2023-2024学年安徽省中学数学九年级第一学期期末质量检测试题含解析

这是一份2023-2024学年安徽省中学数学九年级第一学期期末质量检测试题含解析，共20页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知点，方程的根是等内容，欢迎下载使用。

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列计算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图所示的几何体的主视图为( )
A．B．C．D．
3．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．若点A（2，），B（-3，），C（-1，）三点在抛物线的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．数据4，3，5，3，6，3，4的众数和中位数是（ ）
A．3，4B．3，5C．4，3D．4，5
6．将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）
A．y=（x+1）2﹣13B．y=（x﹣5）2﹣3
C．y=（x﹣5）2﹣13D．y=（x+1）2﹣3
7．若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是( )
A．B．C．D．
8．已知点（3，﹣4）在反比例函数的图象上，则下列各点也在该反比例函数图象上的是（ ）
A．（3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣2，6）D．（2，6）
9．方程的根是（ ）
A．-1B．0C．-1和2D．1和2
10．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝( )
A．B．C．D．
11．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE,则CE的最大值为( ).
A．B．C．D．
12．小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法错误的是（ ）．
A．众数是6吨B．平均数是5吨C．中位数是5吨D．方差是
二、填空题（每题4分，共24分）
13．北京时间2019年4月10日21时，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球约55000000年，那么55000000用科学记数法表示为_______．
14．已知 x1、x2 是关于 x 的方程 x2+4x5＝0的两个根，则x1  x2＝_____．
15． “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为_____尺．
16．二次函数的图象经过点（4，﹣3），且当x＝3时，有最大值﹣1，则该二次函数解析式为_____．
17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，C(6，4)，以原点为位似中心，将△ABC缩小，使变换得到的△DEF与△ABC对应边的比为1∶2，则线段AC的中点P变换后对应点的坐标为____．
18．已知三个边长分别为2，3，5的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
20．（8分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．
（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，证明：DE＝DF
（2）如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．DE＝DF仍然成立吗？说明理由．
（3）如图3，将∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，DE＝DF仍然成立吗？说明理由．
21．（8分）如图，已知线段，于点，且，是射线上一动点，，分别是，的中点，过点，，的圆与的另一交点（点在线段上），连结，.
（1）当时，求的度数；
（2）求证：；
（3）在点的运动过程中，当时，取四边形一边的两端点和线段上一点，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且为锐角顶点，求所有满足条件的的值.
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝30°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AD＝，求DB的长．
23．（10分）已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴.直线的图象与二次函数的图象交于点和点（点在点的左侧）
（1）求的值及直线解析式；
（2）若过点的直线平行于直线且直线与二次函数图象只有一个交点，求交点的坐标.
24．（10分）超速行驶被称为“马路第一杀手”为了让驾驶员自觉遵守交通规则，湖浔大道公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，如图所示，已知检测点设在距离公路10米的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为1.35秒．已知∠B＝45°，∠C＝30°．
（1）求B，C之间的距离（结果保留根号）；
（2）如果此地限速为70km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据；≈1.7，≈1.4）
25．（12分）根据广州市垃圾分类标准，将垃圾分为“厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾”四类．小明将分好类的两袋垃圾准确地投递到小区的分类垃圾桶里．请用列举法求小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的概率．
26．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字2、3、4、6的乒乓球，它们的形状、大小、颜色、质地完全相同，耀华同学先从盒子里随机取出一个小球，记为数字x，不放回，再由洁玲同学随机取出另一个小球，记为数字y，
（1）用树状图或列表法表示出坐标(x，y)的所有可能出现的结果；
（2）求取出的坐标(x，y)对应的点落在反比例函数y＝图象上的概率．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】直接利用二次根式混合运算法则分别判断得出答案．
【详解】A、无法计算，故此选项不合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、，故此选项不合题意；
D、，正确.
故选D.
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
2、B
【分析】根据三视图的定义判断即可.
【详解】解：所给几何体是由两个长方体上下放置组合而成，所以其主视图也是上下两个长方形组合而成，且上下两个长方形的宽的长度相同.
故选B.
本题考查了三视图知识.
