2022-2023学年浙江省温州市洞头区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省温州市洞头区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在下列方程中，属于一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  四名射击运动员甲、乙、丙、丁在一次连续次的射击训练中的成绩如表：

则射击成绩发挥最稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

4.  如图，在▱中，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  用反证法证明命题：“在中，、对边是、，若，则，”的第一步应假设(    )

A.  B.  C.  D.

7.  关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在一次数学测验中，甲、乙、丙、丁四位同学的成绩分别是、、、，若这四位同学成绩的众数与平均数恰好相等，则他们成绩的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在▱中，的平分线交于点，交的延长线于点，的平分线交于点，交的延长线于点，与交于点，连接，下列结论错误的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，已知、分别为的边、的中点，为的中线，连结，若四边形的面积为，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  当时，二次根式的值是______ ．

12.  方程的根是______ ．

13.  若点与点关于坐标原点成中心对称，则点的坐标是______ ．

14.  若一个多边形内角和为，则这个多边形是______边形．

15.  某校食堂有元、元、元三种价格的饭菜供学生们选择每人限购份三月份购买这三种价格饭菜的学生比例分别为，，，则该校三月份学生每餐购买饭菜的平均费用是______ 元
 

16.  某经济开发区，今年一月份工业产值达亿元，二月、三月产值和为亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为______ ．

17.  如图，▱中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在上的点，若的周长为，的周长为，则的长为______ ．

18.  如图，中，，，四边形、四边形和四边形都是正方形，过点作的平行线交于点，连结，，则四边形的面积是______ ；若四边形的面积是四边形的面积的倍，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：；
解方程：．

20.  本小题分
如图，由边长为个单位的小正方形组成了的网格，按下列要求作出格点四边形顶点都在格点上．
在图中画出以，为顶点的平行四边形，使点在图形内部不包括边界上；
在图中画出以，为顶点的平行四边形，使该图形的一边所在直线与垂直．

21.  本小题分
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各片，通过测量得到这些树叶的长
单位：，宽单位：的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：

【实践探究】分析数据如下：

【问题解决】
______ ， ______ ，求荔枝树叶的长宽比的平均数．
同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大”
同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍”以上两位同学的说法中，合理的是______ 同学；
现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．

22.  本小题分
如图，在▱中，，是直线上的两点，．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，且，求的长．

23.  本小题分
有一块长为米，宽为米的长方形场地，计划在该场地上修建宽均为米的两条互相垂直的道路，余下的四块长方形场地建成草坪．
已知，，且四块草坪的面积和为平方米，则每条道路的宽为多少米？
若：：，，且四块草坪的面积和为平方米，则原来矩形场地的长和宽各为多少米？
已知，，现要在场地上修建若干条宽均为米的纵横小路，假设有条水平方向的小路，条竖直方向的小路其中，，为常数，使草坪地的总面积为平方米，则 ______ 直接写出答案．

24.  本小题分
如图，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为动点从出发，沿射线方向以每秒个单位的速度运动，点从出发以每秒个单位的速度向点运动，它们同时出发，当点到达点时点也停止运动设运动时间为秒．
写出点的坐标为______ ；
求当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形；
在点，运动过程中，连结，
当为何值时，使垂直于▱的某一边．
若点关于的对称点恰好落在轴上，则点的坐标为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、由原方程，得，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
B、由原方程，得，未知数的最高次数是；故本选项不符合题意；
C、该方程是分式方程，故本选项不符合题意；
D、未知数的最高次数是，含两个未知数；故本选项错不符合题意；
故选：．
本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：丙的方差最小，
射击成绩发挥最稳定的是丙．
故选：．
根据方差的意义，选择方差较小的即可．
此题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
故选：．
由在平行四边形中，，即可求得与的度数，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角相等，邻角互补是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，即，
故选：．
在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方即可．
本题考查了配方法，解题的关键是注意：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
 

6.【答案】 

【解析】解：反证法证明命题：“在中，、对边是、，若，则”，
第一步应假设，
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

7.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得，
故选：．
根据根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：时，众数是，平均数，则此情况不成立，
时，众数是和，而平均数是一个数，则此情况不成立，
且时，众数是，根据题意得：
，
解得，
则中位数是．
故选：．
因为的值不确定，所以众数也不能直接确定，需分类讨论：；；且，再分别进行解答即可．
此题考查了考查众数、平均数与中位数，注意分三种情况进行讨论，中位数的确定方法：将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质一一判断即可．
本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，同理可证，
，
，
，故C正确，
，，
，故A正确，
，
，
，
，
，同理可证，
，
，故B正确，
无法证明，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：连接，
设，
、分别为的边、的中点，为的中线，
，
，
，
，
四边形的面积，
，
的面积，
故选：．
连接，设，根据等底同高的三角形的面积相等即可得到结论．
本题考查了三角形的面积，熟练掌握等底同高的三角形的面积相等是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：把代入二次根式，得
．
故答案为：．
直接将代入二次根式解答即可．
此题主要考查了二次根式的定义，直接将代入求出，利用二次根式的性质直接开平方是解决问题的关键．
 

12.【答案】， 

【解析】解：，
，
或，
所以，．
故答案为：，．
利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

13.【答案】 

【解析】解：点与点关于坐标原点成中心对称，则点的坐标是
故答案为：．
根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

