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苏科版九年级下册7.2 正弦、余弦优秀课后测评
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这是一份苏科版九年级下册7.2 正弦、余弦优秀课后测评，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在△ABC中，∠C=90°，设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则
( )
A. c=b sin BB. b=c sin BC. a=b tan BD. b=c tan B
2.如图，直角坐标平面内有一点P(2,4)，那么OP与x轴正半轴的夹角α的余切值为( )
A. 2
B. 12
C. 55
D. 5
3.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin∠BAC的值为( )
A. 35B. 34C. 45D. 43
4.△ABC中，∠C=90°，tanA= 22，那么三边BC∶AC∶AB是
( )
A. 1∶2∶3B. 1∶ 2∶ 3C. 2∶ 5∶3D. 2∶3∶ 13
5.如果直线y=12x与x轴正半轴的夹角为锐角α，那么下列各式正确的是
( )
A. sinα=12；B. csα=12；C. tanα=12；D. ctα=12．
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则csA的值为( )
A. 23B. 53C. 2 55D. 52
7.如图，点A(t,3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=32，则t的值是
( )
A. 1B. 1.5C. 2D. 3
8.在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=17，则csA的值是( )
A. 1517B. 817C. 815D. 158
9.如图，在一块直角三角板ABC中，∠A=30∘，则sinA的值是
( )
A. 32B. 12C. 22D. 3
10.常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为(假设有任意角α)( )
A. (sinα+csα)2B. sinα2+csα2C. sinα2+ctα2D. sin2α+cs2α
11.如图，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，并交BA的延长线于点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD上移动.当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为( )
A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°
12.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的边长为3，点O为坐标原点，点A，C分别在x轴、y轴上，点B在第一象限内，直线y=kx+1分别与x轴、y轴、线段BC交于点F、D、G，AE⊥FG，下列结论：①△GCD和△FOD的面积比为3：1；②AE的最大长度为 10；③tan∠FEO=13；④当DA平分∠EAO时，CG=32，其中正确的结论有( )
A. ①②③B. ②③C. ②③④D. ③④
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=2x的图象上，第二象限的点B在反比例函数y=kx的图象上，且OA⊥OB，tan∠BAO=2，则k的值为______．
14.如图，在4×4的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在⊙O上，点E是线段CD与⊙O的交点．则∠AED的正切值为_______．
15.如图，⊙O的直径AB=26，P是AB上(不与点A、B重合)的任一点，点C、D为⊙O上的两点．若∠APD=∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．
(1)若CD的长为134π，“回旋角”∠CPD的度数_______；
(2)若直径AB的“回旋角”为120∘，且ΔPCD的周长为24+13 3，AP的长=__________．
16.如图，点A、B、C为正方形网格纸中的3个格点，则tan∠BAC的值是_______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，E为CD延长线上一点，过E点作⊙O的切线，切点为G，连接AG交CD于F点．
(1)求证：EF=EG；
(2)若FG2=FD⋅FE，试判断AC与GE的位置关系，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，若sinE=35，AH=3，求⊙O半径的长．
18.(本小题8分)
如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上(不与点B，C重合)，连结AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设BGBC=k．
(1)求证：AE=BF．
(2)连结BE，DF，设∠EDF=α，∠EBF=β.求证：tanα=ktanβ．
(3)设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，求S2S1的最大值．
19.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
(1)求证：∠A=∠BCD；
(2)若CD=4 3，∠B=60°，求扇形OAC(阴影部分)的面积．
20.(本小题8分)
如图，在锐角三角形ABC中，AB=BC，以BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E．
(1)求证：CE=DE．
(2)若∠ABC=45°，BO=r，求线段AD的长(用含r的代数式表示)．
21.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，CE切⊙O于点D，交AB延长线于点E，过A作AC⊥CE于点C，连接AD．
(1)求证：AD平分∠CAB；
(2)若B为OE中点，DF⊥AB于F，DF=3，求DE的长度；
(3)连接BD，若AD=2BD，求AB与BE的数量关系．
22.(本小题8分)
如图，已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5，BC=3.求AC的长和sinA的值．
23.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．
(1)求证：OP⊥CD；
(2)连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．
24.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，CB=CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
(1)试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=2 3，∠BCD=60°，求图中阴影部分的面积．
25.(本小题8分)
在▵ABC中，∠ACB是钝角，AD⊥BC交BC的延长线于点D，E，F分别为AC、AB的中点，∠FCE=∠CED.连接DF，EF，设DF与EC交于点O．
(1)求证：OD=OF．
(2)若OF=52，tanB=43时，求AC的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了锐角三角函数的定义，根据锐角三角函数的定义求出对应三角函数值即可．根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题．
【解答】
解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴sinB=bc，即b=csinB，故A选项不成立，B选项成立；
tanB=ba，即b=atanB，故C选项不成立，D选项不成立．
故选B．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了点在平面直角坐标系里的意义以及锐角三角函数的定义．解决本题的关键是构造直角三角形．过点P作PA⊥x轴于点A.由P点的坐标得PA、OA的长，根据余切函数的定义得结论．
【解答】
解：过点P作PA⊥x轴于点A．
由于点P(2,4)，
∴PA=4，OA=2
∴ctα=OAPA=12．
故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：设小正方形的边长为1，作CD⊥AB的延长线于点D．
∵在Rt△ACD中，∠ADC=90°，CD=3，AC= 32+42=5，
∴sin∠BAC=CDAC=35，
故选A．
sin∠BAC的值可以转化为直角三角形的边的比的问题，因而过点C作CD垂直于AB的延长线于点D.在Rt△ADC中根据三角函数的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．也考查了勾股定理．
4.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查解直角三角形的运用，主要利用勾股定理以及锐角三角函数等知识，注意结合图形，灵活选择适当的方法解决问题．
过点C作CD⊥AB，垂足为点D，由∠ACB=90∘，tanA= 22，设CD= 2x，得出AD=2x，再由勾股定理得出AC= 6x，由三角形的面积得出AC⋅BC=CD⋅AB，得出AB=3x，得出三边的比即可．
【解答】
解：如图，
过点C作CD⊥AB，垂足为点D，
∵∠ACB=90∘，tanA= 22，设CD= 2x，
∴AD=2x，
∴AC= AD2+CD2= 6x，
BC=tanA×AC= 3x
∵AC⋅BC=CD⋅AB，
∴AB=3x
∴BC:AC:AB= 3x： 6x：3x=1: 2: 3．
故选：B．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数定义，勾股定理有关知识，设点A(m,12m)，过点A作AH⊥x轴于点H，则AH=12m，OH=m，由勾股定理求出AO，即可求解
【解答】
解：由y=12x与x轴正半轴的夹角为α，
如图，设点A是直线上的点，则设点A(m,12m)，
过点A作AH⊥x轴于点H，则AH=12m，OH=m
∴OA= AH2+OH2= 14m2+m2= 52m
A.sin α=AHAO=12m 52m= 55，错误
B.csα=OHOA=m 52m=2 55，错误
C.tanα=AHOH=12mm=12，正确
D.ctα=OHAH=m12m=2，错误
6.【答案】B
【解析】解：由勾股定理得，AC= AB2−BC2= 32−22= 5，
则csA=ACAB= 53．
故选：B．
根据勾股定理求出AC，根据余弦的定义计算得到答案．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图：
∵点A(t,3)在第一象限，
∴AB=3，OB=t，
又∵tanα=ABOB=32，
∴t=2．
故选：C．
根据正切的定义即可求解．
本题考查锐角三角函数的定义及运用．
8.【答案】A
【解析】解：∵∠C=90°，BC=8，AB=17，
∴AC= AB2−BC2= 172−82=15，
∴csA=ACAB=1517，
故选：A．
本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理．熟练掌握锐角三角函数余弦的定义是解题的关键．
先根据勾股定理求出AC，然后再利用余弦的定义解答即可．
9.【答案】B
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：∵ ∠A=30∘ ，
∴ sinA=sin30∘=12 ．
故选：B．
【点睛】本题词考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：“正弦平方加余弦平方”的数学语言为：sin2α+cs2α.