3、B
【分析】首先根据已知等式得出，然后代入所求式子，即可得解.
【详解】∵
∴
∴
故答案为B.
此题主要考查利用已知代数式化为含有同一未知数的式子，即可解题.
4、C
【解析】首先求出二次函数的图象的对称轴x==2，且由a=1＞0，可知其开口向上，然后由A（2，）中x=2，知最小，再由B（-3，），C（-1，）都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x得增大而减小，所以．总结可得．
故选C．
点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解答此题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数的图象性质．
5、A
【分析】根据众数和中位数的定义解答即可．
【详解】解：在这组数据中出现次数最多的是3，即众数是3；
把这组数据按照从小到大的顺序排列3，3，3，4，4，5，6，
∴中位数为4；
故选：A．
本题考查一组数据的中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．
6、D
【详解】因为y=x2-4x-4=（x-2）2-8，
以抛物线y=x2-4x-4的顶点坐标为（2，-8），把点（2，-8）向左平移1个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（-1，-1），
所以平移后的抛物线的函数表达式为y=（x+1）2-1．
故选D．
7、C
【解析】试题解析：这五种图形中，平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形，
所以这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率=．
故选C．
考点：1.概率公式；2.中心对称图形．
8、C
【解析】试题解析：∵反比例函数图象过点(3,-4)，
即k=−12，
A. ∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B.∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C. ∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确.
D.∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
故选C.
9、C
【分析】用因式分解法课求得
【详解】解: ,,解得
故选C
本题考查了用因式分解求一元二次方程.
10、B
【解析】设AB=x，求出BC=x，CD=AC=x，求出BD为（x+x），通过∠ACB＝45°，CD＝AC，可以知道∠D即为22.5°，再解直角三角形求出tanD即可．
【详解】解：设AB=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴AB=BC=x，
由勾股定理得：AC==x，
∴AC=CD=x
∴BD=BC+CD=x+x，
∴tan22.5°=tanD==
故选B．
本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质和判定等知识点，设出AB=x能求出BD= x+x是解此题的关键．
11、B
【分析】取AB的中点M，连接CM，EM，当CE＝CM+EM时，CE的值最大，根据旋转的性质得到AC′＝AC＝2，由三角形的中位线的性质得到EMAC′＝2，根据勾股定理得到AB＝2，即可得到结论．
【详解】取AB的中点M，连接CM，EM，∴当CE＝CM+EM时，CE的值最大．
∵将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，∴AC′＝AC＝2．
∵E为BC′的中点，∴EMAC′＝2．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2，∴CMAB，∴CE＝CM+EM．
故选B．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
12、C
【解析】试题分析：根据众数、平均数、中位数、方差：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．数据：3,4,5,6,6,6，中位数是5.5，
故选C
考点：1、方差；2、平均数；3、中位数；4、众数
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将55000000用科学记数法表示为：5.5×1，
故答案为：5.5×1．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14、-1
【分析】根据根与系数的关系即可求解．
【详解】∵x1、x2 是关于 x 的方程 x2+1x5＝0的两个根，
∴x1  x2＝-=-1，
故答案为：-1．
此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知x1  x2＝-．
15、57.5
【分析】根据题意有△ABF∽△ADE，再根据相似三角形的性质可求出AD的长，进而得到答案.
【详解】如图，AE与BC交于点F，
由BC //ED 得△ABF∽△ADE，
∴AB:AD=BF:DE，即5:AD=0.4:5，
解得：AD=62.5（尺），
则BD=AD－AB=62.5－5=57.5（尺）
故答案为57.5.
本题主要考查相似三角形的性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等.
