2023-2024学年安徽省中学九年级数学第一学期期末考试试题含解析

这是一份2023-2024学年安徽省中学九年级数学第一学期期末考试试题含解析，共16页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，若不等式组无解，则的取值范围为，一元二次方程的解是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．同学们喜欢足球吗？足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成的，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．若一个球上共有黑白皮块32块，请你计算一下，黑色皮块和白色皮块的块数依次为（ ）
A．16块，16块B．8块，24块
C．20块，12块D．12块，20块
2．将抛物线y=2x2经过怎样的平移可得到抛物线y=2(x+3)2+4（ ）
A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位
C．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位D．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位
3．若是方程的一个根.则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F.P是⊙A上一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是( )
A．4－B．4－C．8－D．8－
5．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝30°，则∠BOD的度数是（ ）
A．75°B．70°C．65°D．60°
6．用配方法解方程x2+2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣1）2=6B．（x+1）2=6C．（x+2）2=9D．（x﹣2）2=9
7．若不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．一元二次方程的解是（ ）
A．5或0B． 或0C．D．0
9．抛物线y=x2+2x-2最低点坐标是（ ）
A．（2，-2）B．（1，-2）C．（1，-3）D．（-1，-3）
10．我校小伟同学酷爱健身，一天去爬山锻炼，在出发点C处测得山顶部A的仰角为30度，在爬山过程中，每一段平路（CD、EF、GH）与水平线平行，每一段上坡路（DE、FG、HA）与水平线的夹角都是45度，在山的另一边有一点B（B、C、D同一水平线上），斜坡AB的坡度为2：1，且AB长为900，其中小伟走平路的速度为65.7米/分，走上坡路的速度为42.3米/分．则小伟从C出发到坡顶A的时间为（ ）（图中所有点在同一平面内≈1.41，≈1.73）
A．60分钟B．70分钟C．80分钟D．90分钟
11．下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
12．已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ）
A．第二、三象限B．第一、三象限C．第三、四象限D．第二、四象限
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，已知函数y=ax2+bx+c（a1）的图象的对称轴经过点（2，1），且与x轴的一个交点坐标为（4，1）．下列结论：①b2﹣4ac1； ②当x2时，y随x增大而增大； ③a﹣b+c1；④抛物线过原点；⑤当1x4时，y1．其中结论正确的是_____．（填序号）
14．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2020＝0有一根为x＝﹣1，则a+b＝_____．
15．如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是_____．
16．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正切值为_____．
17．如图，直线，若，则的值为_________
18．如图，已知的面积为48，将沿平移到，使和重合，连结交于，则的面积为__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°， 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？
20．（8分）总书记指出，到2020年全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标．为贯彻的指示，实现精准脱贫，某区相关部门指导对口帮扶地区的村民，加工包装当地特色农产品进行销售，以增加村民收入．已知该特色农产品每件成本10元，日销售量(袋)与每袋的售价(元)之间关系如下表：
如果日销售量y (袋)是每袋的售价x(元)的一次函数，请回答下列问题：
（1）求日销售量y(袋)与每袋的售价x(元)之间的函数表达式；
（2）求日销售利润(元)与每袋的售价(元)之间的函数表达式；
（3）当每袋特色农产品以多少元出售时，才能使每日所获得的利润最大？最大利润是多少元？
(提示：每袋的利润=每袋的售价每袋的成本)
21．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）
22．（10分）如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于C，交弦AB于D．求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．
23．（10分）综合与探究
如图，抛物线经过点、、，已知点，，且，点为抛物线上一点（异于）．
（1）求抛物线和直线的表达式．
（2）若点是直线上方抛物线上的点，过点作，与交于点，垂足为．当时，求点的坐标．
（3）若点为轴上一动点，是否存在点，使得由，，，四点组成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（10分）如图，直线AC与⊙O相切于点A，点B为⊙O上一点，且OC⊥OB于点O，连接AB交OC于点D．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若AC＝3，OB＝4，求OD的长度．
25．（12分）如图,在△ABC中，点D在BC上，CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：EF=BD
26．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为，，且，求m的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】试题分析：根据题意可知：本题中的等量关系是“黑白皮块32块”和因为每块白皮有3条边与黑边连在一起，所以黑皮只有3y块，而黑皮共有边数为5x块，依此列方程组求解即可．
解：设黑色皮块和白色皮块的块数依次为x，y．
则，
解得，
即黑色皮块和白色皮块的块数依次为12块、20块．
故选D．
2、A
【分析】抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线的顶点为（0，0），平移后的抛物线顶点为（-3，1），由顶点的平移规律确定抛物线的平移规律．
【详解】抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标为（-3，1），
点（0，0）需要先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到点（-3，1）．
∴抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=2（x+3）2+1．
故选A．
在寻找图形的平移规律时，往往需要把图形的平移规律理解为某个特殊点的平移规律．
3、C
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案.
【详解】解：由题意可知：
∴
故答案为：C.
本题考查的知识点是根据一元二次方程的解求代数式的值，解题的关键是将已给代数式进行变形，使之与所给条件有关系，即可得解.