故选：D．
根据题意即可写出式子．
本题考查了同角三角函数关系，掌握同角三角函数关系的正确表达是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理以及解直角三角形的有关知识，解题的关键是由题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大为90°．
连接BD，AP，由题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大，利用圆周角定理和锐角三角函数定义即可求出∠ABP的度数．
【解答】解：连接BD，AP，
∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，
∴∠ADB=90°，
当∠APB的度数最大时，
则P和D重合，
∴∠APB=90°，
∵AB=2，AD=1，
∴sin∠DBA=ADAB=12，
∴∠ABD=30°，
∴当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为30°．
故选：D．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．
根据面积比等于相似比的平方，可判断①；由∠AOD=90°，∠AED=90°可得A，E，D，O四点共圆，所以AE最大值就是直径AD，tan∠FEO=tan∠DAO，可判断②、③；当DA平分∠EAO，根据△ADE≌△ADO可得AE=3，DE=1，由△AEF∽△DOF可求OF的长，进而求出CG的长，即可判断④．
【解答】
解∵ABCD是正方形，
∴AO=AB=BC=CO=3，BC//AO，
∵直线y=kx+1分别与y轴交于点D，
∴DO=1，
∴CD=2，AD= OD2+OA2= 10，
∵BC//AO，
∴△DFO∽△DGC，
∴S △CDGS △DOF=(CDDO)2=41，故①错误；
取AD的中点N，连NO、NE，
∵∠AOD=90°，∠AED=90°，
∴NO=NA=ND=NE，
∴A，E，D，O四点共圆，
∴AE的最大值是直径AD= 10，∠FEO=∠DAO，
∴tan∠FEO=tan∠DAO=DOAO=13故②、③正确；
当DA平分∠EAO时，∵DE⊥AE，DO⊥AO，
∴DE=DO=1，且AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADO，
∴AO=AE=3，
设OF=a，则CG=2a，AF=3+a，
∴DF= a2+1，
∵∠DFO=∠DFO，∠DOF=∠AEF=90°，
∴△DFO∽△AFE，
∴DOAE=DFAF，
∴13= a2+13+a，
∴a=34或a=0(不合题意，舍去)，且适合此方程，
∵△DFO∽△DGC，
∴OFCG=DOCD=12，
∴CG=2a=32，故④正确．
13.【答案】−8
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义．作BC⊥x轴于C，AD⊥x轴于D，如图，利用反比例函数系数的几何意义得到S△AOD=1，再根据正切的意义得到tan∠BAO=OBOA=2，接着证明Rt△AOD∽Rt△OBC，利用相似三角形的性质得S△OBC=4S△AOD=4，所以12⋅|k|=4，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
【解答】
解：作BC⊥x轴于C，AD⊥x轴于D，如图，则S△AOD=12×2=1，
在Rt△AOB中，tan∠BAO=OBOA=2，
∵∠AOD+∠BOC=90°，∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
∴Rt△AOD∽Rt△OBC，
∴S△OBCS△AOD=(OBOA)2=4，
∴S△OBC=4S△AOD=4，
∴12⋅|k|=4，
而k<0，
∴k=−8．
故答案为：−8．
14.【答案】1
【解析】解：如图，连接AD，
∴∠AED=∠ABD，
∵BD是直径，
∴∠BAD=90°，
在Rt△BAD中，
∴AD=AB，
∴tan∠AED=tan∠ABD=ADAB=1，
故答案为：1．
根据“同弧所对的圆周角相等”可得∠AED=∠ABD，然后证明∠BAD=90°，最后证明AD=AB即可求解，
本题主要考查圆周角定理，锐角三角形函数的定义，利用圆周角定理把所求角经过等量转换放在直角三角形中是解题关键．
15.【答案】(1)45°
(2) 3或23
【解析】解：(1)如图，连接OC、OD，
∵AB=26，
∴OC=OD=OA=13，
设∠COD=n°，
∵CD的长为134π，
∴nπ×13180=134π，
∴n=45，
∴∠COD=45°，
作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，
∴∠BPC=∠OPE，
∵∠CPD为直径AB的“回旋角”，
∴∠APD=∠BPC，
∴∠OPE=∠APD，
∵∠APD+∠CPD+∠BPC=180°，
∴∠OPE+∠CPD+∠BPC=180°，
∴点D，P，E三点共线，
∴∠CED=12∠COD=22.5°，
∴∠OPE=90°−22.5°=67.5°，
∴∠APD=∠BPC=67.5°，
∴∠CPD=180°−∠APD−∠BPC=45°，即：“回旋角”∠CPD的度数为45°，
故答案为：45°；
(2)①当点P在半径OA上时，如图，过点C作CF⊥AB交⊙O于F，连接PF，
∴PF=PC，
同(2)的方法得，点D，P，F在同一条直线上，
∵直径AB的“回旋角”为120°，
∴∠APD=∠BPC=30°，
∴∠CPF=60°，
∴△PCF是等边三角形，
∴∠CFD=60°，
连接OC，OD，
∴∠COD=120°，
过点O作OG⊥CD于G，
∴CD=2DG，∠DOG=12∠COD=60°，
∴DG=ODsin∠DOG=13×sin60°=13 32，
∴CD=13 3，
∵△PCD的周长为24+13 3，
∴PD+PC=24，
∵PC=PF，
∴PD+PF=DF=24，
过O作OH⊥DF于H，
∴DH=12DF=12，
在Rt△OHD中，OH= OD2−DH2=5，
在Rt△OHP中，∠OPH=30°，
∴OP=2OH=10，
∴AP=OA−OP=3；
②当点P在半径OB上时，
同①的方法得，BP=3，
∴AP=AB−BP=23，
即：满足条件的AP的长为3或23．
(1)先求出∠COD=45°，进而判断出点D，P，E在同一条直线上，求出∠CED，即可得出结论；
