八年级数学上册同步精品讲义（北师大版） 专题3.1位置与坐标

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专题3.1 位置与坐标目标导航1.了解在平面内确定一个物体的位置的方法（一般都需要两个数据）；2.理解平面直角坐标系的相关概念（横轴、纵轴、原点、坐标等）；3.会用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位置，能根据横纵坐标的符号确定点所在象限；4.能够根据图形建立适当的平面直角坐标系，表示图形上的点的坐标；5.掌握点的坐标变化与图形的轴对称、平移变换之间的关系。知识精讲知识点01 确定位置【知识点】确定一个物体的位置的方法：1）有序实数对确定点的位置--行列定位法；2）方位角+距离确定点的位置--极坐标定位法；3）用“经纬度”确定点的位置--经纬定位法；4）区域定位法。【知识拓展1】确定物体的位置例1．（2022·河北唐山·八年级期末）下列条件不能确定点的位置的是（       ）A．第二阶梯教室6排3座 B．小岛北偏东30°，距离1600mC．距离北京市180千米 D．位于东经114.8°，北纬40.8°【答案】C【分析】根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A．第二阶梯教室6排3座的位置明确，故本选项不符合题意；B．小岛北偏东30°，距离1600m的位置明确，故本选项不符合题意；C．距离北京市180千米无法确定的具体位置，故本选项符合题意；D．东经114.8°，北纬40.8°的位置明确，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解题的关键．【即学即练】1．（2022·安徽合肥·七年级期中）举世瞩目的2022北京冬季奥运会由北京市和河北省张家口市联合举办，以下表述能够准确表示张家口市地理位置的是（       ）．A．位于东经114.8°，北纬40.8° B．位于中国境内河北省C．西边和西南边与山西省接壤 D．距离北京市180千米【答案】A【分析】根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可．【详解】解：能够准确表示张家口市这个地点位置的是：东经114.8°，北纬40.8°．故选：A．【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解坐标的定义是解题的关键．【知识拓展2】极坐标定位法例2．（2022·广东·一模）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定，有序数对称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设正六边形的中心为D，连接AD，判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OD=OA，∠AOD=60°，再求出OC，然后根据“极坐标”的定义写出即可．【详解】解：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴OD=OA=4，∠AOD=60°，∴OC=2OD=2×4=8，∴正六边形的顶点C的极坐标应记为．故选A．【点睛】本题考查了正多边形和圆，坐标确定位置，主要利用了正六边形的性质，读懂题目信息，理解“极坐标”的定义是解题的关键．【即学即练】2．（2022·四川达州·八年级期末）如图，雷达探测器测得六个目标出现，按照规定的目标表示方法，目标的位置表示为，按照此方法在表示目标的位置时，其中表示不正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆圈数表示横坐标，度数表示纵坐标，可得答案．【详解】解：因为E（5，210°），F（3，300°），可得：A（4，30°），B（2，90°），C（6，120°），D（4，240°），故选项C错误，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了坐标确定位置，解题的关键是利用圆圈数表示横坐标，度数表示纵坐标．【知识拓展3】行列定位法与区域定位法例3．（1）（2022·云南昭通·七年级期末）如果把电影票上“5排3座”记作，那么表示（       ）A．“4排4座” B．“9排4座” C．“4排9座” D．“9排9座”【答案】C【分析】由于将“5排3座”记作，根据这个规定即可确定表示的点．【详解】解：“5排3座”记作，表示“4排9座”．故选：C．【点睛】本题主要考查了根据有序实数对确定点的位置，解题的关键是理解题目的规定，知道坐标与位置的对应关系．（2）（2021·山东济南·八年级期中）如图是济南市地图简图的一部分，图中“济南西站”、“雪野湖”所在区域分别是（       ）A．E4，E6 B．D5，F5 C．D6，F6 D．D5，F6【答案】D【分析】观察已知表格，由行列定位法确定位置即可知道答案．【详解】解：由行列定位法知，图中“济南西站”、“雪野湖”所在区域分别是：D5，F6 故选：D【点睛】本题考查行列定位法确定位置，熟记相关的知识点是解题的关键．