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初中数学苏科版七年级下册12.1 定义与命题课后复习题
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这是一份初中数学苏科版七年级下册12.1 定义与命题课后复习题，文件包含苏科版七年级数学下册同步精品讲义121定义与命题教师版docx、苏科版七年级数学下册同步精品讲义121定义与命题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点 定义与命题
1. 定义的概念：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义。
例如：
“在同一平面内，不相交的两条直线”是“平行线”的定义.
“数轴上表示一个数的点与原点的距离”是“一个数的绝对值”的定义.
“能使方程两边的值相等的未知数的值”是“方程的解”的定义.
2.命题的概念
判断一件事情的句子叫做命题.
例如，下面的句子都是命题：
如果O是线段AB的中点，那么 AO=BO.
等角的余角相等.
无论x是什么数，代数式 x−12的值不是负数.
三角形中最大的内角是直角.
3.真命题与假命题的概念
如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题.
还有一些命题，条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立.像这样的命题叫做假命题。
【即学即练1】把下列命题写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假．
(1)等角的补角相等；
(2)同旁内角互补．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）等角的补角相等的题设为两个角相等，结论为这两个角的补角相等，它为真命题；
（2）同旁内角互补的题设为两个角是同旁内角，结论为这两个角互补，它为假命题
【解析】(1)解：等角的补角相等改写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等，此命题为真命题；
(2)解：同旁内角互补改写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补．因为两直线平行，同旁内角互补，所以此命题为假命题；
【即学即练2】如图，在四边形ABCD中，①AB∥CD，②∠A=∠C，③AD∥BC．
(1)请你以其中两个为条件，第三个为结论，写出一个命题；
(2)判断这个命题是否为真命题，并说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）根据命题的概念、给出的条件写出命题；
（2）根据平行线的性质定理和判定定理证明结论．
【解析】(1)解：如果AB∥CD，∠A＝∠C，那么AD∥BC；
(2)这个命题是真命题，
证明：∵AB∥CD，
∴∠B＋∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＋∠A＝180°，
∴AD∥BC．
能力拓展
考法01 判断是否是命题
【典例1】把下列命题改写成“如果…，那么…”的形式．
(1)等角的补角相等；
(2)直角都相等；
(3)不相等的角不是对顶角；
(4)一个锐角的补角大于这个锐角的余角；
(5)等角对等边；
(6)异号两数相加和为零．
【答案】(1)见解析；(2) 见解析；(3) 见解析；(4) 见解析；(5) 见解析；(6) 见解析.
【分析】分清每个命题的题设与结论，然后把题设写在如果后面，把结论写在那么后面即可．
【解析】(1)如果两个角为相等角的补角，那么这两个角相等；
(2)如果一些角都是直角，那么这些角都相等；
(3)如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角；
(4)如果两个角分别为一个锐角的补角和余角，那么补角大于余角；
(5)在三角形中，如果两条边所对的角相等，那么这两条边相等；
(6)如果两个数的符号相反，那么这两个数的和为0.