(2)①当点P在半径OA上时，利用(2)的方法求出∠CFD=60°，∠COD=120°，利用三角函数求出CD，进而求出DF，再用勾股定理求出OH，即可求出OP即可得出结论；
②当点P在半径OB上时，同①方法求出BP=3，即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，三点共线，锐角三角函数，勾股定理，新定义，正确作出辅助线是解本题的关键．
16.【答案】 2
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，三角形面积，锐角三角函数的定义，作出AC边上的高是解题的关键．
作BD⊥AC，先根据勾股定理和三角形面积公式求出BD的长，进而求出AD的长，由正切函数的定义即可求解．
【解答】
解：设正方形网格中小正方形的边长为1，作BD⊥AC交AC于D，
则AC= 42+22=2 5，
以BC为底边可得△ABC面积为12×5×4=10，
∴12×AC×BD=10，
∴BD=2S△ABCAC=2×102 5=2 5，
∵AB= 32+42=5，
∴AD= AB2−BD2= 52−2 52= 5，
∴tan∠BAC=BDAD=2 5 5=2．
故答案为2．
17.【答案】(1)证明：如图，连接OG，
∵EG为切线，
∴∠FGE+∠OGA=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AFH+∠OAG=90°，
∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG，
∴∠FGE=∠AFH=∠GFE，
∴EF=EG；
(2)AC//GE，理由为：
如图，连接GD，
∵FG2=FD⋅FE，即FGFD=EFFG，
∵∠DFG=∠GFE，
∴△GFD∽△EFG，
∴∠E=∠AGD，
∵∠C=∠AGD，
∴∠E=∠C，
∴AC//GE；
(3)如图，连接OC，
∵AC//GE，
∴sinE=sin∠ACH=35，
∴AHAC=35，
∵AH=3，则AC=5，CH=4，
设⊙O半径为r，
在Rt△OCH中，OC=r，OH=r−3，CH=4，
由勾股定理可得：OH2+CH2=OC2，即(r−3)2+42=r2，
解得r=256，
∴⊙O半径的长为256．
【解析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形判定，熟练掌握定理以及性质是解决问题的关键．
(1)连接OG，根据切线性质以及CD⊥AB，可以推出∠FGE=∠AFH=∠GFE，根据等角对等边得到EF=EG；
(2)AC//EG，理由为：连接GD，根据∠DFG=∠GFE和FG2=FD⋅FE，可以推出△GFD∽△EFG，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可以推知∠E=∠C，从而得到AC//EG；
(3)连接OC，设⊙O半径为r，求出AC=5，CH=4，根据勾股定理列方程可以求解圆的半径．
18.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠BAG+∠DAG=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠BFA=90°，
∴∠ADE+∠DAG=90°，
∴∠BAG=∠DAE，
∴△ADE≌△BAF(AAS)，
∴AE=BF，
(2)由(1)知，∠BAG=∠EDA，
∵∠ABG=∠DEA，
∴△ABG∽△DEA，
∴ABDE=BGAE，
∴AEDE=BGAB=BGBC=k
在Rt△DEF中，EF=DE⋅tanα，
在Rt△BEF中，EF=BF⋅tanβ，
∴DE⋅tanα=BF⋅tanβ，
∴tanα=BFDE⋅tanβ=AEDE⋅tanβ=ktanβ；
(3)方法1、如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC//AD，AD=BC，
∵BGBC=k，
∴BGAD=k，
∵AD//BC，
∴△ADH∽△GBH，
∴S1S△BHG=S△ADHS△BHG=(ADBG)2=1k2，
∴S1=1k2⋅S△BHG，
设△BHG的边BG上的高为h，△ADH的边AD上的高为h′，
∴△ADH∽△GBH
∴hh′=BGAD=k，∴h=kh′
∴S△BHGS△BCD=12BG⋅h12BC(h+h′)=BGBC×kh′kh ′+h ′=k×kk+1=k2k+1
∴S△BCD=k+1k2S△BHG，
∴S2=S△BCD−S△BHG=k+1−k2k2S△BHG，
S2S1=k+1−k2k21k2=−k2+k+1=−(k−12)2=−(k−12)2+54
∴k=12时，S2S1的最大值为54
方法2、如图1，
设正方形的边长为1，
连接BD交AG于H，过H作MN⊥BC交AD于M，BC于N，
设HN=h，HM=h′，
∴h+h′=1，
∵BGBC=k，
∴BG=k，hh′=BGAD=k，
S2=12BC×CD−12k×h=12−12kh，
S1=12AD×h′=12h′
∴S2S1=12−12kh12h′
=1h′−khh′
=h+h′h′−khh′
=hh′+1−hh′×k
=−(k−12)2+54，
∴k=12时，S2S1的最大值为54．
【解析】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，比例的性质，判断出S2=1k⋅S△BHG是解本题的关键．
(1)利用同角的余角相等判断出∠BAG=∠DAE，进而得出△ADE≌△BAF，即可得出结论；
(2)先判断出△ABG∽△DEA，进而得出AEAD=k，再根据锐角三角函数即可得出结论；
(3)方法1、先判断出S1=1k2⋅S△BHG，再判断出S2=k+1−k2k2S△BHG，即可得出结论．
方法2、先表示出S2=12BC×CD−12k×h=12−12kh，S1=12AD×h′=12h′，即可得出结论．
19.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴BC=BD，
∴∠A=∠BCD；
(2)解：∵OC=OB，∠B=60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=12CD=2 3，
在Rt△COE中，OC=CEsin∠COB=4，
∴扇形OAC(阴影部分)的面积=120π×42360=163π.