【即学即练】3.（2022·湖北宜昌·中考真题）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为．若小丽的座位为，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据小丽的座位坐标为，根据四个选项中的座位坐标，判断四个选项中与其相邻的座位，即可得出答案．【详解】解：∵只有与是相邻的，∴与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，关键是根据有序数对表示点的位置，根据点的坐标确定位置．知识点02 平面直角坐标系【知识点】1．有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作．注意：有序数对是有顺序的，可以准确地表示出平面内一个点的位置，和表示的意义是不同的．2．平面直角坐标系：两条互相垂直的共原点数轴组成．水平的数轴叫做横轴（x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点．注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．3．点的坐标：如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐标是b，则点P的坐标为，其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标．4．象限和坐标轴：（1）第一象限内的点的坐标满足：，；（2）第二象限内的点的坐标满足：，；（3）第三象限内的点的坐标满足：x＜0，；（4）第四象限内的点的坐标满足：，.（5）x轴上的点的坐标满足：；（6）y轴上的点的坐标满足：；（7）一、三象限角平分线的点的坐标满足：；（7）二、四象限角平分线的点的坐标满足：；注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．5．点到特殊直线（点）的距离：（1）点到x轴的距离为； 到直线（m为常数，表示与x轴平行的直线）的距离为；（2）点到y轴的距离为； 到直线（n为常数，表示与y轴平行的直线）的距离为；（3）点到原点的距离为。 【知识拓展1】判断点的象限例1．（1）（2022·宁夏·吴忠市第二中学七年级期中）在平面直角坐标系中，点P（3，-7）位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据坐标系中每个象限的点的坐标特征求解即可．【详解】解：∵点P的坐标为（3，-7），∴点P在第四象限，故选D．【点睛】本题主要考查了判断点所在的象限，熟知坐标系中每个象限的点的坐标特点是解题的关键：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）．（2）（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）下列坐标中，在第二象限的是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据点所在的象限的坐标符号特征逐项判断求解即可．【详解】解：A、在第三象限，不符合题意；B、在第二象限，符合题意；C、在第一象限，不符合题意；D、在第四象限，不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查点所在的象限，解答的关键是熟知点所在的象限的坐标符号特征：第一象限（+，+），第二象限（－，+），第三象限（－，－），第四象限（+，－）．【即学即练1】1．（2022·山东临沂·七年级期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P所在的象限是（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据平方数非负数判断出点P的横坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．【详解】解：∵，∴，∴点P的横坐标是正数，∴点P(，－2) 所在的象限是第四象限．故选D．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（－，+）；第三象限（－，－）；第四象限（+，－）．【知识拓展2】坐标轴上的点的特征例2．（2022·四川广安·七年级期末）若点M(2-a，3a+6)在坐标轴上，则点M的坐标是__________________【答案】（0，12）或（4，0）##（4，0）或（0，12）【分析】根据轴上的点的坐标特征分类讨论进行求解即可．【详解】解：若点M(2-a，3a+6)在轴上， 解得，，，若点M(2-a，3a+6)在轴上，，解得，，．故答案为：（0，12）或（4，0）．【点睛】本题考查了坐标轴上的点的坐标特征，掌握x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0，是解题的关键．【即学即练2】2．（1）（2022·吉林·东北师大附中明珠学校八年级期末）若点（4a﹣1，a＋2）在x轴上，则a＝_____．