,0)，(0，b)，所以eq \f(b－0,0－1)＝﹣1，b＝1，故选D.
考点三 双曲线的几何性质
考法(一) 求双曲线的渐近线方程
[例1] (1)已知双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为双曲线上一点，若cs∠F1MF2＝eq \f(1,4)，|MF1|＝2|MF2|，则此双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(3)x B．y＝±eq \f(\r(3),3)x C．y＝±x D．y＝±2x
[解析]由题意，得|MF1|﹣|MF2|＝2a，又|MF1|＝2|MF2|，∴|MF1|＝4a，|MF2|＝2a，
∴cs∠F1MF2＝eq \f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a)＝eq \f(1,4)，化简得c2＝4a2，即a2＋b2＝4a2，∴b2＝3a2，
又a>0，b>0，∴eq \f(b,a)＝eq \r(3)，∴此双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，故选A.
[答案] A
[方法技巧]
涉及双曲线渐近线的几个常用结论
(1)求双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq \f(y2,a2)﹣eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝0，得y＝±eq \f(b,a)x，或令eq \f(y2,a2)﹣eq \f(x2,b2)＝0，得y＝±eq \f(a,b)x.
(2)已知渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
[提醒] 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴、y轴对称．
考法(二) 求双曲线的离心率
[例2] 若双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)的渐近线与圆(x﹣3)2＋y2＝1无交点，则C的离心率的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3\r(2),4))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)，＋∞)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，＋∞))
[解析] ∵双曲线渐近线为bx±ay＝0与圆(x﹣3)2＋y2＝1无交点，
∴圆心到渐近线的距离大于半径，即eq \f(3b,\r(a2＋b2))＞1，∴8b2＞a2，∴8(c2﹣a2)＞a2，即8c2>9a2，
∴e＝eq \f(c,a)＞eq \f(3\r(2),4).故选C.
[答案] C
[方法技巧]
1．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2﹣a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围．
(3)因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．
(4)通过特殊位置求出离心率．
2．双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：当k>0时，k＝eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝ eq \r(\f(c2,a2)－1)＝eq \r(e2－1)；当k<0时，k＝﹣eq \f(b,a)＝﹣eq \r(e2－1).
[方法技巧]
1．求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法
(1)几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解．
(2)代数法：若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解．
(3)不等式法：借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解．
2．解决与双曲线有关的范围(或最值)问题时的注意点
(1)双曲线上本身就存在最值问题，如异支双曲线上两点间的最短距离为2a(实轴长)．
(2)双曲线上的点到定点的距离最值，常用两点间的距离公式转化为区间上的最值问题，有时也用双曲线的参数方程转化为三角函数的最值问题．
(3)双曲线上的点到定直线的距离的最值解法同(2)所述，或用平行切线法．
(4)点在双曲线上，求相关式子(目标函数)的取值范围，常用参数方程转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识，或引入一个参数转化为函数问题解决．
(5)由直线和双曲线的位置关系，求直线或双曲线中某个参数的范围，常把所求参数作为函数中的因变量来求解．
(6)所构建的函数关系式中变量的取值范围往往受到双曲线自变量范围的影响．
[针对训练]
1．(多选)已知双曲线C过点(3，eq \r(2))，且渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，则下列结论正确的是( )
A．C的方程为eq \f(x2,3)﹣y2＝1
B．C的离心率为eq \r(3)
C．曲线y＝ex﹣2﹣1经过C的一个焦点
D．直线x﹣eq \r(2)y﹣1＝0与C有两个公共点
解析：选AC ∵双曲线C过点(3，eq \r(2))，且渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，
∴设双曲线方程为eq \f(x2,9)﹣eq \f(y2,3)＝λ(λ≠0)，∴eq \f(9,9)﹣eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)＝λ，∴eq \f(x2,9)﹣eq \f(y2,3)＝eq \f(1,3)，∴eq \f(x2,3)﹣y2＝1，∴A正确．
∴离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2,3)eq \r(3)，∴B错误．
∵双曲线的焦点坐标为(﹣2,0)，(2,0)，而曲线y＝ex﹣2﹣1经过点(2,0)，∴C正确．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,3)－y2＝1，,x－\r(2)y－1＝0，))得y2﹣2eq \r(2)y＋2＝0.Δ＝(﹣2eq \r(2))2﹣4×1×2＝8﹣8＝0.