【解析】(1)根据垂径定理得到BC=BD，根据圆周角定理证明结论；
(2)根据等边三角形的判定定理得到△BOC为等边三角形，求出∠AOC，根据正弦的定义求出OC，利用扇形面积公式计算即可．
本题考查的是扇形面积计算、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式S=nπR2360是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：连接BE，如图所示，
∵BC为直径，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥AC，
∵AB=BC，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴CE=DE．
(2)解：连接CD，如图所示，
∵BO=r，
∴BC=2BO=2r，
∴AB=BC=2r，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
在Rt△BCD中，
cs∠DBC=BDBC，
∴BD=BC⋅cs∠DBC=2r⋅cs45°= 2r.
∴AD=AB−BD=2r− 2r=(2− 2)r．
【解析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键．
(1)连结BE，如图，根据圆周角定理，由BC为⊙O的直径得到∠BEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到AE=CE，进而利用等腰三角形的性质得出∠ABE=∠CBE，进而证明即可；
(2)连接CD，如图，先根据等腰三角形的性质得出AB=BC=2r，再利用圆周角定理得出∠BDC=90°，然后利用锐角三角函数定义可计算出BD的长，从而得到AD的长．
21.【答案】解：(1)证明：连接OD，
∵CE是⊙O的切线，
∴OD⊥CE，
∵AC⊥CE，
∴OD//AC，
∴∠ODA=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠DAC，
即AD平分∠CAB；
(2)∵B为OE的中点
∴OE=2OB，
∵OB=OD，
∴在Rt△ODE中，sinE=ODOE=12，
∴∠E=30°，
在Rt△DEF中，DE=DFsin30∘=6；
(3)AB与BE的数量关系为AB=3BE
理由如下：∵CE是⊙O的切线，
∴OD⊥CE，
∴∠EDB+∠BDO=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBO+∠DAB=90°，
∵OB=OD，
∴∠BDO=∠DBO，
∴∠EDB=∠DAB，
又∵∠E=∠E，
∴△EBD∽△EDA，
∴BEDE=DEAE=BDAD=12
∴AE=2DE，DE=2BE，
∴AE=4BE，
∴AB=AE−BE=3BE，
∴AB=3BE．
【解析】(1)连接OD，根CE是⊙O的切线，得OD⊥CE，由AC⊥CE得出OD//AC，通过等量代换得出AD平分∠CAB；
(2)由B为OE的中点得出OE=2OB，在Rt△ODE中根据三角函数得出sinE=ODOE=12；
(3)由CE是⊙O的切线，得到∠EDB+∠BDO=90°，由AB为⊙O的直径，推出∠DBO+∠DAB=90°，然后证明△EBD∽△EDA，推出BEDE=DEAE=BDAD=12，所以AE=2DE，DE=2BE，推出AB=3BE．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直径三角形．
22.【答案】解：∵∠C=Rt∠，AB=5，BC=3，
∴AC=AB2−BC2=52−32=4，
sinA=BCAB=35．
答：AC的长为4，sinA的值为35.
【解析】根据勾股定理求AC的长，根据正弦的定义求sinA的值．
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
23.【答案】解：(1)连接OC，OD，设CD交PO于点M，
∴OC=OD，
∵PD，PC是⊙O的切线，
∴∠ODP=∠OCP=90°，
在Rt△ODP和Rt△OCP中，OD=OCOP=OP，
∴Rt△ODP≌Rt△OCP，
∴∠DOP=∠COP，
∵OD=OC，OM=OM，
∴△ODM≌△OCM，
∴∠OMD=∠OMC=90°，
∴OP⊥CD；
(2)如图，连接OD，OC，
∴OA=OD=OC=OB=2，
∴∠ADO=∠DAO=50°，∠BCO=∠CBO=70°，
∴∠AOD=80°，∠BOC=40°，
∴∠COD=60°，
∵OD=OC，
∴△COD是等边三角形，
由(1)知，∠DOP=∠COP=30°，
在Rt△ODP中，OP=ODcs30∘=4 33．
【解析】此题主要考查了等腰三角形的性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键．
(1)先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP=∠COP，即可得出结论；
(2)先求出∠COD=60°，得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论．
24.【答案】解：(1)过点B作BF⊥CD，垂足为F，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB．
在△ABD和△FBD中，
∠ADB=∠FDB∠BAD=∠BFDBD=BD，
∴△ABD≌△FBD(AAS)，
∴BF=BA，则点F在圆B上，
∴CD与⊙B相切；
(2)∵∠BCD=60°，CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD=60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，
∴∠ABF=60°，
∵AB=BF=2 3，
∴AD=DF=AB·tan30°=2，
∴阴影部分的面积=S△ABD−S扇形ABE
=12×2 3×2−30×π×(2 3)2360
=2 3−π．
【解析】(1)过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF=BA，即可证明CD与圆B相切；
(2)先证明△BCD是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD，再利用S△ABD−S扇形ABE求出阴影部分面积．
本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确作出辅助线．
25.【答案】解：(1)证明：∵E，F分别为AC、AB的中点，
∴FE//BD，BC=2FE．
∵∠FCE=∠CED，
∴DE//CF，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴OD=OF;
(2)∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90∘．
又∵F是AB的中点，
∴AB=2FD=4FO=4×52=10．
∵tanB=ADBD=43，
∴设AD=4x，BD=3x，
∵AD2+BD2=AB2，
∴(4x)2+(3x)2=102，
解得x=2，
∴AD=8，BD=6．
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴CD=FE，即BC=2CD，
∴CD=2，
∴AC= CD2+AD2= 22+82=2 17．
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，正切函数的定义，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握和运用各性质是解决本题的关键．
(1)首先根据E，F分别为AC、AB的中点，可证得EF//BD，再根据∠FCE=∠CED，可证得DE//CF，即可证得四边形CDEF是平行四边形的，据此即可证得结论;
(2)首先根据直角三角形斜边上的中线的性质，可求得AB=2FD=4FO=10，再由ADBD=tanB=43，可求得AD=8，BD=6，再根据EF=CD=12BC，即可求得CD的长，最后根据勾股定理即可求得AC的长．
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在△ABC中，∠C=90°，设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则
( )
A. c=b sin BB. b=c sin BC. a=b tan BD. b=c tan B
2.如图，直角坐标平面内有一点P(2,4)，那么OP与x轴正半轴的夹角α的余切值为( )
A. 2
B. 12
C. 55
D. 5
3.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin∠BAC的值为( )
A. 35B. 34C. 45D. 43
4.△ABC中，∠C=90°，tanA= 22，那么三边BC∶AC∶AB是
( )
A. 1∶2∶3B. 1∶ 2∶ 3C. 2∶ 5∶3D. 2∶3∶ 13
5.如果直线y=12x与x轴正半轴的夹角为锐角α，那么下列各式正确的是
( )
A. sinα=12；B. csα=12；C. tanα=12；D. ctα=12．
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则csA的值为( )
A. 23B. 53C. 2 55D. 52
7.如图，点A(t,3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=32，则t的值是
( )
A. 1B. 1.5C. 2D. 3
8.在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=17，则csA的值是( )
A. 1517B. 817C. 815D. 158
9.如图，在一块直角三角板ABC中，∠A=30∘，则sinA的值是
( )
A. 32B. 12C. 22D. 3