【答案】-2【分析】根据在x轴上的点纵坐标为0进行求解即可．【详解】解：∵点（4a﹣1，a＋2）在x轴上，∴a+2=0，∴a=-2，故答案为：-2．【点睛】本题主要考查了在x轴上的点的坐标特点，熟知在x轴上的点纵坐标为0是解题的关键．（2）．（2022·福建厦门·七年级期末）若点在y轴上，则点P的坐标是________．【答案】（0，－4）【分析】利用在y轴上的点的坐标特点，横坐标为，即可求解．【详解】解：∵点在y轴上，∴＝0，∴，∴点P的坐标是，故答案为：【点睛】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，熟记在轴上的点，纵坐标等于0；在轴上的点，横坐标等于0是解题的关键．【知识拓展3】点到坐标轴的距离例3．（2021·福建·城郊中学七年级期中）点A到x轴的距离是_______，A到y轴的距离是____．【答案】     7     5【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．【详解】点A(5,-7)到x轴的距离是；到y轴的距离是5．故答案为7；5．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．解答时，注意不要将x、y的距离搞混淆了而出现错误．【即学即练3】3．（2022·海南省直辖县级单位·七年级期中）若点到y轴的距离为2，且，则点P的坐标为（       ）A． B．或 C． D．或【答案】B【分析】根据点到y轴的距离为2，且，列出绝对值方程即可求解．【详解】解：∵点到y轴的距离为2，∴， ，当时， 当时， 即点P的坐标为或 故选B【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离，掌握坐标的意义是解题的关键．【知识拓展4】平行（垂直）于坐标轴的点的特征例4．（1）（2022·黑龙江绥化·七年级期末）已知点和点，若轴，且，则的值为______．【答案】1或9##9或1【分析】，可得A和B的横坐标相同，即可求出n的值，根据列出方程即可求出m的值，代入求解即可．【详解】∵点和点，且， ∴，∴， ∴ 故答案为：1或9．【点睛】本题考查了平行y轴的点的坐标特征，如果两点连线平行于y轴，则它们的横坐标x相等，如果两点连线平行于x轴，则它们的横坐标y相等．（2）．（2022·广西贵港·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知直线轴，点的坐标为，和两点之间的距离为5，则点的坐标为_______．【答案】或【分析】由AB平行与x轴可知A，B两点的距离等于横坐标之差的绝对值，只需分B在A的左边，B在A的右边两种情况讨论即可．【详解】解：∵轴，∴A，B两点的距离等于横坐标之差的绝对值，当B在A的左边时，﹣2－5=﹣7，故B点坐标为：，当B在A的右边时，﹣2＋5=3，故B点坐标为：综上所述B点坐标为或，故答案为：或．【点睛】本题考查平行与坐标轴的线上的点的坐标特征，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．【即学即练4】4．（2022·福建厦门·七年级期末）在平面直角坐标系中，点A（1，3），B（－2，－1），C（x，y），若AC∥y轴，则线段BC的最小值为（       ）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】由垂线段最短可知点BC⊥AC时，BC有最小值．【详解】解：依题意可得：∵AC//y轴，A(1，3)，C(x， y)，∴x=1，根据垂线段最短，当BC⊥AC于点C时，点B到AC的距离最短，∵B(-2，-1)，即BC的最小值= 2+1=3，故选： C．【点睛】本题主要考查的是垂线段的性质、点的坐标的定义，掌握垂线段的性质是解题的关键．【知识拓展5】坐标确定点的位置例5．（2022·江苏·八年级专题练习）“健步走”越来越受到人们的喜爱．一个健步走小组将自己的活动场地定在奥林匹克公园〔路线：森林公园—玲珑塔—国家体育场—水立方），如图假设在奥林匹克公园设计图上规定玲珑塔的坐标为，森林公园的坐标为，则终点水立方的坐标为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据玲珑塔的坐标确定坐标原点位置，然后画出坐标系，进而可得答案．【详解】解：根据玲珑塔的坐标为可画出坐标系：水立方的坐标为，故选：A．【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，解题的关键是正确画出坐标系．【即学即练5】5．（2022·广西百色·八年级期末）如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点．“马”位于点，则位于原点位置的是（ ）A．炮 B．兵 C．相 D．车【答案】A【分析】根据题意可以画出平面直角坐标系，从而可以写成炮所在点的坐标．【详解】解：由题可得，如下图所示，故炮所在的点的坐标为（0，0），故选：A．【点睛】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是明确题意，画出相应的平面直角坐标系．