∴直线x﹣eq \r(2)y﹣1＝0与C只有一个公共点，∴D错误，故选A、C.
2．已知直线l：y＝kx＋2过双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点F和虚轴的上端点B(0，b)，且与圆x2＋y2＝8交于点M，N，若|MN|≥2eq \r(5)，则双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，eq \r(6) ] B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(6),2))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，＋∞)) D．[eq \r(6)，＋∞)
解析：选C 设圆心到直线l的距离为d(d>0)，
因为|MN|≥2eq \r(5)，所以2eq \r(8－d2)≥2eq \r(5)，即0又d＝eq \f(2,\r(1＋k2))，所以eq \f(2,\r(1＋k2))≤eq \r(3)，解得|k|≥eq \f(\r(3),3).
由直线l：y＝kx＋2过双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点F和虚轴的上端点B(0，b)，
得|k|＝eq \f(b,c).所以eq \f(b,c)≥eq \f(\r(3),3)，即eq \f(b2,c2)≥eq \f(1,3)，所以eq \f(c2－a2,c2)≥eq \f(1,3)，即1﹣eq \f(1,e2)≥eq \f(1,3)，所以e≥eq \f(\r(6),2)，
于是双曲线的离心率e的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，＋∞)).
3．已知F为双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
解析：设B(c，yB)，因为B为双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1上的点，所以eq \f(c2,a2)﹣eq \f(y\\al(2,B),b2)＝1，所以yeq \\al(2,B)＝eq \f(b4,a2).因为AB的斜率为3，所以yB＝eq \f(b2,a)，eq \f(\f(b2,a),c－a)＝3，所以b2＝3ac﹣3a2，所以c2﹣a2＝3ac﹣3a2，所以c2﹣3ac＋2a2＝0，解得c＝2a或c＝a(舍去)，所以C的离心率e＝eq \f(c,a)＝2.
答案：2
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．双曲线eq \f(x2,2)﹣y2＝1的实轴长为( )
A．4 B．2 C．2eq \r(3) D．2eq \r(2)
解析：选D 由题知a2＝2，∴a＝eq \r(2)，故实轴长为2a＝2eq \r(2)，故选D.
2．双曲线eq \f(x2,5)﹣eq \f(y2,10)＝1的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \f(1,2)x B．y＝±eq \f(\r(2),2)x C．y＝±eq \r(2)x D．y＝±2x
解析：选C 双曲线eq \f(x2,5)﹣eq \f(y2,10)＝1的渐近线方程为eq \f(x2,5)﹣eq \f(y2,10)＝0，整理得y2＝2x2，解得y＝±eq \r(2)x，故选C.
3．已知双曲线eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的渐近线方程为eq \r(3)x±y＝0，则b＝( )
A．2eq \r(3) B．eq \r(3) C.eq \f(\r(3),2) D．12
解析：选A 因为双曲线eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,2)x，又渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，所以eq \f(b,2)＝eq \r(3)，b＝2eq \r(3)，故选A.
4．设双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，一条渐近线为y＝eq \f(1,2)x，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,16)﹣eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,16)＝1 C.eq \f(x2,64)﹣eq \f(y2,16)＝1 D．x2﹣eq \f(y2,4)＝1
解析：选A 因为双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，所以2b＝4，b＝2，
因为双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝eq \f(1,2)x，所以eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)⇒a＝2b＝4，
所以双曲线M的方程为eq \f(x2,16)﹣eq \f(y2,4)＝1，故选A.
5．若a＞1，则双曲线eq \f(x2,a2)﹣y2＝1的离心率的取值范围是( )
A．(eq \r(2)，＋∞) B．(eq \r(2)，2) C．(1，eq \r(2)) D．(1,2)
解析：选C 由题意得双曲线的离心率e＝eq \f(\r(a2＋1),a)，即e2＝eq \f(a2＋1,a2)＝1＋eq \f(1,a2).
