苏科版九年级下册7.3 特殊角的三角函数精品复习练习题

这是一份苏科版九年级下册7.3 特殊角的三角函数精品复习练习题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.计算2cs30°的结果为( )
A. 12B. 1C. 3D. 2 33
2.如图1，是一种折叠桌子，它是由下面的支架AD、BC与桌面构成，如图2，已知OA=OB=OC=OD=20 3cm，∠COD=60°，则点A到地面(CD所在的平面)的距离是( )
A. 30 3cm
B. 60 3cm
C. 40cm
D. 60cm
3.如图，在平面直角坐标系中，正八边形ABCDEFGH的中心与原点O重合，顶点A，E在y轴上，顶点G，C在x轴上，连接OB，过点A作OB的垂线，垂足为P，将△APB绕点O顺时针旋转，每次抛转45°，已知OA=3，则第82次旋转结束时，点P的坐标为( )
A. (32,32)B. (−32,32)C. (0,32)D. (32,0)
4.已知α为锐角，tan(90°−α)= 33，则α的度数为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
5.计算：2cs60∘的值是
( )
A. 3B. 1C. 2D. 12
6.下列不等式不成立的是
( )
A. sin20∘C. tan20∘7.如图，两根木条钉成一个角形框架∠AOB，且∠AOB=120∘，AO=BO=4cm，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，在平面内，拉动橡皮筋上的一点C，当四边形OACB是菱形时，橡皮筋再次被拉长了( )
A. 2cmB. 4cmC. (4 3−4)cmD. (8−4 3)cm
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OBA的顶点A( 3,1)，直角顶点B在一次函数y= 3x的图象上，分别以点O、A为圆心，以大于12OA的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与OB交于点P，则点P的坐标为( )
A. ( 34,1)B. (23,1)C. ( 33,1)D. ( 32,1)
9.如图，△OAC按顺时针方向旋转，点O在坐标原点上，OA边在x轴上，OA=8，AC=4，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转得到△O′AC′，使得点O′的坐标是(4,4 3)，则在这次旋转过程中线段OC扫过部分(阴影部分)的面积为
( )
A. 8πB. 2π3C. 2πD. 48π
10.若α，β是一个三角形的两个锐角，且满足|sinα− 32|+( 3−tanβ)2=0，则此三角形的形状是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
11.已知a=3，且(4tan45°−b)2+ 3+12b−c=0，以a，b，c为边组成的三角形面积等于( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
12.若(tanA−1)2+|2csB− 3|=0，则△ABC的形状是
( )
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.在△ABC中，若|sinA−12|+ 22−csB2=0，则∠C的度数是 ．
14.如图，在菱形ABCD中，AC=2cm，BD=2 3cm，分别以A、C为圆心，AC为半径作弧，则图中阴影部分面积等于___________cm2．
15.如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，则sin(∠CAB+∠ABC)=___．
16.在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，|sinA−12|+1−tanB2=0，那么∠C的度数为 °.
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
(1)2(x−3)2=x2−9；
(2)6tan230°− 3sin60°−2cs45°．
18.(本小题8分)
(1)计算：(π− 3)0+(13)−2+ 27−9tan30°．
(2)解不等式组3x−219.(本小题8分)
(1)计算：2sin45°+| 2−1|−(12)−2+2 3− 2．
(2)解不等式组：3x−3>4x1−2x2<−x2，并把解集在数轴上表示出来．
(3)先化简、再求值：(1x−1+x−3x2−1)÷xx+1，其中x从0，1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．
20.(本小题8分)
先化简，再求值：a2−4a+4a−1÷(a+1−3a−1)−1，其中a=sin30°+ 2cs45°．
21.(本小题8分)
(1)计算：(π−2023)0−2cs30°− 25+|1− 3|；
(2)解不等式组：4x−3<2(x+3)①13x+2≥3−23x②．
22.(本小题8分)
阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：
sinα=BCAC，csα=ABAC，tanα=BCAB
一般地，当α、β为任意角时，sin(α+β)与sin(α−β)的值可以用下面的公式求得：
sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ
sin(α−β)=sinαcsβ−csαsinβ
例如sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cs30°−cs45°sin30°
= 22× 32− 22×12= 6− 24
根据上述材料内容，解决下列问题：
(1)计算：sin75°=______；
(2)在Rt△ABC中，∠A=75°，∠C=90°，AB=4，请你求出AC和BC的长．