知识点03 平面直角坐标系中点的变换【知识点】1．坐标系中的平移：（1）将点向右（或向左）平移a个单位可得对应点或．（2）将点向上（或向下）平移b个单位可得对应点或．注意：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减．2．坐标系中的对称：（1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．注意：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．（3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．（4）点关于点的对称点是．（5）点关于的对称点是．（6）点关于的对称点是．（7）点关于一三象限的平分线的对称点为．（8）点关于二四象限的平分线的对称点为．【知识拓展1】点在坐标系中的平移例1．（2022·山东临沂·七年级期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”的规律求解即可．【详解】解：将点P（3，2）向右平移2个单位长度得到（5，2），再向下平移2个单位长度，所得到的点坐标为（5，0）．故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形变化——平移：向右平移a个单位，坐标P（x，y） （x+a，y）；向左平移a个单位，坐标P（x，y）（x-a，y）；向上平移b个单位，坐标P（x，y）（x，y+b）；向下平移b个单位，坐标P（x，y）（x，y-b），熟记点的坐标的平移规则是解题的关键．【即学即练1】1.（2022·成都市·八年级期末）将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5），则A点坐标为（       ）A．（﹣4，11） B．（﹣2，6） C．（﹣4，8） D．（﹣3，8）【答案】D【分析】让点B先向上平移3个单位，再向左平移2个单位即可得到点A的坐标，让点B的横坐标减2，纵坐标加3即可得到点A的坐标．【详解】解：∵将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5），∴点A的横坐标为﹣1﹣2＝﹣3，纵坐标为5+3＝8，∴A点坐标为（﹣3，8）．故选D．【点睛】在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，本题需注意的是已知新点的坐标，求原来点的坐标，注意平移的顺序的反过来的运用．解决本题的关键是得到由点B到点A的平移过程．【知识拓展2】图形在坐标系中的平移例2．（2022·福建·武平县实验中学七年级期中）如图，把图①中经过一定的变换得到图②中的，如果某个点在图②中的点的坐标是，那么这个点在图①的上点P的坐标是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图形可得平移方法，再根据平移方法可得P的坐标．【详解】解：根据图可得△ABC向上平移了2个单位，向右平移了4个单位，因此点的坐标为（a，b）变为点P的坐标为，故选：A．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．【即学即练2】2．（1）（2022·陕西商洛·七年级期末）已知线段的端点，，将线段平移后，点坐标是，则点的坐标是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】比较平移前A（-1，2），平移后（1，2）的横坐标、纵坐标，可知平移后横坐标加2，纵坐标加4，由于点A、B的平移规律相同，坐标变化也相同，即可得的坐标．【详解】解：∵平移前A（-1，2），平移后（1，2）∴平移方式为向右平移2个单位长度，向上平移4个单位长度，∵平移前点B的坐标为（1，2），∴平移后点B的坐标为（1+2，2+4）即（3，6），故选A．【点睛】本题主要考查了图形的平移，根据A点平移前后的坐标判断出平移方式是解题的关键．（2）（2022·广西·柳州七年级阶段练习）如图，点A、B的坐标分别是为（-3，1），（-1，-2），若将线段AB平移至的位置，与坐标分别是（m，4）和（3，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为（     ）A．18 B．20 C．28 D．36【答案】A【分析】直接利用平移中点的变化规律求出m，n的值，再根据线段AB在平移过程中扫过的图形面积=四边形的面积=2△的面积求解即可．【详解】解：∵点A、B的坐标分别是为（-3，1），（-1，-2），若将线段AB平移至的位置，与坐标分别是（m，4）和（3，n），∴可知将线段AB向右平移4个单位，向上平移3个单位得到的位置，∴m=1，n=1，∴与坐标分别是（1，4）和（3，1），∴线段AB在平移过程中扫过的图形面积=四边形的面积=2△的面积=2××6×3=18，故选：A．【点睛】本题主要考查坐标系中线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【知识拓展3】点在坐标系中的轴对称例3．