14.【答案】七 

【解析】解：设这个多边形是边形，根据题意得，
，
解得．
故答案为：七．
根据多边形的外角和公式，列式求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：元，
故答案为：．
本题实际考查的是加权平均数的问题，通过元价格饭菜的权重是，元价格饭菜的权重是，元价格饭菜的权重是，通过求加权平均数的公式可得，来求出结果．
本题考查了加权平均数的求法，通过求加权平均数解决实际问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：某经济开发区，今年一月份工业产值达亿元，且平均每月的增长率为，
该经济开发区，今年二月份工业产值为亿元，三月份工业产值为亿元．
根据题意得：．
故答案为：．
由该经济开发区今年一月份的工业产值及平均每月的增长率，可得出该经济开发区今年二月份及三月份的工业产值，结合二月、三月产值和为亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：由折叠的性质可得，，
▱的周长的周长的周长，
四边形为平行四边形，
，
的周长，
即，
，
故答案为：．
根据折叠的性质可得，，从而▱的周长可转化为：的周长的周长，求出，再由的周长为，求出的长，即可解决问题．
本题主要考查了翻折变换的性质，平行四边形的性质等几何知识点；根据折叠的性质将平行四边形的周长与的周长进行转化是解决问题的关键．
 

18.【答案】  

【解析】解：四边形为正方形，
，，
又，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，，
四边形为正方形，
，，，
，
、、在同一条直线上，
，
又，
四边形为平行四边形，
．
又，，
四边形为平行四边形，
，，
，
过点作于点，

设，，
，
即：，
，
四边形为正方形，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形的面积是四边形的面积的倍，
，
在中，由勾股定理得：，
解方程组，解得：舍去负值，
．
故答案为：，．
首先证明四边形为平行四边形，然后利用平行四边形的面积公式即可得出答案；过点作于点，设，，利用平行四边形的面积公式可求出，先证四边形是平行四边形，再根据平行四边形的面积及已知条件可得出：，根据勾股定理可得出，最后将其联立成方程组即可求出的值．
本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，平行四边形的面积公式，三角形全等的判定和性质等知识点，解答此题的关键是熟练掌握正方形的性质，平行四边形判定和性质．
 

19.【答案】解：原式
；
，
，
或，
所以，． 

【解析】先根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可；
利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了二次根式的混合运算．
 

20.【答案】解：如图，四边形即为所求答案不唯一．
如图，四边形即为所求答案不唯一．
 

【解析】根据平行四边形的定义以及题目要求作出图形即可．
根据平行四边形的定义以及题目要求作出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定，属于中考常考题型．
 

21.【答案】     

【解析】解：把片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为、，故；
片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是，故；
故答案为：；；
，
芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理；
荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是，
同学说法合理．
故答案为：；
一片长，宽的树叶，长宽比接近，
这片树叶更可能来自荔枝．
根据中位数和众数的定义解答即可；
根据题目给出的数据判断即可；
根据树叶的长宽比判断即可．
本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
．
．
在和中，
，
≌．
，．
，
四边形是平行四边形；
解：，，，
，
连接交于，
，
四边形是平行四边形，
，
，
设，
，
，
，
，
，
负值舍去，
的长为． 

【解析】根据平行四边形的性质，得，根据平行线的性质，得，则根据可以证明≌，，，从而证明，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形；
根据勾股定理得到，连接交于，求得，根据平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到≌．
 

23.【答案】 

【解析】解：四块矩形场地可合成长为米，宽为米的长方形．
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每条道路的宽为米．
：：，
，
又道路的宽度米，
四块矩形场地可合成长为米，宽为米的长方形．
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去，
．
答：原来矩形场地的长为米，宽为米．
理由如下：
草坪可合成相邻两边分别为米、米的长方形，
依题意得：，
即．
，
当时，则，
解得：，；
；
当时，则时，
解得：，不合题意，舍去；
当时，则，
解得：，不合题意，舍去；
当时，则，
解得：，不合题意，舍去．
综上所述：
故答案为：．
根据题意可得出：四块矩形场地可合成长为米，宽为米的长方形，然后根据长方形的面积列出一元二次方程，最后解这个一元二次方程即可得出答案；
先由：：可得出，再根据题意得出：四块矩形场地可合成长为米，宽为米的长方形，然后根据四块草坪的面积和为平方米，即可得出关于的一元二次方程，最后解这个关于的一元二次方程即可得出答案；
根据草坪地的总面积为平方米，得出，然后根据进行分类讨论即可得出、的值．
本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及因数倍数，解答的关键是：理解四块矩形场地可合成长为米，宽为米的矩形，进而根据长方形的面积公式列出一元二次方程；解答的关键是根据题意找出，之间的关系，难点是理解四块矩形场地可合成长为米，宽为米的长方形；进而根据长方形的面积公式列出一元二次方程；解答的关键是将分解为或，难点是根基题意进行分类讨论．
 

24.【答案】   

【解析】解：延长交轴于点，如图，

四边形为平行四边形，
，且，
，，
，，，
，
点坐标为，
故答案为：；
当点在线段上时，如图，

，

由题意可知，，
又，
，
当四边形为平行四边形时，则有，即，
解得；
当点在线段的延长线上时，如图，

同上可知，，，
，
四边形为平行四边形，
，即，
解得，即与点重合时，
综上可知当为或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
当时，，的纵坐标相同，
，
．
当时，则有，
，
综上所述，满足条件的的值为或；

当点关于的对称点恰好落在轴上，四边形是菱形，
，
，
解得，负根已经舍去，
此时
故答案为：
延长交轴于点，则可求得，结合平行四边形的性质可求得，可求得，且，可求得点坐标；
分两种情况，当点在线段上时，此时有，且，可求得的值；当点在的延长线上时，此时由，可求得的值．
分两种情形，当时，当时，分别构建方程求解；
根据，构建方程求解．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会与分类讨论的射线思考问题，学会构建方程解决问题．