23.(本小题8分)
计算：(1)计算：|− 3|+(15)−1− 27+2cs30°；
(2)先化简，再求值：x−2x2+2x+1÷(2x−1x+1−x+1)，其中x是满足−224.(本小题8分)
(1)计算：(π−1)0+4sin45°− 8+|−2|；(2)解不等式组：2−4x<7+xx−1≤4+x2．
25.(本小题8分)
先化简，再求代数式的值：(3a+1−a+1)÷a2+4a+4a+1，其中a=| 3−2|+tan60°+(−12)−2．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵cs30°= 32，
∴2cs30°=2× 32= 3．
故选：C．
利用30度的余弦值为 32进行计算．
本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：如图，连接CD，过点O作OF⊥CD交于点F，延长FO交AB于点E，
由题意可知AB/​/CD，
∴OE⊥AB，
∵OA=OB=OC=OD=20 3，∠COD=∠AOB=60°，
∴△COD、△AOB为等边三角形，△COD≌△AOB，
∴∠COF=30°，OF=OE，
∴OF=OC⋅cs∠COF=20 3× 32=30cm，
∴EF=2OF=60cm，
即点A到地面的距离为60cm．
故选：D．
连接CD，过点O作OF⊥CD交于点F，延长FO交AB于点E，根据锐角三角函数求出OF的长，进而得到EF的长．
本题考查了特殊角的三角函数，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】【分析】由ABCDEFGH是正八边形，得∠AOB为45°，利用勾股定理求出OP，过点P作x轴的垂线，垂足Q，在Rt△OPQ中，求出OQ= 32，又因为∠BOC=∠AOB=45°，得出PQ=0Q=32，求出点P的坐标为(32,32)，将△APB绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则每旋转8次回到初始位置，则第80次旋转结束时，△APB回到初始位置，此时点P的坐标为(32,32)，连接OD，第82次旋转结束时点P′位于OD上，得OPˈ=OP，∠P′OQ=∠POQ=45°，则点P″与点P关于x轴对称，则P′(32,32)，
【解答】解∵ABCDEFGH是正八边形，
∴∠AOB=360°÷8=45°，
在Rt△APO 中，OP=OAcs45∘=3× 22=3 22，
如图，过点P作x轴的垂线，垂足Q，
在Rt△OPQ中，OQ=OP⋅cs45°=3 22× 22= 32，
∵∠BOC=∠AOB=45°，
∴PQ=0Q=32，
∴点P的坐标为(32,32)，
将△APB绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则每旋转8次回到初始位置，
∴第80次旋转结束时，△APB回到初始位置，此时点P的坐标为(32,32)，
连接OD，第82次旋转结束时点P′位于OD上，得OPˈ=OP，∠P′OQ=∠POQ=45°，
∴点 P″与点P关于x轴对称，
∴P′(32,32)，
∴第82次旋转结束时，点P的坐标为(32,−32)，
故选：A．
【点评】本题考查正多边形和圆、坐标与图形变化—旋转，解题的关键是掌握相关知识点．
4.【答案】C
【解析】解：∵α为锐角，tan(90°−α)= 33，
∴90°−α=30°，
∴α=60°．
故选：C．
先根据α为锐角及tan30°= 33解答即可．
本题主要考查特殊角的三角函数值，比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可解答．
5.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是关键．
【解答】
解：2cs60∘=2×12=1，
故选B．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了特殊角的三角函数值，锐角三角函数的增减性，熟记公式是解题的关键，属于基础题. 直接根据两角和与差的正弦和余弦公式解答即可．
【解答】
A.sin 20°B.cs 20°>cs 40°>cs 70° ，故本选项不成立；
C.tan 20°D.sin 30°故选B．
7.【答案】D
【解析】如图，连接OC，交AB于点E．∵四边形OACB是菱形，∴BC=AC=AO=4cm，OC⊥AB，BE=12AB，∠BOE=12∠AOB=60∘.在Rt△BOE中∵BO=4cm，∠BOE=60∘，sin∠BOE=BEOB，∴BE=sin60∘×4= 32×4=2 3(cm)，∴AB=2BE=4 3cm，∴BC+CA−AB=4+4−4 3=(8−4 3)cm.故选D．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查坐标与图形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，线段垂直平分线的作法及性质，一次函数的性质，锐角三角函数定义等知识．
作AQ⊥OQ，垂足为Q，作PD⊥x轴，垂足为D，先求出∠AOQ=30°，∠BOQ=60°，求出OA，∠AOB=30°，再根据垂直平分线的作法可得OC=1，再用直角三角形的性质和勾股定理求出OP，OD，PD，即可解答．
【解答】
解：如图：作AQ⊥OQ，垂足为Q，作PD⊥x轴，垂足为D，
∵A( 3,1)
∴tan∠AOQ=1 3= 33，
∴∠AOQ=30°，
在一次函数y= 3x取点(1, 3)，
则tan∠BOQ= 3，
∴∠BOQ=60°，
∴∠AOB=30°，OA= 32+12=2，
设OA与MN交于点C，则由作图可知OC=1，
∵OP=2PC，OP2=PC2+OC2
∴OP=2 33，
∵∠OPD=90°−∠BOQ=30°
∴OD=12OP= 33 ，PD= OP2−OD2=1
∴P的坐标为( 33,1)．
故选C．
9.【答案】A
【解析】解：作O′M⊥OA于M，
则∠O′MA=90∘，
∵点O′的坐标是(4,4 3)，