（2022·新疆·八年级期末）已知点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，则a+2b＝（       ）A．-4 B．-1 C．-2 D．4【答案】B【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特点求出a、b，再代入计算即可．【详解】解：∵点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，所以a=3，b=−2，∴a+2b=3+2×(−2)=-1．故选B．【点睛】此题主要考查关于x轴对称的点的坐标特点．关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．【即学即练3】3．（2022·贵州·金沙县八年级期末）若点关于y轴的对称点是，则m＋n的值是（       ）A．4 B．－4 C．－2 D．2【答案】B【分析】根据两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数列式求出m，n，即可得出结果．【详解】解：∵点关于y轴的对称点是，∴m－1＋2＝0，n＋2＝－1，∴m＝－1，n＝－3，∴m＋n＝－1－3＝－4，故选：B．【点睛】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．【知识拓展4】图形在格点中的变换（平移、轴对称）例4．（2022·湖北荆门·八年级期中）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：(1)画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1；并写出B1的坐标；(2)将△ABC向右平移8个单位，画出平移后的△A1B2C2，并写出B2的坐标；(3)在（1）、（2）的基础上，写出△AB1C1与△A1B2C2有怎样的位置关系？(4)在y轴上有一点P，使得PB+PC最小，请画出点P；（用虚线保留画图的痕迹）(5)在y轴上有一点Q，使得QB－QC最大，请画出点Q．（用虚线保留画图的痕迹）【答案】(1)作图见解析，B1（3，2）(2)作图见解析，B2（5，2）；(3)由图可知△AB1C1与△A1B2C2关于直线x＝4对称；(4)作图见解析(5)作图见解析【分析】（1）根据轴对称的性质找到关于y轴对称的点，顺次连接，则△AB1C1即为所求，根据坐标系写出点B1（的坐标即可；（2）将点向右平移8个单位，得到，顺次连接，则△A1B2C2即为所求，根据坐标系写出点B2的坐标即可；（3）观察图形即可求解．（4）连接BC1，交y轴于点P，连接BC，根据轴对称的性质可知则点P即为所求（5）延长BC交y轴于点Q，根据两点之间线段最短可得Q点即为所求（1）作图见解析，B1（3，2） （2）作图见解析，B2（5，2）；（3）由图可知△AB1C1与△A1B2C2关于直线x＝4对称；（4）作图见解析 连接BC1，交y轴于点P，连接BC，∵PC1=PC，PC+PB=PC1+PB≥BC1 当B，P，C1三点共线时，PB+PC最小（5）作图见解析延长BC交y轴于点Q，∵QB-QC≤BC 当B，C，Q三点共线时，取得最大值【点睛】本题考查了平移作图，轴对称作图，写出点的坐标，轴对称的性质求最值，两点之间线段最短求最值，掌握以上知识是解题的关键．【即学即练4】1．（2022·四川南充·七年级期末）如图，三角形AOB中，A，B两点的坐标分别为，将三角形AOB向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三角形．(1)在图中画出三角形，并分别写出点，，的坐标．(2)求三角形AOB的面积．【答案】(1)图见解析，，，(2)7【分析】（1）根据平移的定义，应用并作图，写出坐标即可；（2）用间接法求三角形的面积，三角形AOB的面积等于矩形面积依次减去三个小三角形的面积，即可得出答案．（1）画出三角形如下图．点的坐标分别为：，，．（2）将三角形补成矩形，三角形AOB的面积等于矩形面积依次减去三个小三角形的面积，因此三角形AOB的面积为．【点睛】本题考查了平面直接坐标系中的图形平移问题和求图形面积问题，转化思想是本题的关键．2．（2022·云南·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）．(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△．(2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ．(3)求△ABC的面积．(4)在x轴上画出点P，使QA＋QC最小．【答案】(1)见解析(2)（1，2）(3)4(4)见解析【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出△ABC关于x轴的对称图形△；（2）根据轴对称的性质即可写出点C关于y轴的对称点的坐标（3）根据网格利用割补法即可求出△ABC的面积；（4）连接C交x轴于点Q，根据两点之间线段最短即可使得QA＋QC最小．