考法02 判断命题真假
【典例2】如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．
（1）这三个命题中，真命题的个数为 ；
（2）选择一个真命题，并且证明，（要求写出每一步的依据）
【答案】（1）3；（2）见解析
【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出题设和结论的正确性；
（2）根据同位角相等，两直线平行得出DBEC，DFAC，然后根据平行线的性质得出结论．
【解析】解：（1）由①②，得③；由①③，得②；由②③，得①；均正确，
故答案为：3；
（2）如图所示：
∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（已知），
∴∠3＝∠2（等量代换），
∴DBEC（同位角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等），
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠4＝∠C（等量代换），
∴DFAC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等D．相等的角是对顶角
【答案】B
【分析】根据绝对值的意义以及平行线的性质，对顶角的定义分析选项即可．
【解析】解：A. ∵如果，或，
∴选项说法错误，故不符合题意；
B. 如果x＝y，那么|x|＝|y|，选项说法正确，故符合题意；
C. ∵只有当被截的两条直线平行时，所得的同位角才相等，
∴选项说法错误，故不符合题意；
D. ∵对顶角相等，但相等的不一定是对顶角，
∴选项说法错误，故不符合题意；
故选：B．
2．下列句子中，属于命题的是（ ）
A．对顶角相等B．延长线段到C
C．过点O作直线D．锐角都相等吗
【答案】A
【分析】根据命题的概念判断即可．
【解析】解：A、对顶角相等，是命题；
B、延长线段AB到C，没有作出判断，不是命题；
C、过点O作直线ab，没有作出判断，不是命题；
D、锐角都相等吗，没有作出判断，不是命题；
故选：A．
3．下列命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等；B．若a=b，则a－1=b－1．
C．所有的直角都是相等的；D．相等的角是对顶角；
【答案】D
【分析】根据平行线的性质、等式的性质、角的概念以及对顶角的定义逐一进行判断即可．
【解析】A．两直线平行，同位角相等，真命题，不符合题意；
B．若a=b，则a﹣1=b﹣1，真命题，不符合题意；
C．直角都是90度，故所有的直角都是相等的，真命题，不符合题意；
D．相等的角的边不一定互为反向延长线，所以不一定是对顶角，故相等的角是对顶角是假命题，符合题意．
故选：D．
4．下列命题中，真命题的个数是（）
①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
③两直线平行，内错角相等；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据平行公理即可判断①；根据平行线的性质即可判断②③，根据平面内两直线的位置关系即可判断④⑤．
【解析】解：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是真命题，符合题意；
②两条平行的直线被第三条直线所截，同旁内角互补，是假命题，不符合题意；
③两直线平行，内错角相等，是真命题，符合题意；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，符合题意；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题，不符合题意；
故选：C．
5．下列命题为真命题的有（ ）
①内错角相等；②无理数都是无限小数：③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据平行线的性质即可判断①，根据无理数的定义即可判断②，根据点与直线的关系即可判断③④．
【解析】解：①两直线平行，内错角相等，是假命题；
②无理数都是无限小数，是真命题；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题；
故选C．
6．下列命题中是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【答案】D
【分析】根据平行公理，点到直线的距离，垂线段的性质逐项分析判断即可
【解析】解：A.同一平面内， 过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项是假命题，不符合题意；
B.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项是假命题，不符合题意；
C. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故该选项是假命题，不符合题意；
D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故该选项是真命题，符合题意；
故选D
题组B 能力提升练
7．把“内错角相等”写成“如果…那么…”的形式为____________________．此命题是________命题
【答案】 如果两个角是内错角，那么这两个角相等 假
【分析】根据命题的结构改写，进而判断命题真假即可
【解析】解：把“内错角相等”写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等
这个命题是假命题，因为缺少两直线平行的先决条件．
故答案为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等，假．
8．命题“如果，那么”是______命题．（选填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】由绝对值的意义可知，即得出，从而可判断命题为假命题．
【解析】∵，
∴，
解得：，
∴命题“如果，那么”是假命题．
故答案为：假．
9．命题通常写成“如果……，那么……”的形式，这时，“如果”后接的部分是________，“那么”后接的部分是________．所谓真命题就是：如果题设成立，那么结论就________的命题，相反，所谓假命题就是：如果题设成立，不能保证结论________的命题．
【答案】 题设 结论 成立 一定成立
【分析】根据命题的概念解答即可．
【解析】命题通常写成“如果……，那么……”的形式，
“如果”后接的部分是题设；
“那么”后接的部分是结论；
所谓真命题就是：如果题设成立，那么结论就成立的命题；