∴O′M=4 3，OM=4，
∵AO=8，
∴AM=8−4=4，
∴tan∠O′AM=4 34= 3，
∴∠O′AM=60∘，即旋转角为60∘，
∴∠CAC′=∠OAO′=60∘，
∵△OAC绕点A按顺时针方向旋转得到△O′AC′，
∴S△OAC=S△O′AC′，
∴阴影部分的面积=S扇形OAO′+S△O′AC′−S△OAC−S扇形CAC′
=S扇形OAO′−S扇形CAC′
=60π⋅82360−60π⋅42360
=8π，
故选A．
本题考查了解直角三角形，旋转的性质、扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求出规则图形的面积是解此题的关键．
过O′作O′M⊥OA于M，解直角三角形求出旋转角的度数，根据图形得出阴影部分的面积S=S扇形OAO′+S△O′AC′−S△OAC−S扇形CAC′=S扇形OAO′−S扇形CAC′，分别求出即可．
10.【答案】C
【解析】解：∵|sinα− 32|+( 3−tanβ)2=0，
∴sinα− 32=0， 3−tan β=0，
∴sinα= 32，tanβ= 3，
又∵α，β都是锐角，
∴α=60°，β=60°，
∴此三角形的形状是等边三角形．
故选：C．
根据非负数的性质可知sinα= 32，tanβ= 3；根据α，β都是锐角可知α=60°，β=60°，从而判断三角形的形状．
考查了三角形的形状问题，熟记特殊角的三角函数值和非负数的性质是解答此题的关键．
11.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了非负性的性质及勾股定理逆定理的应用，先根据非负数的性质及特殊教的三角函数值求出c，b的值，再根据勾股定理的逆定理判断出其形状，从而求解面积．
【解答】
解：∵(4tan45°−b)2+ 3+12b−c=0，
∴4tan45°−b=0， 3+12b−c=0，
∴b=4，3+12b−c=0，∴c=5．
又∵a2+b2=9+16=25=c2，
∴△ABC是直角三角形，且a，b为两条直角边，
∴△ABC的面积=12ab=12×3×4=6．
故选A．
12.【答案】C
【解析】解：∵(tanA−1)2+|2csB− 3|=0，
∴tanA=1，2csB= 3，
则tanA=1，csB= 32，
故∠A=45°，∠B=30°，
则∠C=105°，
故△ABC的形状是钝角三角形．
故选：C．
直接利用特殊角的三角函数值得出∠A=45°，∠B=30°，进而得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
13.【答案】105°
【解析】【分析】
本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】
解：由题意得，sinA−12=0， 22−csB=0，
即sinA=12， 22=csB，
解得，∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=105°．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查菱形的性质，特殊角的函数值，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识属于中考常考题型．
在菱形ABCD中，AC⊥BD于O，得出则OA=1cm，OB= 3cm，得出∠CAB=60°，再用割补法求面积．
【解答】
解：如图：
在菱形ABCD中，AC⊥BD于O，
则OA=12AC=1cm，OB=12BD= 3cm
∴tan∠BAO= 3
∴∠CAB=60°
∴S
15.【答案】 22
【解析】【分析】
本题考查了三角形外角性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，正确作出图形是解题的关键．根据三角形外角的性质得到∠DCB=∠CAB+∠ABC，推出△CDB是等腰直角三角形，得到∠DCB=45°，即可解答．
【解答】
解：如图，
∵∠D=90°，
CD=BD= 22+42=2 5，
∴△CDB是等腰直角三角形，
∴∠DCB=45°，
∵∠DCB=∠CAB+∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC=45°，
∴sin(∠CAB+∠ABC)=sin45°= 22，
故答案为 22．
16.【答案】105
【解析】∵|sinA−12|+1−tanB2=0，
∴|sinA−12|=0，1−tanB2=0，∴sinA=12，tanB=1，
∴∠A=30∘，∠B=45∘，∴∠C=180∘−30∘−45∘=105∘．
17.【答案】解：(1)2(x−3)2=x2−9，
2(x−3)2−(x+3)(x−3)=0，
(x−3)(x−9)=0，
∴x−3=0或x−9=0，
∴x1=3，x2=9；
(2)原式=6×( 33)2− 3× 32−2× 22
=6×13−32− 2
=2−32− 2
=12− 2．
【解析】(1)利用因式分解法求解即可；
(2)将特殊锐角的三角函数值代入，再计算乘方和后面的乘法，继而进一步计算即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力及实数的运算能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18.【答案】解：(1)原式=1+1(13)2+3 3−9× 33=1+9+3 3−3 3=10；
(2)3x−2解不等式①，得x<1，
解不等式②，得x≥−52，
所以，该不等式组的解集为−52≤x<1．
【解析】(1)先按照零指数幂、负整数指数幂的意义、二次根式的性质、特殊角的三角函数值逐项化简，再算加减即可；
(2)分别求出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小找不到”的原则即可获得答案．
本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂的意义、二次根式的性质、特殊角的三角函数值以及解一元一次不等式组等知识，熟练掌握相关知识和运算法则是解题关键．