（1）解：如图所示，△即为所求；；（2）解：点C关于y轴的对称点的坐标为（1，2）；故答案为：（1，2）；（3）解：△ABC的面积=3×3-×1×3-×1×3-×2×2=4；（4）解：如图．点Q即为所求．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．能力拓展考法01 两个重要的公式（1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为：； （2）两点距离公式：已知两点：、，则．（都可以由这两个点来构造直角三角形进行推导，中点公式用中位线，距离公式用勾股定理推导）【典例1】（2022·湖北省宜昌七年级期中）先阅读下列一段文字，再解答问题：已知在平面内有两点，其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或(1)已知点M（2，4），N（3，8），试求M，N两点间的距离；(2)已知点，判断线段AB，BC，AC中哪两条是相等的？并说明理由．【答案】(1) (2)，理由见解析【分析】（1）直接利用两点间的距离公式即可得；（2）利用两点间的距离公式分别求出，由此即可得．（1）解：，，即两点间的距离为．（2）解：，理由如下：，，，，．【点睛】本题考查了平面直角坐标系、算术平方根、勾股定理的应用，理解题中所给的两点间的距离公式是解题关键．变式1．（2022·海南海口·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B、C的坐标分别是，，点D、E分别是AB、AC的中点，点D的坐标为，则点A、E的坐标分别是______．【答案】（3，4）、（4，2）【分析】已知点A和点D的坐标，且D为AB的中点，由中点坐标公式可求出点A的坐标，由点E为AC的中点，同理由中点坐标公式可求得点E的坐标．【详解】解：设A（a，b）∵点B（-1，0），点D（1，2），且点D为AB的中点，∴ 解得， ∴A（3，4）又点C（5，0），点E为AC的中点，设C（x，y），则有： ∴点E的坐标为（4，2）故答案是：（3，4）、（4，2）．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，熟练运用中点坐标公式是解答本题的关键．考法02 图形中的坐标问题 【典例2】（2022·广西南宁·八年级期中）如图，x轴、y轴上分别有两点A(3，0)、B(0，2)，以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（       ）A．(﹣1，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(3，0)【答案】D【分析】根据勾股定理求得AB，然后根据图形推知AC＝AB，则OC＝AC﹣OA，所以由点C位于x轴的负半轴来求点C的坐标．【详解】解：如图，∵A（3，0）、B（0，2），∴OA＝3，OB＝2，∴在直角△AOB中，由勾股定理得AB．又∵以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，∴AC＝AB＝，∴OC＝AC﹣OA3．又∵点C在x轴的负半轴上，∴C（3，0）．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，坐标与图形的性质．解题时，注意点C位于x轴的负半轴，所以点C的横坐标为负数．变式1．（2021·河南郑州·八年级期末）如图所示，把长方形放在直角坐标系中，使、分别落在x轴、y轴上，点C的坐标为，将沿翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，交x轴于点E．则点D的坐标为________．【答案】【分析】根据翻折的性质证明，由全等三角形的性质得到，设，则，再根据勾股定理解得，最后根据等积法解得，据此解得点D的坐标．【详解】解：过点作于，四边形是矩形，点，将沿翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，在与中，设，则，，故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、翻折、矩形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．分层提分题组A 基础过关练1．（2022·黑龙江绥化·期末）数对（1，3）表示第1组，第3行，那么小明坐第4组，第5行，用（       ）可以表示他的位置．A．（4，5） B．（5，4） C．（4，4） D．（5，5）【答案】A【分析】根据题意可知数对中的第一个数表示“组数”，第二个数表示“行数”，据此即可作答．【详解】∵数对(1,3)表示第1组，第3行，∴小明坐第4组，第5行，用数对表示为(4,5)，故选：A．【点睛】此题主要考查了用数对表示位置的方法，理解题意是解答本题的基础．6．（2022·河北石家庄·八年级期中）河北省晋州市2021年11月初出现新冠肺炎确诊病例，政府立即采取科学防控措施，迅速控制了疫情发展．下列表述能较为精确地确定晋州市所在位置的是（       ）A．河北省中南部 B．石家庄东部 C．东经，北纬 D．紧临辛集市【答案】C【分析】根据确定一个位置需要两个条件，二者缺一不可逐项判定即可．