所谓假命题就是：如果题设成立，不能保证结论一定成立的命题，
故答案为：题设，结论，成立，一定成立．
10．下列语句：①同旁内角相等；②如果，那么；③对顶角相等吗？④画线段；⑤两点确定一条直线．其中是命题的有______；是真命题的有______．（只填序号）
【答案】 ①②⑤ ②⑤
【分析】判断一件事情的语句叫命题，正确的命题叫真命题，根据定义依次分析解答．
【解析】解：①同旁内角相等是命题，是假命题；
②如果，那么是命题，是真命题；
③对顶角相等吗？不是命题；
④画线段不是命题；
⑤两点确定一条直线是命题，是真命题．
故答案为：①②⑤，②⑤．
11．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中假命题的是___．（填写序号）
【答案】③
【分析】根据两直线的位置关系一一判断即可．
【解析】解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，正确，是真命题；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c，正确，是真命题；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c，错误，应该是b∥c，故原命题是假命题；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，正确，是真命题．
假命题有③，
故答案为：③．
12．给出下列命题：①若a＞b，则a＋5＞b＋5；②若a＞b，则﹣5a＜﹣5b；③若a＞b，则ac2＞bc2；④若a＞b，则a2＞b2；⑤若a＞b，则5﹣a＜5﹣b．其中是真命题的序号为_______．（填写正确的序号即可）
【答案】①②⑤
【分析】根据不等式的性质：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘（或除以）同一个负数,不等号的方向改变，据此回答即可．
【解析】解答：解：①若a＞b，则a＋5＞b＋5；是真命题．
②若a＞b，则−5a＜−5b；是真命题．
③若a＞b，则ac2＞bc2；是假命题，c＝0时，不成立．
④若a＞b，则a2＞b2；是假命题，−1＞−3，但是（−1）2＜（−3）2．
⑤若a＞b，则5−a＜5−b．是真命题．
故答案为：①②⑤．
题组C 培优拔尖练
13．如图，有如下四个论断：①，②，③平分，④平分．
（1）若选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个数学命题，其中正确的有哪些？不需说明理由．
（2）请你在上述正确的数学命题中选择一个进行说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，即可得到结论；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．
【解析】解：（1）如果①②③，那么④，正确；
如果①②④，那么③，正确；
如果①③④，那么②，正确；
如果②③④，那么①，正确；
（2）已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，
求证：EF平分∠BED．
证明：∵AC∥DE，
∴∠BCA=∠BED，
即∠1+∠2=∠4+∠5，
∵DC∥EF，
∴∠2=∠5，
∵CD平分∠BCA，
∴∠1=∠2，
∴∠4=∠5，
∴EF平分∠BED．
14．图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．
（1）如图，EFCD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程．
小丽添加的条件：∠B+∠BDG＝180°．
请你帮小丽将下面的证明过程补充完整．
证明：∵EFCD（已知）
∴∠BEF＝ （ ）
∵∠B+∠BDG＝180°（已知）
∴BC （ ）
∴∠CDG＝ （ ）
∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）
（2）拓展：如图，请你从三个选项①DGBC，②DG平分∠ADC，③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
①条件： ，结论： （填序号）．
②证明： ．
【答案】（1）∠BCD；两直线平行，同位角相等；DG；同旁内角互补，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；（2）①DG∥BC，∠B＝∠BCD，DG平分∠ADC，②证明见解析
【分析】（1）根据平行线的判定定理和性质定理解答；
（2）根据真命题的概念写出命题的条件和结论，根据平行线的判定定理和性质定理、角平分线的定义解答．
【解析】（1）证明：∵EF∥CD（已知），
∴∠BEF＝∠BCD（两直线平行，同位角相等），
∵∠B+∠BDG＝180°（已知），
∴BC∥DG（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠CDG＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）；
（2）①条件：DG∥BC，∠B＝∠BCD，
结论：DG平分∠ADC，
②证明：∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠B，∠CDG＝∠BCD，
∵∠B＝∠BCD，
∴∠ADG＝∠CDG，即DG平分∠ADC．
故答案为：（1）∠BCD；两直线平行，同位角相等；DG；同旁内角互补，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；
15．真假命题的思考.
一天，老师在黑板上写下了下列三个命题：
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②若，则
③若和的两边所在直线分别平行，则.
小明和小丽对话如下，
小明：“命题①是真命题，好像可以证明.”
小丽：“命题①是假命题，好像少了一些条件.”
（1）结合小明和小丽的对话，谈谈你的观点.如果你认为是真命题，请证明：如果你认为是假命题，请增加一个适当的条件，使之成真命题.
（2）请在命题②、命题③中选一个，如果你认为它是真命题，请证明：如果你认为它是假命题，请举出反例.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【分析】是假命题，②是假命题，③是假命题；
【解析】解：（1）命题①为假命题，可增加“在同一平面内”这一条件，可使该命题成为真命题，
即：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行；
（2）命题②为假命题，举反例如下：当，时，，但.