∵a＞1，∴0＜eq \f(1,a2)＜1，∴1＜1＋eq \f(1,a2)＜2，∴1＜e＜eq \r(2).
6．已知双曲线C：eq \f(x2,6)﹣eq \f(y2,3)＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．
解析：双曲线C：eq \f(x2,6)﹣eq \f(y2,3)＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，则C的右焦点的坐标为(3,0)．C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),\r(6))x，即y＝±eq \f(1,\r(2))x，即x±eq \r(2)y＝0，则C的焦点到其渐近线的距离d＝eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3).
答案：(3,0) eq \r(3)
二、综合练——练思维敏锐度
1．若实数k满足0＜k＜9，则曲线eq \f(x2,25)﹣eq \f(y2,9－k)＝1与曲线eq \f(x2,25－k)﹣eq \f(y2,9)＝1的( )
A．离心率相等 B．虚半轴长相等
C．实半轴长相等 D．焦距相等
解析：选D 由02．设双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B, C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A．±eq \f(1,2) B．±eq \f(\r(2),2) C．±1 D．±eq \r(2)
解析：选C 由题设易知A1(﹣a,0)，A2(a,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a))).∵A1B⊥A2C，
∴eq \f(\f(b2,a),c＋a)·eq \f(－\f(b2,a),c－a)＝﹣1，整理得a＝b.∵渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1.
3．已知双曲线eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,2)＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，eq \r(2))，则△APF周长的最小值为( )
A．4(1＋eq \r(2)) B．4＋eq \r(2) C．2(eq \r(2)＋eq \r(6)) D．eq \r(6)＋3eq \r(2)
解析：选A 设双曲线的左焦点为F′，易得点F(eq \r(6)，0)，△APF的周长l＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋2a＋|PF′|＋|AP|，要使△APF的周长最小，只需|AP|＋|PF′|最小，易知当A，P，F′三点共线时取到最小值，故l＝2|AF|＋2a＝4(1＋eq \r(2))．故选A.
4．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq \r(5)，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)﹣eq \f(y2,8)＝1 B．eq \f(x2,4)﹣y2＝1 C.eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,16)＝1 D．x2﹣eq \f(y2,4)＝1
解析：选D 因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为eq \r(5)，所以 eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(5)，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2﹣eq \f(y2,4)＝1，故选D.
5．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A．4 B．8 C．16 D．32
解析：选B 由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，﹣b)，所以S△ODE＝eq \f(1,2)×a×|DE|＝eq \f(1,2)×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B.
6．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1的一条渐近线l的倾斜角为eq \f(π,3)，且C的一个焦点到l的距离为eq \r(3)，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,12)﹣eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,12)＝1 C.eq \f(x2,3)﹣y2＝1 D．x2﹣eq \f(y2,3)＝1
解析：选D 由eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝0可得y＝±eq \f(b,a)x，即渐近线的方程为y＝±eq \f(b,a)x，又一条渐近线l的倾斜角为eq \f(π,3)，
所以eq \f(b,a)＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3).因为双曲线C的一个焦点(c,0)到l的距离为eq \r(3)，所以eq \f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b＝eq \r(3)，
所以a＝1，所以双曲线的方程为x2﹣eq \f(y2,3)＝1.
7．双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，F1，F2为C的焦点，A为双曲线上一点，若|F1A|＝2|F2A|，则cs∠AF2F1等于( )
A.eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(5),4) C.eq \f(\r(5),5) D．eq \f(1,4)
解析：选C 因为双曲线的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|﹣|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，而c2＝5a2，得2c＝2eq \r(5)a，所以cs∠AF2F1＝eq \f(|F1F2|2＋|F2A|2－|F1A|2,2|F1F2||F2A|)＝eq \f(20a2＋4a2－16a2,2×2\r(5)a×2a)＝eq \f(\r(5),5)，故选C.