16、y＝﹣2（x﹣3）2﹣1
【分析】根据题意设出函数的顶点式，代入点(4，﹣3)，根据待定系数法即可求得．
【详解】∵当x=3时，有最大值﹣1，
∴设二次函数的解析式为y=a(x﹣3)2﹣1，
把点(4，﹣3)代入得：﹣3=a(4﹣3)2﹣1，
解得a=﹣2，
∴y=﹣2(x﹣3)2﹣1．
故答案为：y=﹣2(x﹣3)2﹣1．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
17、 (1，)或(－1，－)
【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．本题中k＝1或−1．
【详解】解：∵两个图形的位似比是1：（−）或1：，AC的中点是（4，3），
∴对应点是（1，）或（−1，−）．
本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．
18、．
【解析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．
【详解】解：如图，
对角线所分得的三个三角形相似，
根据相似的性质可知，
解得，
即阴影梯形的上底就是（）．
再根据相似的性质可知，
解得：，
所以梯形的下底就是，
所以阴影梯形的面积是．
故答案为：．
本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例．
三、解答题（共78分）
19、10，1．
【解析】试题分析：可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程 求出边长的值．
试题解析：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m，可以得出平行于墙的 一边的长为m，由题意得 化简，得，解得：
当时，（舍去），
当时，，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为1m．
考点：一元二次方程的应用题．
20、（1）见解析；（2）结论仍然成立.，DE＝DF，见解析；（3）仍然成立，DE＝DF，见解析
【分析】（1）由题意根据全等三角形的性质与判定，结合等边三角形性质证明△BED≌△CFD（ASA），即可证得DE＝DF；
（2）根据题意先取AC中点G,连接DG,继而再全等三角形的性质与判定，结合等边三角形性质证明△EDG≌△FDC（ASA），进而证得DE＝DF；
（3）由题意过点D作DN⊥AC于N,DM⊥AB于M, 继而再全等三角形的性质与判定，结合等边三角形性质证明△DME≌△DNF（ASA），即可证得DE＝DF．
【详解】解：（1）∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形,即∠B=∠C=60°,
∵D是BC的中点,
∴BD=CD,
∵∠EDF=120°，DF⊥AC，
∴∠FDC=30°,
∴∠EDB=30°，
∴△BED≌△CFD（ASA）,
∴DE=DF.
（2）取AC中点G,连接DG,如下图,
∵D为BC的中点,
∴DG=AC=BD=CD,
∴△BDG是等边三角形,
∴∠GDE+∠EDB=60°,
∵∠EDF=120°,
∴∠FDC+∠EDB=60°,
∴∠EDG=∠FDC,
∴△EDG≌△FDC（ASA）,
∴DE=DF，
∴结论仍然成立.
（3）如下图,过点D作DN⊥AC于N,DM⊥AB于M,
∴∠DME=∠DNF=90°,
由（1）可知∠B=∠C=60°,
∴∠NDC=∠BDM=30°,DM=DN,
∴∠MDN=120°,即∠NDF=∠MDE,
∴△DME≌△DNF（ASA）,
∴DE=DF,
∴仍然成立.
本题是几何变换综合题，主要考查全等三角形的判断和性质以及等边三角形的性质，根据题意构造出全等三角形是解本题的关键．
21、（1）75°；（2）证明见解析；（3）或或．
【分析】（1）根据三角形ABP是等腰三角形，可得∠B的度数；
（2）连接MD，根据MD为△PAB的中位线，可得∠MDB=∠APB，再根据∠BAP=∠ACB，∠BAP=∠B，即可得到∠ACB=∠B，进而得出△ABC∽△PBA，得出答案即可；
（3）记MP与圆的另一个交点为R，根据AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，即可得到PR=，MR=，再根据Q为直角三角形锐角顶点，分四种情况进行讨论：当∠ACQ=90°时，当∠QCD=90°时，当∠QDC=90°时，当∠AEQ=90°时，即可求得MQ的值．
【详解】解：（1）∵MN⊥AB，AM=BM，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠B，
∵∠APB=30°，
∴∠B=75°，
（2）如图1，连接MD，
∵MD为△PAB的中位线，
∴MD∥AP，
∴∠MDB=∠APB，
∵∠BAC=∠MDC=∠APB，
又∵∠BAP=180°-∠APB-∠B，∠ACB=180°-∠BAC-∠B，
∴∠BAP=∠ACB，
∵∠BAP=∠B，
∴∠ACB=∠B，
∴AC=AB，由（1）可知PA=PB，
∴△ABC∽△PBA，
∴ ，
∴AB2=BC•PB；
（3）如图2，记MP与圆的另一个交点为R，
∵MD是Rt△MBP的中线，
∴DM=DP，
∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，
∴RC=RP，
∵∠ACR=∠AMR=90°，
∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，