10.常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为(假设有任意角α)( )
A. (sinα+csα)2B. sinα2+csα2C. sinα2+ctα2D. sin2α+cs2α
11.如图，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，并交BA的延长线于点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD上移动.当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为( )
A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°
12.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的边长为3，点O为坐标原点，点A，C分别在x轴、y轴上，点B在第一象限内，直线y=kx+1分别与x轴、y轴、线段BC交于点F、D、G，AE⊥FG，下列结论：①△GCD和△FOD的面积比为3：1；②AE的最大长度为 10；③tan∠FEO=13；④当DA平分∠EAO时，CG=32，其中正确的结论有( )
A. ①②③B. ②③C. ②③④D. ③④
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=2x的图象上，第二象限的点B在反比例函数y=kx的图象上，且OA⊥OB，tan∠BAO=2，则k的值为______．
14.如图，在4×4的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在⊙O上，点E是线段CD与⊙O的交点．则∠AED的正切值为_______．
15.如图，⊙O的直径AB=26，P是AB上(不与点A、B重合)的任一点，点C、D为⊙O上的两点．若∠APD=∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．
(1)若CD的长为134π，“回旋角”∠CPD的度数_______；
(2)若直径AB的“回旋角”为120∘，且ΔPCD的周长为24+13 3，AP的长=__________．
16.如图，点A、B、C为正方形网格纸中的3个格点，则tan∠BAC的值是_______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，E为CD延长线上一点，过E点作⊙O的切线，切点为G，连接AG交CD于F点．
(1)求证：EF=EG；
(2)若FG2=FD⋅FE，试判断AC与GE的位置关系，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，若sinE=35，AH=3，求⊙O半径的长．
18.(本小题8分)
如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上(不与点B，C重合)，连结AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设BGBC=k．
(1)求证：AE=BF．
(2)连结BE，DF，设∠EDF=α，∠EBF=β.求证：tanα=ktanβ．
(3)设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，求S2S1的最大值．
19.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
(1)求证：∠A=∠BCD；
(2)若CD=4 3，∠B=60°，求扇形OAC(阴影部分)的面积．
20.(本小题8分)
如图，在锐角三角形ABC中，AB=BC，以BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E．
(1)求证：CE=DE．
(2)若∠ABC=45°，BO=r，求线段AD的长(用含r的代数式表示)．
21.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，CE切⊙O于点D，交AB延长线于点E，过A作AC⊥CE于点C，连接AD．
(1)求证：AD平分∠CAB；
(2)若B为OE中点，DF⊥AB于F，DF=3，求DE的长度；
(3)连接BD，若AD=2BD，求AB与BE的数量关系．
22.(本小题8分)
如图，已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5，BC=3.求AC的长和sinA的值．
23.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．
(1)求证：OP⊥CD；
(2)连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．
24.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，CB=CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
(1)试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=2 3，∠BCD=60°，求图中阴影部分的面积．
25.(本小题8分)
在▵ABC中，∠ACB是钝角，AD⊥BC交BC的延长线于点D，E，F分别为AC、AB的中点，∠FCE=∠CED.连接DF，EF，设DF与EC交于点O．
(1)求证：OD=OF．
(2)若OF=52，tanB=43时，求AC的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了锐角三角函数的定义，根据锐角三角函数的定义求出对应三角函数值即可．根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题．
【解答】
解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴sinB=bc，即b=csinB，故A选项不成立，B选项成立；
tanB=ba，即b=atanB，故C选项不成立，D选项不成立．
故选B．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了点在平面直角坐标系里的意义以及锐角三角函数的定义．解决本题的关键是构造直角三角形．过点P作PA⊥x轴于点A.由P点的坐标得PA、OA的长，根据余切函数的定义得结论．
【解答】
解：过点P作PA⊥x轴于点A．
由于点P(2,4)，
∴PA=4，OA=2
∴ctα=OAPA=12．
故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：设小正方形的边长为1，作CD⊥AB的延长线于点D．
∵在Rt△ACD中，∠ADC=90°，CD=3，AC= 32+42=5，
∴sin∠BAC=CDAC=35，
故选A．
sin∠BAC的值可以转化为直角三角形的边的比的问题，因而过点C作CD垂直于AB的延长线于点D.在Rt△ADC中根据三角函数的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．也考查了勾股定理．
4.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查解直角三角形的运用，主要利用勾股定理以及锐角三角函数等知识，注意结合图形，灵活选择适当的方法解决问题．
过点C作CD⊥AB，垂足为点D，由∠ACB=90∘，tanA= 22，设CD= 2x，得出AD=2x，再由勾股定理得出AC= 6x，由三角形的面积得出AC⋅BC=CD⋅AB，得出AB=3x，得出三边的比即可．
【解答】
解：如图，
过点C作CD⊥AB，垂足为点D，
∵∠ACB=90∘，tanA= 22，设CD= 2x，
∴AD=2x，
∴AC= AD2+CD2= 6x，
BC=tanA×AC= 3x
∵AC⋅BC=CD⋅AB，
∴AB=3x
∴BC:AC:AB= 3x： 6x：3x=1: 2: 3．
故选：B．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数定义，勾股定理有关知识，设点A(m,12m)，过点A作AH⊥x轴于点H，则AH=12m，OH=m，由勾股定理求出AO，即可求解
【解答】
解：由y=12x与x轴正半轴的夹角为α，
如图，设点A是直线上的点，则设点A(m,12m)，
过点A作AH⊥x轴于点H，则AH=12m，OH=m
∴OA= AH2+OH2= 14m2+m2= 52m
A.sin α=AHAO=12m 52m= 55，错误
B.csα=OHOA=m 52m=2 55，错误
C.tanα=AHOH=12mm=12，正确
D.ctα=OHAH=m12m=2，错误
6.【答案】B
【解析】解：由勾股定理得，AC= AB2−BC2= 32−22= 5，
则csA=ACAB= 53．
故选：B．
根据勾股定理求出AC，根据余弦的定义计算得到答案．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图：
∵点A(t,3)在第一象限，
∴AB=3，OB=t，
又∵tanα=ABOB=32，
∴t=2．
故选：C．
根据正切的定义即可求解．
本题考查锐角三角函数的定义及运用．
8.【答案】A
【解析】解：∵∠C=90°，BC=8，AB=17，
∴AC= AB2−BC2= 172−82=15，
∴csA=ACAB=1517，
故选：A．
本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理．熟练掌握锐角三角函数余弦的定义是解题的关键．
先根据勾股定理求出AC，然后再利用余弦的定义解答即可．
9.【答案】B
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：∵ ∠A=30∘ ，
∴ sinA=sin30∘=12 ．
故选：B．
【点睛】本题词考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：“正弦平方加余弦平方”的数学语言为：sin2α+cs2α.