命题③为假命题，举反例如下：
和的两边所在直线分别平行，如图，但.
16．【概念学习】定义：对于一个三位的自然数，各数位上的数字都不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数，则称这个自然数为“好数”．
例如：714是“好数”，因为它是一个三位的自然数，7，1，4都不为0，且，，2为整数；
643不是“好数”，因为，的商不是整数．
【初步探究】
（1）自然数312，675，981，802是“好数”的为______；
（2）在横线上填“真”或“假”：
①个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是______命题；
②各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是_____命题；
【深入思考】
求同时满足下列条件的“好数”：
（1）百位数字比十位数字大5；
（2）百位数字与十位数字之和等于个位数字．
【答案】【初步探究】（1）312，981；（2）①假，②真；
【深入思考】好数为617或729．
【分析】（1）由“好数”的定义可求解；（2）由“好数”的定义可判断．
【深入思考】设十位数字为x，个位数字为y，百位数字为x+5,由题意列出方程求解．
【解析】解：【初步探究】
（1）由题意可得：312是“好数”，因为它是一个三位的自然数，3，1，2都不为0，且3+1=4，4÷2=2，2为整数；
675不是“好数”，因为6+7=13，13÷5的商不是整数;
981是“好数”，因为它是一个三位的自然数，9，8，1都不为0，且9+8=17，17÷1=17，17为整数；
802不是“好数”，因为十位数字是0；
所以“好数”为312，981，
故答案为：312，981；
（2）①因为801不是“好数”，所以个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是假命题，
②各数位上的数字都相同的一个三位自然数，一定满足各数位上的数字不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数2. 所以各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是真命题；
故答案为：假，真；
【深入思考】
设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为x+5.
由题意可得：x+x+5=y，
∵1≤y≤9，1≤x≤9，
∴1≤2x+5≤9，
∴1≤x≤2，
∴x=1或2，
当x=1时，好数为617，
当x=2，好数为729，
综上所述：满足条件的好数为617或729．
课程标准
课标解读
1.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。
2.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。
1.能够掌握定义与命题的概念；
2.掌握真命题、假命题的概念并能够判断真假命题
目标导航
知识精讲
知识点 定义与命题
1. 定义的概念：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义。
例如：
“在同一平面内，不相交的两条直线”是“平行线”的定义.
“数轴上表示一个数的点与原点的距离”是“一个数的绝对值”的定义.
“能使方程两边的值相等的未知数的值”是“方程的解”的定义.
2.命题的概念
判断一件事情的句子叫做命题.
例如，下面的句子都是命题：
如果O是线段AB的中点，那么 AO=BO.
等角的余角相等.
无论x是什么数，代数式 x−12的值不是负数.
三角形中最大的内角是直角.
3.真命题与假命题的概念
如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题.
还有一些命题，条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立.像这样的命题叫做假命题。
【即学即练1】把下列命题写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假．
(1)等角的补角相等；
(2)同旁内角互补．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）等角的补角相等的题设为两个角相等，结论为这两个角的补角相等，它为真命题；
（2）同旁内角互补的题设为两个角是同旁内角，结论为这两个角互补，它为假命题
【解析】(1)解：等角的补角相等改写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等，此命题为真命题；
(2)解：同旁内角互补改写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补．因为两直线平行，同旁内角互补，所以此命题为假命题；
【即学即练2】如图，在四边形ABCD中，①AB∥CD，②∠A=∠C，③AD∥BC．
(1)请你以其中两个为条件，第三个为结论，写出一个命题；
(2)判断这个命题是否为真命题，并说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】（1）根据命题的概念、给出的条件写出命题；
（2）根据平行线的性质定理和判定定理证明结论．
【解析】(1)解：如果AB∥CD，∠A＝∠C，那么AD∥BC；
(2)这个命题是真命题，
证明：∵AB∥CD，
∴∠B＋∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＋∠A＝180°，
∴AD∥BC．
能力拓展
考法01 判断是否是命题
【典例1】把下列命题改写成“如果…，那么…”的形式．
(1)等角的补角相等；
(2)直角都相等；
(3)不相等的角不是对顶角；
(4)一个锐角的补角大于这个锐角的余角；
(5)等角对等边；
(6)异号两数相加和为零．
【答案】(1)见解析；(2) 见解析；(3) 见解析；(4) 见解析；(5) 见解析；(6) 见解析.