∴12+MR2=22+PR2，
∴12+（4-PR）2=22+PR2，
∴PR=，
∴MR=，
（一）当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，
∴Q与R重合，
∴MQ=MR=；
（二）如图3，当∠QCD=90°时，
在Rt△QCP中，PQ=2PR=，
∴MQ=；
（三）如图4，当∠QDC=90°时，
∵BM=1，MP=4，
∴BP=，
∴DP=BP=，
∵cs∠MPB= ，
∴PQ=，
∴MQ=；
（四）如图5，当∠AEQ=90°时，
由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，
∴MQ=；
综上所述，MQ的值为或或．
此题主要考查了圆的综合题、等腰三角形的性质、三角形中位线定理，勾股定理，圆周角定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用旋转的性质以及含30°角的直角三角形的性质进行计算求解，解题时注意分类思想的运用．
22、（1）60°；（2）3
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝30°，然后利用互余可计算出∠BAD的度数；
（2）利用含30度的直角三角形三边的关系求解．
【详解】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°；
（2）在Rt△ADB中，．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
23、（1）m=，；（2）
【分析】（1）由于抛物线的顶点为原点，因此可设其解析式为y=ax2，直接将A点，B点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式以及m的值，进而可知出点B的坐标，再将A，B点的坐标代入一次函数中，即可求出一次函数的解析式．
（2）根据题意可知直线l2的解析式，由抛物线与l2只有一个交点，联立直线与二次函数的解析式，消去y，得出一个含x一元二次方程，根据方程的判别式为0可求得n的值，进而得出结果．
【详解】（1）解：假设二次函数的解析式为，
将分别代入二次函数的解析式，
得：，解得．
解得：．
将代入中，
得，,解得：．
的解析式为．
（2）由题意可知：l2∥l1，
可设直线的解析式为：
过点，则有：．
．
由题意，联立直线与二次函数的解析式，可得以下方程组：
，
消元，得：，
整理，得：， ①
由题意，得与只有一个交点，
可得：，
解得：．
将代回方程①中，得．
将代入中，
得．
可得交点坐标为．
此题主要考查了求二次函数解析式，求一次函数解析式，以及两函数的交点问题，解决问题的关键是联立方程组求解．
24、（1）BC＝（10+10）m；（2）这辆汽车超速．理由见解析．
【分析】（1）作AD⊥BC于D,则AD=10m,求出CD、BD即可解决问题;
（2）求出汽车的速度,即可解决问题,注意统一单位．
【详解】（1）如图作AD⊥BC于D,
则AD＝10m,
在Rt△ABD中,∵∠B＝45°,
∴BD＝AD＝10m,
在Rt△ACD中,∵∠C＝30°,
∴tan30°＝,
∴CD＝AD＝10m,
∴BC＝BD+DC＝（10+10）m;
（2）结论:这辆汽车超速．
理由:∵BC＝10+10≈27m,
∴汽车速度＝＝20m/s＝72km/h,
∵72km/h＞70km/h,
∴这辆汽车超速．
本题考查解直角三角形的应用,锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识, 解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.
25、见解析，
【分析】首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【详解】解：分别记厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾为A、B、C、D，
画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的结果有2种，
所以小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的概率为＝．
本题主要考查的是利用树状图求解概率，解此题需要正确的运用树状图，所以掌握树状图是解此题的关键.
26、（1）见解析；（2）
【分析】(1)首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果；
(2)由(1)中的列表求得点(x，y)落在反比例函数y=的图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】(1)列表如下
则共有12种可能的结果；
(2)各取一个小球所确定的点(x，y)落在反比例函数y=的图象上的有(6，2)，(4，3)，
(3，4)，(2，6)四种情况，
∴点(x，y)落在反比例函数y=的图象上的概率为=．
本题考查了列表法或树状图法求概率，反比例函数图象上点的坐标特征．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2
3
4
6
2
(3，2)
(4，2)
(6，2)
3
(2，3)
(4，3)
(6，4)
4
(2，4)
(3，4)
(6，4)
6
(2，6)
(3，6)
(4，6)