故选：D．
根据题意即可写出式子．
本题考查了同角三角函数关系，掌握同角三角函数关系的正确表达是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理以及解直角三角形的有关知识，解题的关键是由题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大为90°．
连接BD，AP，由题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大，利用圆周角定理和锐角三角函数定义即可求出∠ABP的度数．
【解答】解：连接BD，AP，
∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，
∴∠ADB=90°，
当∠APB的度数最大时，
则P和D重合，
∴∠APB=90°，
∵AB=2，AD=1，
∴sin∠DBA=ADAB=12，
∴∠ABD=30°，
∴当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为30°．
故选：D．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．
根据面积比等于相似比的平方，可判断①；由∠AOD=90°，∠AED=90°可得A，E，D，O四点共圆，所以AE最大值就是直径AD，tan∠FEO=tan∠DAO，可判断②、③；当DA平分∠EAO，根据△ADE≌△ADO可得AE=3，DE=1，由△AEF∽△DOF可求OF的长，进而求出CG的长，即可判断④．
【解答】
解∵ABCD是正方形，
∴AO=AB=BC=CO=3，BC//AO，
∵直线y=kx+1分别与y轴交于点D，
∴DO=1，
∴CD=2，AD= OD2+OA2= 10，
∵BC//AO，
∴△DFO∽△DGC，
∴S △CDGS △DOF=(CDDO)2=41，故①错误；
取AD的中点N，连NO、NE，
∵∠AOD=90°，∠AED=90°，
∴NO=NA=ND=NE，
∴A，E，D，O四点共圆，
∴AE的最大值是直径AD= 10，∠FEO=∠DAO，
∴tan∠FEO=tan∠DAO=DOAO=13故②、③正确；
当DA平分∠EAO时，∵DE⊥AE，DO⊥AO，
∴DE=DO=1，且AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADO，
∴AO=AE=3，
设OF=a，则CG=2a，AF=3+a，
∴DF= a2+1，
∵∠DFO=∠DFO，∠DOF=∠AEF=90°，
∴△DFO∽△AFE，
∴DOAE=DFAF，
∴13= a2+13+a，
∴a=34或a=0(不合题意，舍去)，且适合此方程，
∵△DFO∽△DGC，
∴OFCG=DOCD=12，
∴CG=2a=32，故④正确．
13.【答案】−8
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义．作BC⊥x轴于C，AD⊥x轴于D，如图，利用反比例函数系数的几何意义得到S△AOD=1，再根据正切的意义得到tan∠BAO=OBOA=2，接着证明Rt△AOD∽Rt△OBC，利用相似三角形的性质得S△OBC=4S△AOD=4，所以12⋅|k|=4，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
【解答】
解：作BC⊥x轴于C，AD⊥x轴于D，如图，则S△AOD=12×2=1，
在Rt△AOB中，tan∠BAO=OBOA=2，
∵∠AOD+∠BOC=90°，∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
∴Rt△AOD∽Rt△OBC，
∴S△OBCS△AOD=(OBOA)2=4，
∴S△OBC=4S△AOD=4，
∴12⋅|k|=4，
而k<0，
∴k=−8．
故答案为：−8．
14.【答案】1
【解析】解：如图，连接AD，
∴∠AED=∠ABD，
∵BD是直径，
∴∠BAD=90°，
在Rt△BAD中，
∴AD=AB，
∴tan∠AED=tan∠ABD=ADAB=1，
故答案为：1．
根据“同弧所对的圆周角相等”可得∠AED=∠ABD，然后证明∠BAD=90°，最后证明AD=AB即可求解，
本题主要考查圆周角定理，锐角三角形函数的定义，利用圆周角定理把所求角经过等量转换放在直角三角形中是解题关键．
15.【答案】(1)45°
(2) 3或23
【解析】解：(1)如图，连接OC、OD，
∵AB=26，
∴OC=OD=OA=13，
设∠COD=n°，
∵CD的长为134π，
∴nπ×13180=134π，
∴n=45，
∴∠COD=45°，
作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，
∴∠BPC=∠OPE，
∵∠CPD为直径AB的“回旋角”，
∴∠APD=∠BPC，
∴∠OPE=∠APD，
∵∠APD+∠CPD+∠BPC=180°，
∴∠OPE+∠CPD+∠BPC=180°，
∴点D，P，E三点共线，
∴∠CED=12∠COD=22.5°，
∴∠OPE=90°−22.5°=67.5°，
∴∠APD=∠BPC=67.5°，
∴∠CPD=180°−∠APD−∠BPC=45°，即：“回旋角”∠CPD的度数为45°，
故答案为：45°；
(2)①当点P在半径OA上时，如图，过点C作CF⊥AB交⊙O于F，连接PF，
∴PF=PC，
同(2)的方法得，点D，P，F在同一条直线上，
∵直径AB的“回旋角”为120°，
∴∠APD=∠BPC=30°，
∴∠CPF=60°，
∴△PCF是等边三角形，
∴∠CFD=60°，
连接OC，OD，
∴∠COD=120°，
过点O作OG⊥CD于G，
∴CD=2DG，∠DOG=12∠COD=60°，
∴DG=ODsin∠DOG=13×sin60°=13 32，
∴CD=13 3，
∵△PCD的周长为24+13 3，
∴PD+PC=24，
∵PC=PF，
∴PD+PF=DF=24，
过O作OH⊥DF于H，
∴DH=12DF=12，
在Rt△OHD中，OH= OD2−DH2=5，
在Rt△OHP中，∠OPH=30°，
∴OP=2OH=10，
∴AP=OA−OP=3；
②当点P在半径OB上时，
同①的方法得，BP=3，
∴AP=AB−BP=23，
即：满足条件的AP的长为3或23．
(1)先求出∠COD=45°，进而判断出点D，P，E在同一条直线上，求出∠CED，即可得出结论；