【分析】分清每个命题的题设与结论，然后把题设写在如果后面，把结论写在那么后面即可．
【解析】(1)如果两个角为相等角的补角，那么这两个角相等；
(2)如果一些角都是直角，那么这些角都相等；
(3)如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角；
(4)如果两个角分别为一个锐角的补角和余角，那么补角大于余角；
(5)在三角形中，如果两条边所对的角相等，那么这两条边相等；
(6)如果两个数的符号相反，那么这两个数的和为0.
考法02 判断命题真假
【典例2】如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．
（1）这三个命题中，真命题的个数为 ；
（2）选择一个真命题，并且证明，（要求写出每一步的依据）
【答案】（1）3；（2）见解析
【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出题设和结论的正确性；
（2）根据同位角相等，两直线平行得出DBEC，DFAC，然后根据平行线的性质得出结论．
【解析】解：（1）由①②，得③；由①③，得②；由②③，得①；均正确，
故答案为：3；
（2）如图所示：
∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（已知），
∴∠3＝∠2（等量代换），
∴DBEC（同位角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等），
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠4＝∠C（等量代换），
∴DFAC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等D．相等的角是对顶角
【答案】B
【分析】根据绝对值的意义以及平行线的性质，对顶角的定义分析选项即可．
【解析】解：A. ∵如果，或，
∴选项说法错误，故不符合题意；
B. 如果x＝y，那么|x|＝|y|，选项说法正确，故符合题意；
C. ∵只有当被截的两条直线平行时，所得的同位角才相等，
∴选项说法错误，故不符合题意；
D. ∵对顶角相等，但相等的不一定是对顶角，
∴选项说法错误，故不符合题意；
故选：B．
2．下列句子中，属于命题的是（ ）
A．对顶角相等B．延长线段到C
C．过点O作直线D．锐角都相等吗
【答案】A
【分析】根据命题的概念判断即可．
【解析】解：A、对顶角相等，是命题；
B、延长线段AB到C，没有作出判断，不是命题；
C、过点O作直线ab，没有作出判断，不是命题；
D、锐角都相等吗，没有作出判断，不是命题；
故选：A．
3．下列命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等；B．若a=b，则a－1=b－1．
C．所有的直角都是相等的；D．相等的角是对顶角；
【答案】D
【分析】根据平行线的性质、等式的性质、角的概念以及对顶角的定义逐一进行判断即可．
【解析】A．两直线平行，同位角相等，真命题，不符合题意；
B．若a=b，则a﹣1=b﹣1，真命题，不符合题意；
C．直角都是90度，故所有的直角都是相等的，真命题，不符合题意；
D．相等的角的边不一定互为反向延长线，所以不一定是对顶角，故相等的角是对顶角是假命题，符合题意．
故选：D．
4．下列命题中，真命题的个数是（）
①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
③两直线平行，内错角相等；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据平行公理即可判断①；根据平行线的性质即可判断②③，根据平面内两直线的位置关系即可判断④⑤．
【解析】解：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是真命题，符合题意；
②两条平行的直线被第三条直线所截，同旁内角互补，是假命题，不符合题意；
③两直线平行，内错角相等，是真命题，符合题意；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，符合题意；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题，不符合题意；
故选：C．
5．下列命题为真命题的有（ ）
①内错角相等；②无理数都是无限小数：③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据平行线的性质即可判断①，根据无理数的定义即可判断②，根据点与直线的关系即可判断③④．
【解析】解：①两直线平行，内错角相等，是假命题；
②无理数都是无限小数，是真命题；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题；
故选C．
6．下列命题中是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【答案】D
【分析】根据平行公理，点到直线的距离，垂线段的性质逐项分析判断即可
【解析】解：A.同一平面内， 过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项是假命题，不符合题意；
B.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项是假命题，不符合题意；
C. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故该选项是假命题，不符合题意；
D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故该选项是真命题，符合题意；
故选D
题组B 能力提升练
7．把“内错角相等”写成“如果…那么…”的形式为____________________．此命题是________命题
【答案】 如果两个角是内错角，那么这两个角相等 假
【分析】根据命题的结构改写，进而判断命题真假即可
【解析】解：把“内错角相等”写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等
这个命题是假命题，因为缺少两直线平行的先决条件．
故答案为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等，假．