4、B
【解析】试题解析：连接AD，
∵BC是切线，点D是切点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF=2∠EPF=80°，
∴S扇形AEF=，
S△ABC=AD•BC=×2×4=4，
∴S阴影部分=S△ABC-S扇形AEF=4-π．
5、D
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．
【详解】∵∠BCD＝30°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝2×30°＝60°．
故选：D．
本题考查了圆的角度问题，掌握圆周角定理是解题的关键．
6、B
【解析】x2+2x﹣5=0，
x2+2x=5，
x2+2x+1=5+1，
（x+1）2=6，
故选B.
7、A
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m的不等式，解之可得．
【详解】解不等式，得：x＞8，
∵不等式组无解，
∴4m≤8，
解得m≤2，
故选A．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8、B
【解析】根据因式分解法即可求出答案．
【详解】∵5x2=x，
∴x(5x﹣1)=0，
∴x=0或x．
故选：B．
本题考查了一元二次方程，解答本题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
9、D
【分析】利用配方法把抛物线的一般式转化为顶点式，再写出顶点坐标即可．
【详解】∵，且，
∴最低点（顶点）坐标是．
故选：D．
此题考查利用顶点式求函数的顶点坐标，注意根据函数的特点灵活运用适当的方法解决问题．
10、C
【分析】如图，作AP⊥BC于P，延长AH交BC于Q，延长EF交AQ于T．想办法求出AQ、CQ即可解决问题．
【详解】解：如图，作AP⊥BC于P，延长AH交BC于Q，延长EF交AQ于T．
由题意：＝2，AQ＝AH+FG+DE，CQ＝CD+EF+GH，∠AQP＝45°，
∵∠APB＝90°，AB＝900，
∴PB＝900，PA＝1800，
∵∠PQA＝∠PAQ＝45°，
∴PA＝PQ＝1800，AQ＝PA＝1800，
∵∠C＝30°，
∴PC＝PA＝1800，
∴CQ＝1800﹣1800，
∴小伟从C出发到坡顶A的时间＝ ≈80（分钟），
故选：C．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
11、B
【解析】根据反比例函数的一般形式即可判断．
【详解】A、不符合反比例函数的一般形式y＝，（k≠0）的形式，选项错误；
B、是一次函数，正确；
C、不符合反比例函数的一般形式y＝，（k≠0）的形式，选项错误；
D、不符合反比例函数的一般形式y＝，（k≠0）的形式，选项错误．
故选：B．
本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝（k≠0）转化为y＝kx−1（k≠0）的形式．
12、D
【分析】首先将点P的坐标代入确定函数的表达式，再根据k＞0时，函数图象位于第一、三象限；k＜0时函数图象位于第二、四象限解答即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点P（-2，1），
∴k=-2＜0，
∴函数图象位于第二，四象限．
故选：D．
本题考查了反比例函数图象上的点以及反比例函数图象的性质，掌握基本概念和性质是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、①④⑤
【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中的各个小题是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由函数图象可知，
抛物线与轴两个交点，则，故①正确，
当时，随的增大而减小，故②错误，
当时，，故③错误，
由函数的图象的对称轴经过点，且与轴的一个交点坐标为，则另一个交点为，故④正确，
当时，，故⑤正确，
故答案为：①④⑤．
本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
14、1
【分析】由方程有一根为﹣1，将x＝﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．
【详解】解：把x＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0得：a+b﹣1＝0，
即a+b＝1．
故答案为：1．
此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．
15、1
【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC=2DE=5，AC∥DE，
AC2+BC2=52+122=169，
AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC=BD，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=1，
故答案为1．
本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
16、1
【解析】根据勾股定理求出△ABC的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，再解直角三角形求出即可．
【详解】如图：长方形AEFM，连接AC，
∵由勾股定理得：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5
∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC，
即∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°
∴tan∠ABC=1
本题考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知识点，能求出∠ACB＝90°是解此题的关键.
17、
【解析】先由得出，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【详解】∵，
∴，
∵a∥b∥c，
∴＝．
故答案为：.
本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
18、24
【解析】根据平移变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小,可得∠B=∠A´CC´,BC=B´C´，再根据同位角相等，两直线平行可得CD∥ AB,然后求出CD=AB，点C"到A´B´的距离等于点C到AB的距离，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比即可求解.也可用相似三角形的面积比等于相似比的平方来求．
【详解】解：根据题意得
∠B=∠A´CC´,BC=B´C´,
∴CD//AB,CD= AB(三角形的中位线)，
点C´到A´C´的距离等于点C到AB的距离，
∴△CDC´的面积
=△ABC的面积，
=×48
=24
故答案为：24
本题考查的是三角形面积的求法之一，等高的三角形的面积比等于底的比，也可用相似三角形的面积比等于相似比的平方来求得．
三、解答题（共78分）
19、（20+17）cm．
【分析】过点B作BM⊥CE于点M，BF⊥DA于点F，在Rt△BCM和Rt△ABF中，通过解直角三角形可求出CM、BF的长，再由CE=CM+BF+ED即可求出CE的长．
【详解】过点B作BM⊥CE于点M，BF⊥DA于点F，如图所示．
在Rt△BCM中，BC=30cm，∠CBM=30°，
∴CM=BC•sin∠CBM=15cm．
在Rt△ABF中，AB=40cm，∠BAD=60°，
∴BF=AB•sin∠BAD=20cm．
∵∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，
∴四边形BFDM为矩形，
∴MD=BF，
∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+20+2=20+17（cm）．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是（20+17）cm．
本题考查了解直角三角形的应用以及矩形的判定与性质，通过解直角三角形求出CM、BF的长是解题的关键．
20、（1）；（2）P=；（3）当每袋特色农产品以25元出售时，才能使每日所获得的利润最大,最大利润是225元.