【详解】解：A、河北省中南部，无法确定位置，不符合题意；B、石家庄东部，无法确定位置，不符合题意；C、东经115°3′，北纬38°2′，可以确定位置，符合题意；D、紧临辛集市，无法确定位置，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查坐标位置的确定，明确题意，确定一个位置需要两个条件，二者缺一不可是解答此题的关键．2．（2022·吉林延边·七年级期末）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点坐标分别为（4，3），（-2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（        ）A．（2，3） B．（1，3） C．（1，2） D．（2，3）【答案】B【分析】据棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（-2，1），进而得出原点在帅的位置，进而得出答案．【详解】解：如图所示：以帅的位置为原点建立平面直角坐标系，则棋子“炮”的点的坐标为（1，3）．故选：B．【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，根据“馬”和“車”的点的坐标正确确定原点的位置是解题关键．3．（2022·贵州六盘水·模拟预测）两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”时，表示的动物是（       ）A．狐狸 B．猫 C．蜜蜂 D．牛【答案】B【分析】根据题意“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，表示对应的字母为“”，则“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”表示，对应表格中的“”，即可求解．【详解】解：∵“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，表示对应的字母为“”，则“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”表示，对应表格中的“”， 表示的动物是“猫”．故选B．【点睛】本题考查了有序数对表示位置，理解题意是解题的关键．4．（2022·山东临沂·七年级期末）将某图形的各点的纵坐标减去2，横坐标加上1，可将该图形（       ）A．横向向左平移2个单位，纵向向上平移2个单位B．横向向左平移1个单位，纵向向下平移2个单位C．横向向右平移1个单位，纵向向上平移2个单位D．横向向右平移1个单位，纵向向下平移2个单位【答案】D【分析】利用平移变换的性质判断即可．【详解】解：将某图形的各点的纵坐标减去2，横坐标加上1，可将该图形横向向右平移1个单位，纵向向下平移2个单位，故选：D．【点睛】本题考查平移变换的性质，解题的关键是理解平移变换的性质．5．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校七年级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(　　)A．(－2，3) B．(－3，2) C．(－3，3) D．(－2，4)【答案】A【分析】先根据A在第二象限内判断出点A横纵坐标的符号，再根据点到坐标轴距离的意义即可求出点A的坐标．【详解】解：∵点A在第二象限内，∴点A的横坐标小于0，纵坐标大于0；又∵A到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，∴点A的纵坐标是3，横坐标是－2，故点A的坐标为(－2，3)．故选A．【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的位置的确定，解题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号，以及明确点到坐标轴距离的含义．6．（2022·山东临沂·七年级期末）已知点A在第二象限，到x轴的距离是6，到y轴的距离是5，点A的坐标为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据第二象限坐标正负性可得，横坐标为负，纵坐标为正．【详解】已知点A在第二象限，根据坐标性质可知，x=−5，y=6，点A的坐标为(−5，6)．【点睛】此题考查了象限坐标的性质，解题的关键是根据象限坐标的正负性确定点的坐标．7．（2022·河南·上蔡县第六初级中学八年级阶段练习）已知点M的坐标为，则下列说法正确的是（　　　）A．点M在第二象限内 B．点M到x轴的距离为3C．点M关于y轴对称的点的坐标为 D．点M到原点的距离为5【答案】D【分析】根据点所在象限的坐标特征、点到坐标轴的距离、关于y轴对称的点的坐标特征以及勾股定理求解即可．