8．命题“如果，那么”是______命题．（选填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】由绝对值的意义可知，即得出，从而可判断命题为假命题．
【解析】∵，
∴，
解得：，
∴命题“如果，那么”是假命题．
故答案为：假．
9．命题通常写成“如果……，那么……”的形式，这时，“如果”后接的部分是________，“那么”后接的部分是________．所谓真命题就是：如果题设成立，那么结论就________的命题，相反，所谓假命题就是：如果题设成立，不能保证结论________的命题．
【答案】 题设 结论 成立 一定成立
【分析】根据命题的概念解答即可．
【解析】命题通常写成“如果……，那么……”的形式，
“如果”后接的部分是题设；
“那么”后接的部分是结论；
所谓真命题就是：如果题设成立，那么结论就成立的命题；
所谓假命题就是：如果题设成立，不能保证结论一定成立的命题，
故答案为：题设，结论，成立，一定成立．
10．下列语句：①同旁内角相等；②如果，那么；③对顶角相等吗？④画线段；⑤两点确定一条直线．其中是命题的有______；是真命题的有______．（只填序号）
【答案】 ①②⑤ ②⑤
【分析】判断一件事情的语句叫命题，正确的命题叫真命题，根据定义依次分析解答．
【解析】解：①同旁内角相等是命题，是假命题；
②如果，那么是命题，是真命题；
③对顶角相等吗？不是命题；
④画线段不是命题；
⑤两点确定一条直线是命题，是真命题．
故答案为：①②⑤，②⑤．
11．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中假命题的是___．（填写序号）
【答案】③
【分析】根据两直线的位置关系一一判断即可．
【解析】解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，正确，是真命题；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c，正确，是真命题；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c，错误，应该是b∥c，故原命题是假命题；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，正确，是真命题．
假命题有③，
故答案为：③．
12．给出下列命题：①若a＞b，则a＋5＞b＋5；②若a＞b，则﹣5a＜﹣5b；③若a＞b，则ac2＞bc2；④若a＞b，则a2＞b2；⑤若a＞b，则5﹣a＜5﹣b．其中是真命题的序号为_______．（填写正确的序号即可）
【答案】①②⑤
【分析】根据不等式的性质：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘（或除以）同一个负数,不等号的方向改变，据此回答即可．
【解析】解答：解：①若a＞b，则a＋5＞b＋5；是真命题．
②若a＞b，则−5a＜−5b；是真命题．
③若a＞b，则ac2＞bc2；是假命题，c＝0时，不成立．
④若a＞b，则a2＞b2；是假命题，−1＞−3，但是（−1）2＜（−3）2．
⑤若a＞b，则5−a＜5−b．是真命题．
故答案为：①②⑤．
题组C 培优拔尖练
13．如图，有如下四个论断：①，②，③平分，④平分．
（1）若选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个数学命题，其中正确的有哪些？不需说明理由．
（2）请你在上述正确的数学命题中选择一个进行说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，即可得到结论；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．
【解析】解：（1）如果①②③，那么④，正确；
如果①②④，那么③，正确；
如果①③④，那么②，正确；
如果②③④，那么①，正确；
（2）已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，
求证：EF平分∠BED．
证明：∵AC∥DE，
∴∠BCA=∠BED，
即∠1+∠2=∠4+∠5，
∵DC∥EF，
∴∠2=∠5，
∵CD平分∠BCA，
∴∠1=∠2，
∴∠4=∠5，
∴EF平分∠BED．
14．图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．
（1）如图，EFCD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程．
小丽添加的条件：∠B+∠BDG＝180°．
请你帮小丽将下面的证明过程补充完整．
证明：∵EFCD（已知）
∴∠BEF＝ （ ）
∵∠B+∠BDG＝180°（已知）
∴BC （ ）
∴∠CDG＝ （ ）
∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）
（2）拓展：如图，请你从三个选项①DGBC，②DG平分∠ADC，③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
①条件： ，结论： （填序号）．
②证明： ．
【答案】（1）∠BCD；两直线平行，同位角相等；DG；同旁内角互补，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；（2）①DG∥BC，∠B＝∠BCD，DG平分∠ADC，②证明见解析
【分析】（1）根据平行线的判定定理和性质定理解答；
（2）根据真命题的概念写出命题的条件和结论，根据平行线的判定定理和性质定理、角平分线的定义解答．
【解析】（1）证明：∵EF∥CD（已知），
∴∠BEF＝∠BCD（两直线平行，同位角相等），
∵∠B+∠BDG＝180°（已知），
∴BC∥DG（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠CDG＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）；
（2）①条件：DG∥BC，∠B＝∠BCD，
结论：DG平分∠ADC，
②证明：∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠B，∠CDG＝∠BCD，
∵∠B＝∠BCD，
∴∠ADG＝∠CDG，即DG平分∠ADC．
故答案为：（1）∠BCD；两直线平行，同位角相等；DG；同旁内角互补，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；
15．真假命题的思考.