【分析】（1）用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）根据日销售利润=每袋的利润×销售量即可得出日销售利润(元)与每袋的售价(元)之间的函数表达式；
（3）根据二次函数的性质求最大值即可.
【详解】解：（1）设一次函数的表达式为：，
将(，)，(，)代入中得
解得
∴售量(袋)与售价(元)之间的函数表达式为．
(2) ()()
．
(3) () (40)
∴当时，
∴当每袋特色农产品以25元出售时，才能使每日所获得的利润最大,最大利润是225元.
本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键.
21、（1）；（1）x1＝﹣3，x1＝1．
【分析】（1）用配方法即可得出结论；
（1）整理后用因式分解法即可得到结论．
【详解】（1）∵x1﹣4x+1=0，
∴x1﹣4x+4=1，
∴(x﹣1)1=1，
∴；
（1）∵(x﹣1)(x+1)=4，
∴x1+x﹣6=0，
∴(x+3)(x﹣1)=0，
∴x1=﹣3，x1=1．
本题考查了一元二次方程，解答本题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
22、见解析
【分析】由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC的中垂线交直线CD于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心．
【详解】作弦AC的垂直平分线交直线CD于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．
本题考查的是垂径定理的应用，熟知“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键．
23、（1），；（2）点的坐标为；（3）存在，点的坐标为或或
【分析】（1），则OA=4OC=8，故点A（-8，0）；△AOC∽△COB，则△ABC为直角三角形，则CO2=OA•OB，解得：OB=2，故点B（2，0）；即可求解；
（2）PE=EF，即；即可求解；
（3）分BC是边、BC是对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴．
由点的坐标可知，故，，则点，点．
设抛物线的表达式为,
代入点的坐标，得，解得．
故抛物线的表达式为．
设直线的表达式为,
代入点、的坐标，得，解得
故直线的表达式为．
（2）设点的坐标为，则点的坐标分别为，，．
∵，
∴，
解得或（舍去），则，
故当时，点的坐标为．
（3）设点P（m，n），n=，点M（s，0），而点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，4）；
①当BC是边时，
点B向左平移2个单位向上平移4个单位得到C，
同样点P（M）向左平移2个单位向上平移4个单位得到M（P），
即m-2=s，n+4=0或m+2=s，n-4=0，
解得：m=-6或±-3，
故点P的坐标为：（-6，4）或（-3，-4）或（--3，-4）；
②当BC是对角线时，
由中点公式得：2=m+s，n=4，
故点P（-6，4）；
综上，点P的坐标为：（-6，4）或（-3，-4）或（--3，-4）．
此题考查二次函数综合运用，一次函数的性质，平行四边形的性质，三角形相似，解题关键在于注意（3），要注意分类求解，避免遗漏．
24、（1）见解析；（1）1
【分析】（1）由AC是⊙O的切线，得OA⊥AC，结合OD⊥OB，OA＝OB，得∠CDA＝∠DAC，进而得到结论；
（1）利用勾股定理求出OC，即可解决问题．
【详解】（1）∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，即：∠OAD+∠DAC＝90°，
∵OD⊥OB，
∴∠DOB＝90°，
∴∠BDO+∠B＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAD＝∠B，
∴∠BDO＝∠DAC，
∵∠BDO＝∠CDA，
∴∠CDA＝∠DAC，
∴CD＝CA．
（1）∵在Rt△ACO中，OC＝＝5，
∵CA＝CD＝3，
∴OD＝OC﹣CD＝1．
本题主要考查圆的基本性质，掌握切线的基本性质，是解题的关键.
25、见解析
【解析】试题分析：由等腰三角形三线合一得FA=FD．又由E是中点，所以EF是中位线，即得结论.
∵CD=CA， CF平分∠ACB，
∴FA=FD（三线合一），
∵FA=FD，AE=EB，
∴EF=BD．
考点：本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的中位线
点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
26、（1）证明见解析（1）1或1
【解析】试题分析：（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可；
（1）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．
试题解析：（1）证明：∵，∴△=[﹣（m﹣3）]1﹣4×1×（﹣m）=m1﹣1m+9=（m﹣1）1+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；
（1）∵，方程的两实根为，，且，∴ ， ，∴，∴（m﹣3）1﹣3×（﹣m）=7，解得，m1=1，m1=1，即m的值是1或1．
每袋的售价(元)
…
20
30
…
日销售量(袋)
…
20
10
…