【详解】解：∵点M的坐标为，∴点M在第四象限，故A选项错误，不符合题意；点M到x轴的距离是=4，故B选项错误，不符合题意；点M关于y轴对称的点的坐标为，故C选项错误，不符合题意；点M到原点的距离为=5，故D选项正确，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查点所在的象限、点到坐标轴的距离、坐标与图形变化——轴对称、两点之间距离坐标公式，熟练掌握相关知识是解答的关键．8．（2022·河南·郑州市第十九初级中学八年级期末）下列说法正确的是（　　）A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是2 B．若点A（a﹣1，0）在x轴上，则a＝0C．点A（﹣1，2）关于x轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2） D．点C（﹣3，2）在第一象限内【答案】C【分析】分别根据坐标系中点的坐标到坐标轴的距离；在x轴上的点的纵坐标为零；关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；各个象限上的点的坐标符号逐一判断即可．【详解】解：A．已知点M（2，-5），则点M到x轴的距离是|-5|=5，故本选项不合题意；B．若点A（a-1，0）在x轴上，则a可以是全体实数，故本选项不合题意；C．点A（-1，2）关于x轴对称的点坐标为（-1，-2），故本选项符合题意；D．C（-3，2）在第二象限内，故本选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标以及点的坐标，掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解答本题的关键．9．（2022·广西南宁·七年级期末）下列点的坐标中，位于第三象限的是（       ）A．（6，﹣4） B．（5，2） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣3，4）【答案】C【分析】根据平面直角坐标系中，第三象限内的点的横、纵坐标均小于0即可得．【详解】解：在平面直角坐标系中，第三象限内的点的横、纵坐标均小于0，观察四个选项可知，只有选项C符合，故选：C．【点睛】本题考查了点所在的象限，熟练掌握平面直角坐标系中，第三象限内的点的横、纵坐标均小于0是解题关键．10．（2022·陕西安康·七年级期末）将点向右平移3个单位后，落在轴上，则的值为______．【答案】－1【分析】点坐标向右平移3个单位，就是横坐标加上3，落在y轴上，就是横坐标为0，据此求出x的值即可．【详解】解：点向右平移3个单位得，∵平移后的点落在y轴上，∴，解得．故答案是：－1．【点睛】本题考查点坐标的平移，y轴上点的坐标特征，解题的关键是掌握点坐标平移的方法．11．（2022·甘肃·兰州市第九十二中学七年级阶段练习）当a=______时，点P（3a+1，a+4）在x轴上．【答案】-4【分析】利用点P在x轴上,列方程求解即可【详解】∵ P（3a+1，a+4）在x轴上 ∴ a+4=0解得：a=-4答案为：-4【点睛】本题考查点的位置关系，理解点与坐标的对应关系是解题关键．12．（2022·新疆·和静县第三中学七年级期中）在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：(1)已知A（2，0），B（-1，-4），C（3，-3）三点，分别在坐标系中找出它们，并连接得到△ABC；(2)将△ABC向上平移4个单位，得到△；(3)求四边形的面积．【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12【分析】（1）先确定三个点的位置，再依次连接起来即可．（2）根据平移规律，画图即可．（3）合理分割图形计算面积即可．（1）因为A（2，0），B（-1，-4），C（3，-3），画图如下：（2）因为A（2，0），B（-1，-4），C（3，-3），根据向上平移4个单位，横坐标不变，纵坐标分别加上4，得（2，4），（-1，0），（3，1），画图如下：．（3）根据题意，得，，∴=12．．【点睛】本题考查了坐标系中确定点的位置，平移的规律，坐标系中图形的面积计算，熟练掌握平移的规律，利用割补法求图形的面积是解题的关键．13．（2022·河北石家庄·八年级期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的小正方形，的顶点都在格点上，点A的坐标为（1，4）．(1)请在网格内画出与关于轴成轴对称的；(2)请分别写出三个顶点的坐标．【答案】(1)见解析 (2)，，【分析】（1）根据轴对称的性质作出与关于轴成轴对称的即可；（2）结合点A的坐标，确定点B、C的坐标，然后根据平面直角坐标系中两点关于y轴对称的性质“横坐标互为相反数，纵坐标相等”确定、、三点坐标即可．（1）解：如图，（2）∵点A的坐标为，∴，，∴，，．【点睛】本题主要考查了画轴对称图形以及坐标与图形变化-轴对称等知识，熟练掌握平面直角坐标系中两点关于坐标轴对称的性质是解题的关键．题组B 能力提升练1．（2022·山东滨州·七年级期末）已知点，若直线轴，点P在x轴的负半轴上，则点在（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据直线ABx轴可得点A、B的纵坐标相等可求出a的值，根据点P在x轴的负半轴上，得到b