一天，老师在黑板上写下了下列三个命题：
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②若，则
③若和的两边所在直线分别平行，则.
小明和小丽对话如下，
小明：“命题①是真命题，好像可以证明.”
小丽：“命题①是假命题，好像少了一些条件.”
（1）结合小明和小丽的对话，谈谈你的观点.如果你认为是真命题，请证明：如果你认为是假命题，请增加一个适当的条件，使之成真命题.
（2）请在命题②、命题③中选一个，如果你认为它是真命题，请证明：如果你认为它是假命题，请举出反例.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【分析】是假命题，②是假命题，③是假命题；
【解析】解：（1）命题①为假命题，可增加“在同一平面内”这一条件，可使该命题成为真命题，
即：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行；
（2）命题②为假命题，举反例如下：当，时，，但.
命题③为假命题，举反例如下：
和的两边所在直线分别平行，如图，但.
16．【概念学习】定义：对于一个三位的自然数，各数位上的数字都不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数，则称这个自然数为“好数”．
例如：714是“好数”，因为它是一个三位的自然数，7，1，4都不为0，且，，2为整数；
643不是“好数”，因为，的商不是整数．
【初步探究】
（1）自然数312，675，981，802是“好数”的为______；
（2）在横线上填“真”或“假”：
①个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是______命题；
②各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是_____命题；
【深入思考】
求同时满足下列条件的“好数”：
（1）百位数字比十位数字大5；
（2）百位数字与十位数字之和等于个位数字．
【答案】【初步探究】（1）312，981；（2）①假，②真；
【深入思考】好数为617或729．
【分析】（1）由“好数”的定义可求解；（2）由“好数”的定义可判断．
【深入思考】设十位数字为x，个位数字为y，百位数字为x+5,由题意列出方程求解．
【解析】解：【初步探究】
（1）由题意可得：312是“好数”，因为它是一个三位的自然数，3，1，2都不为0，且3+1=4，4÷2=2，2为整数；
675不是“好数”，因为6+7=13，13÷5的商不是整数;
981是“好数”，因为它是一个三位的自然数，9，8，1都不为0，且9+8=17，17÷1=17，17为整数；
802不是“好数”，因为十位数字是0；
所以“好数”为312，981，
故答案为：312，981；
（2）①因为801不是“好数”，所以个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是假命题，
②各数位上的数字都相同的一个三位自然数，一定满足各数位上的数字不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数2. 所以各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是真命题；
故答案为：假，真；
【深入思考】
设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为x+5.
由题意可得：x+x+5=y，
∵1≤y≤9，1≤x≤9，
∴1≤2x+5≤9，
∴1≤x≤2，
∴x=1或2，
当x=1时，好数为617，
当x=2，好数为729，
综上所述：满足条件的好数为617或729．
课程标准
课标解读
1.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。
2.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。
1.能够掌握定义与命题的概念；
2.掌握真命题、假命题的概念并能够判断真假命题
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