8．(多选)设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝eq \r(6)|OP|，则下列说法正确的是( )
A．|F2P|＝b
B．双曲线的离心率为eq \r(3)
C．双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x
D．点P在直线x＝eq \f(\r(3),3)a上
解析：选ABD 由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，即bx﹣ay＝0，
设焦点F1(﹣c,0)，F2(c,0)(a>0，b>0，c>0)，
因为过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，所以|F2P|＝eq \f(|bc－a×0|,\r(a2＋b2))＝eq \f(bc,c)＝b，故A正确；
因为|OP|＝eq \r(|OF2|2－|PF2|2)＝eq \r(c2－b2)＝a，所以|PF1|＝eq \r(6)|OP|＝eq \r(6)a，cs∠F1OP
＝cs(180°﹣∠F2OP)＝﹣cs∠F2OP＝﹣eq \f(|OP|,|OF2|)＝﹣eq \f(a,c)，
在三角形OPF1中，根据余弦定理可知cs∠F1OP＝eq \f(|OP|2＋|OF1|2－|F1P|2,2|OP|·|OF1|)＝eq \f(a2＋c2－6a2,2ac)＝﹣eq \f(a,c)，
解得3a2＝c2，即离心率e＝eq \r(3)或e＝﹣eq \r(3)(舍去)，故B正确；
因为e＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(3)，解得eq \f(b,a)＝eq \r(2)，所以渐近线的方程为y＝±eq \r(2)x，故C错误；
因为点P在直线y＝eq \r(2)x上，可设P(x，eq \r(2)x)(x>0)，由|OP|＝a可知，|OP|＝eq \r(x2＋\r(2)x2)＝eq \r(3)x＝a，
解得x＝eq \f(\r(3),3)a，故D正确．
9．已知双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若S△AOB＝2eq \r(3)，则双曲线的离心率e＝________.
解析：由题意，知抛物线的准线方程是x＝﹣1，双曲线的渐近线方程是y＝±eq \f(b,a)x.当x＝﹣1时，y＝±eq \f(b,a)，
即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(b,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(b,a)))或Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(b,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(b,a))).所以S△AOB＝eq \f(1,2)×2×eq \f(b,a)×1＝2eq \r(3)，即eq \f(b,a)＝2eq \r(3)，
所以e＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(13).
答案：eq \r(13)
10．已知双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为﹣eq \r(3)，求双曲线的离心率．
解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，所以a＝b，
所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，所以双曲线的方程为eq \f(x2,2)﹣eq \f(y2,2)＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，所以直线AO的斜率满足eq \f(y0,x0)·(﹣eq \r(3))＝﹣1，所以x0＝eq \r(3)y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程得3yeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝c2，即y0＝eq \f(1,2)c，
所以x0＝eq \f(\r(3),2)c，所以点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)c，\f(1,2)c))，代入双曲线方程得eq \f(\f(3,4)c2,a2)﹣eq \f(\f(1,4)c2,b2)＝1，
即eq \f(3,4)b2c2﹣eq \f(1,4)a2c2＝a2b2，②
又因为a2＋b2＝c2，所以将b2＝c2﹣a2代入②式，整理得eq \f(3,4)c4﹣2a2c2＋a4＝0，
所以3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))4﹣8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))2＋4＝0，所以(3e2﹣2)(e2﹣2)＝0，
因为e>1，所以e＝eq \r(2)，所以双曲线的离心率为eq \r(2).
标准方程
eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)﹣eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
图形
性 质
范围
x≤﹣a或x≥a，y∈R
y≤﹣a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(﹣a,0)，A2(a,0)
A1(0，﹣a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2是双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2是双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a是双曲线的实半轴长，b是双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
类型一
与双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)
类型二
若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x或y＝﹣eq \f(b,a)x，则可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)
类型三
与双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－k)﹣eq \f(y2,b2＋k)＝1(﹣b2＜k＜a2)
类型四
过两个已知点的双曲线的标准方程可设为eq \f(x2,m)﹣eq \f(y2,n)＝1(mn＞0)或者eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(mn＜0)
类型五
与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－λ)﹣eq \f(y2,λ－b2)＝1(b2＜λ＜a2)