(2)①当点P在半径OA上时，利用(2)的方法求出∠CFD=60°，∠COD=120°，利用三角函数求出CD，进而求出DF，再用勾股定理求出OH，即可求出OP即可得出结论；
②当点P在半径OB上时，同①方法求出BP=3，即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，三点共线，锐角三角函数，勾股定理，新定义，正确作出辅助线是解本题的关键．
16.【答案】 2
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，三角形面积，锐角三角函数的定义，作出AC边上的高是解题的关键．
作BD⊥AC，先根据勾股定理和三角形面积公式求出BD的长，进而求出AD的长，由正切函数的定义即可求解．
【解答】
解：设正方形网格中小正方形的边长为1，作BD⊥AC交AC于D，
则AC= 42+22=2 5，
以BC为底边可得△ABC面积为12×5×4=10，
∴12×AC×BD=10，
∴BD=2S△ABCAC=2×102 5=2 5，
∵AB= 32+42=5，
∴AD= AB2−BD2= 52−2 52= 5，
∴tan∠BAC=BDAD=2 5 5=2．
故答案为2．
17.【答案】(1)证明：如图，连接OG，
∵EG为切线，
∴∠FGE+∠OGA=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AFH+∠OAG=90°，
∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG，
∴∠FGE=∠AFH=∠GFE，
∴EF=EG；
(2)AC//GE，理由为：
如图，连接GD，
∵FG2=FD⋅FE，即FGFD=EFFG，
∵∠DFG=∠GFE，
∴△GFD∽△EFG，
∴∠E=∠AGD，
∵∠C=∠AGD，
∴∠E=∠C，
∴AC//GE；
(3)如图，连接OC，
∵AC//GE，
∴sinE=sin∠ACH=35，
∴AHAC=35，
∵AH=3，则AC=5，CH=4，
设⊙O半径为r，
在Rt△OCH中，OC=r，OH=r−3，CH=4，
由勾股定理可得：OH2+CH2=OC2，即(r−3)2+42=r2，
解得r=256，
∴⊙O半径的长为256．
【解析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形判定，熟练掌握定理以及性质是解决问题的关键．
(1)连接OG，根据切线性质以及CD⊥AB，可以推出∠FGE=∠AFH=∠GFE，根据等角对等边得到EF=EG；
(2)AC//EG，理由为：连接GD，根据∠DFG=∠GFE和FG2=FD⋅FE，可以推出△GFD∽△EFG，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可以推知∠E=∠C，从而得到AC//EG；
(3)连接OC，设⊙O半径为r，求出AC=5，CH=4，根据勾股定理列方程可以求解圆的半径．
18.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠BAG+∠DAG=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠BFA=90°，
∴∠ADE+∠DAG=90°，
∴∠BAG=∠DAE，
∴△ADE≌△BAF(AAS)，
∴AE=BF，
(2)由(1)知，∠BAG=∠EDA，
∵∠ABG=∠DEA，
∴△ABG∽△DEA，
∴ABDE=BGAE，
∴AEDE=BGAB=BGBC=k
在Rt△DEF中，EF=DE⋅tanα，
在Rt△BEF中，EF=BF⋅tanβ，
∴DE⋅tanα=BF⋅tanβ，
∴tanα=BFDE⋅tanβ=AEDE⋅tanβ=ktanβ；
(3)方法1、如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC//AD，AD=BC，
∵BGBC=k，
∴BGAD=k，
∵AD//BC，
∴△ADH∽△GBH，
∴S1S△BHG=S△ADHS△BHG=(ADBG)2=1k2，
∴S1=1k2⋅S△BHG，
设△BHG的边BG上的高为h，△ADH的边AD上的高为h′，
∴△ADH∽△GBH
∴hh′=BGAD=k，∴h=kh′
∴S△BHGS△BCD=12BG⋅h12BC(h+h′)=BGBC×kh′kh ′+h ′=k×kk+1=k2k+1
∴S△BCD=k+1k2S△BHG，
∴S2=S△BCD−S△BHG=k+1−k2k2S△BHG，
S2S1=k+1−k2k21k2=−k2+k+1=−(k−12)2=−(k−12)2+54
∴k=12时，S2S1的最大值为54
方法2、如图1，
设正方形的边长为1，
连接BD交AG于H，过H作MN⊥BC交AD于M，BC于N，
设HN=h，HM=h′，
∴h+h′=1，
∵BGBC=k，
∴BG=k，hh′=BGAD=k，
S2=12BC×CD−12k×h=12−12kh，
S1=12AD×h′=12h′
∴S2S1=12−12kh12h′
=1h′−khh′
=h+h′h′−khh′
=hh′+1−hh′×k
=−(k−12)2+54，
∴k=12时，S2S1的最大值为54．
【解析】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，比例的性质，判断出S2=1k⋅S△BHG是解本题的关键．
(1)利用同角的余角相等判断出∠BAG=∠DAE，进而得出△ADE≌△BAF，即可得出结论；
(2)先判断出△ABG∽△DEA，进而得出AEAD=k，再根据锐角三角函数即可得出结论；
(3)方法1、先判断出S1=1k2⋅S△BHG，再判断出S2=k+1−k2k2S△BHG，即可得出结论．
方法2、先表示出S2=12BC×CD−12k×h=12−12kh，S1=12AD×h′=12h′，即可得出结论．
19.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴BC=BD，
∴∠A=∠BCD；
(2)解：∵OC=OB，∠B=60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=12CD=2 3，
在Rt△COE中，OC=CEsin∠COB=4，
∴扇形OAC(阴影部分)的面积=120π×42360=163π.