19.【答案】解：(1)原式=2× 22+ 2−1−4+2( 3+ 2)
= 2+ 2−1−4+2 3+2 2
=4 2+2 3−5；
(2)解不等式3x−3>4x，得：x<−3，
解不等式1−2x2<−x2，得：x>1，
把解集在数轴上表示出来：

该不等式组无解；
(3)原式=[x+1(x+1)(x−1)+x−3(x+1)(x−1)]⋅x+1x
=2(x−1)(x+1)(x−1)⋅x+1x
=2x，
∵x≠1，−1，0，
∴当x=2时，原式=22=1．
【解析】(1)分别根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质及负整数指数幂的运算法则，分母有理化计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
(3)先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的，最后结合分式有意义的条件选取合适的x的值代入求值．
本题主要考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20.【答案】解：a2−4a+4a−1÷(a+1−3a−1)−1
=(a−2)2a−1÷(a+1)(a−1)−3a−1−1
=(a−2)2a−1÷a2−4a−1−1
=(a−2)2a−1⋅a−1(a+2)(a−2)−1
=a−2a+2−1
=a−2−(a+2)a+2
=−4a+2，
当a=sin30°+ 2cs45°=12+ 2× 22=12+1=32时，
原式=−432+2=−87．
【解析】先关键分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则进行计算，再算减法，求出a的值后代入，即可求出答案．
本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
21.【答案】解：(1)原式=1−2× 32−5+ 3−1
=1− 3−5+ 3−1
=−5；
(2)解不等式①得：x<4.5；
解不等式②得：x≥1；
原不等式的解集为1≤x<4.5，
【解析】(1)原式第一项利用零指数幂的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值化简，第三项利用平方根的意义计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果．
(2)先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
本题考查了实数的运算，解一元一次不等式组，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．
22.【答案】解：(1) 2+ 64；
(2)Rt△ABC中，∵sin∠A=sin75°=BCAB= 2+ 64，
∴BC=AB× 2+ 64=4× 2+ 64= 2+ 6，
∵∠B=90°−∠A，
∴∠B=15°，
∵sin∠B=sin15°=ACAB= 6− 24，
∴AC=AB× 6− 24= 6− 2．
【解析】解：(1)sin75°=sin(30°+45°)
=sin30°cs45°+cs30°sin45°
=12× 22+ 32× 22
= 2+ 64，
故答案为： 2+ 64．
(2)见答案
本题考查了锐角三角函数的定义，利用特殊的三角函数值求线段的长度是解本题的关键．
(1)根据公式可求．
(2)根据锐角的三角函数的定义，求AC和BC的值．
23.【答案】解：(1)原式= 3+5−3 3+2× 32
=5−2 3+ 3
=5− 3；
(2)原式=x−2(x+1)2÷[2x−1x+1−x2−1x+1]
=x−2(x+1)2÷2x−1−x2+1x+1
=x−2(x+1)2÷−x(x−2)x+1
=x−2(x+1)2⋅x+1−x(x−2)
=−1x(x+1)，
∵x是满足−2∴x≠−1，0，2，
∴x=1时，原式=−11×(1+1)=−12．
【解析】(1)分别根据绝对值的性质及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算；
(2)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再取出合适的x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，涉及到绝对值的性质及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键．
24.【答案】解：(1)原式=1+4× 22−2 2+2
=1+2 2−2 2+2
=3；
(2)2−4x<7+x①x−1≤4+x2②，
解不等式①，得：x>−1，
解不等式②，得：x≤6，
则不等式组的解集为−1【解析】(1)先计算零指数幂、代入三角函数值、化简二次根式，去绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
25.【答案】解：(3a+1−a+1)÷a2+4a+4a+1
=[3a+1−(a−1)]÷(a+2)2a+1
=3−(a+1)(a−1)a+1⋅a+1(a+2)2
=−a2+4a+1⋅a+1(a+2)2
=−(a+2)(a−2)a+1⋅a+1(a+2)2
=−a−2a+2，
a=| 3−2|+tan60°+(−12)−2
=2− 3+ 3+4
=6，
当a=6时，原式=−6−26+2=−12．
【解析】先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法变成乘法，算乘法，求出a的值，最后代入求出答案．
本题考查了分式的化简求值，实数的混合运算，特殊角的三角函数值和负整数指数幂等知识点，能正确根据实数和分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．