【解析】(1)根据垂径定理得到BC=BD，根据圆周角定理证明结论；
(2)根据等边三角形的判定定理得到△BOC为等边三角形，求出∠AOC，根据正弦的定义求出OC，利用扇形面积公式计算即可．
本题考查的是扇形面积计算、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式S=nπR2360是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：连接BE，如图所示，
∵BC为直径，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥AC，
∵AB=BC，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴CE=DE．
(2)解：连接CD，如图所示，
∵BO=r，
∴BC=2BO=2r，
∴AB=BC=2r，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
在Rt△BCD中，
cs∠DBC=BDBC，
∴BD=BC⋅cs∠DBC=2r⋅cs45°= 2r.
∴AD=AB−BD=2r− 2r=(2− 2)r．
【解析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键．
(1)连结BE，如图，根据圆周角定理，由BC为⊙O的直径得到∠BEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到AE=CE，进而利用等腰三角形的性质得出∠ABE=∠CBE，进而证明即可；
(2)连接CD，如图，先根据等腰三角形的性质得出AB=BC=2r，再利用圆周角定理得出∠BDC=90°，然后利用锐角三角函数定义可计算出BD的长，从而得到AD的长．
21.【答案】解：(1)证明：连接OD，
∵CE是⊙O的切线，
∴OD⊥CE，
∵AC⊥CE，
∴OD//AC，
∴∠ODA=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠DAC，
即AD平分∠CAB；
(2)∵B为OE的中点
∴OE=2OB，
∵OB=OD，
∴在Rt△ODE中，sinE=ODOE=12，
∴∠E=30°，
在Rt△DEF中，DE=DFsin30∘=6；
(3)AB与BE的数量关系为AB=3BE
理由如下：∵CE是⊙O的切线，
∴OD⊥CE，
∴∠EDB+∠BDO=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBO+∠DAB=90°，
∵OB=OD，
∴∠BDO=∠DBO，
∴∠EDB=∠DAB，
又∵∠E=∠E，
∴△EBD∽△EDA，
∴BEDE=DEAE=BDAD=12
∴AE=2DE，DE=2BE，
∴AE=4BE，
∴AB=AE−BE=3BE，
∴AB=3BE．
【解析】(1)连接OD，根CE是⊙O的切线，得OD⊥CE，由AC⊥CE得出OD//AC，通过等量代换得出AD平分∠CAB；
(2)由B为OE的中点得出OE=2OB，在Rt△ODE中根据三角函数得出sinE=ODOE=12；
(3)由CE是⊙O的切线，得到∠EDB+∠BDO=90°，由AB为⊙O的直径，推出∠DBO+∠DAB=90°，然后证明△EBD∽△EDA，推出BEDE=DEAE=BDAD=12，所以AE=2DE，DE=2BE，推出AB=3BE．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直径三角形．
22.【答案】解：∵∠C=Rt∠，AB=5，BC=3，
∴AC=AB2−BC2=52−32=4，
sinA=BCAB=35．
答：AC的长为4，sinA的值为35.
【解析】根据勾股定理求AC的长，根据正弦的定义求sinA的值．
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
23.【答案】解：(1)连接OC，OD，设CD交PO于点M，
∴OC=OD，
∵PD，PC是⊙O的切线，
∴∠ODP=∠OCP=90°，
在Rt△ODP和Rt△OCP中，OD=OCOP=OP，
∴Rt△ODP≌Rt△OCP，
∴∠DOP=∠COP，
∵OD=OC，OM=OM，
∴△ODM≌△OCM，
∴∠OMD=∠OMC=90°，
∴OP⊥CD；
(2)如图，连接OD，OC，
∴OA=OD=OC=OB=2，
∴∠ADO=∠DAO=50°，∠BCO=∠CBO=70°，
∴∠AOD=80°，∠BOC=40°，
∴∠COD=60°，
∵OD=OC，
∴△COD是等边三角形，
由(1)知，∠DOP=∠COP=30°，
在Rt△ODP中，OP=ODcs30∘=4 33．
【解析】此题主要考查了等腰三角形的性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键．
(1)先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP=∠COP，即可得出结论；
(2)先求出∠COD=60°，得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论．
24.【答案】解：(1)过点B作BF⊥CD，垂足为F，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB．
在△ABD和△FBD中，
∠ADB=∠FDB∠BAD=∠BFDBD=BD，
∴△ABD≌△FBD(AAS)，
∴BF=BA，则点F在圆B上，
∴CD与⊙B相切；
(2)∵∠BCD=60°，CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD=60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，
∴∠ABF=60°，
∵AB=BF=2 3，
∴AD=DF=AB·tan30°=2，
∴阴影部分的面积=S△ABD−S扇形ABE
=12×2 3×2−30×π×(2 3)2360
=2 3−π．
【解析】(1)过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF=BA，即可证明CD与圆B相切；
(2)先证明△BCD是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD，再利用S△ABD−S扇形ABE求出阴影部分面积．
本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确作出辅助线．
25.【答案】解：(1)证明：∵E，F分别为AC、AB的中点，
∴FE//BD，BC=2FE．
∵∠FCE=∠CED，
∴DE//CF，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴OD=OF;
(2)∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90∘．
又∵F是AB的中点，
∴AB=2FD=4FO=4×52=10．
∵tanB=ADBD=43，
∴设AD=4x，BD=3x，
∵AD2+BD2=AB2，
∴(4x)2+(3x)2=102，
解得x=2，
∴AD=8，BD=6．
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴CD=FE，即BC=2CD，
∴CD=2，
∴AC= CD2+AD2= 22+82=2 17．
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，正切函数的定义，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握和运用各性质是解决本题的关键．
(1)首先根据E，F分别为AC、AB的中点，可证得EF//BD，再根据∠FCE=∠CED，可证得DE//CF，即可证得四边形CDEF是平行四边形的，据此即可证得结论;
(2)首先根据直角三角形斜边上的中线的性质，可求得AB=2FD=4FO=10，再由ADBD=tanB=43，可求得AD=8，BD=6，再根据EF=CD=12BC，即可求得CD的长，最后根据勾股定理即可求得AC的长．
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