初中苏科版7.2 正弦、余弦课后复习题

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7.2正弦、余弦同步练习苏科版初中数学九年级下册

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，由边长为的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，以为直径的圆经过点、，则的值为

A.
B.
C.
D.

2. 在中，若，，则的值为

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为

A.
B.
C.
D.

4. 如图，、、三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点逆时针旋转得到，则的值为

A.
B.
C.
D.

5. 已知在中，，，，则的值是

A.  B.  C.  D.

6. 若角，都是锐角，以下结论：
   若，则；若，则；若，则；若，则其中正确的是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，，，，以的中点为圆心，的长为半径作半圆交于点，则图中阴影部分的面积为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，矩形内接于，点是上一点，连接、，若，则的值为

A.
B.
C.
D.

9. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为

A.
B.
C.
D.

11. 已知，在中，，若，，则长为

A.  B.  C.  D.

12. 在中，，，，则的值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 在中，，，，则______．
14. 如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是______．

15. 如图，一根竖直的木杆在离地面处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成角，则木杆折断之前高度约为______
    参考数据：，，
16. 如图，在中，，于点，，，则______．
    
     

17. 在中，，，，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点．
    求证：∽；
    若，，求的长；
    若，记，，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，是的弦，为半径的中点，过作交弦于点，交于点，且是的切线，
    求证：；
    连接，，求；
    如果，，，求的半径．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，是的外接圆，是直径，弦，，交的延长线于点．
    求证：是的切线；
     当，时，求的长．
    
     

21. 如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画，与边相切于点，，连接交于点，连接，并延长交线段于点．
    求证：是的切线；
    若，，求的半径；
    若是的中点，试探究与的数量关系并说明理由．

22. 如图，点是边上一点不与点、点重合，延长到，使，点是直线外一点，且，．

求证：≌；

已知，，连接．

若点是的外心，求的取值范围；

若，求的最小值．






 

23. 如图，在矩形中，，，、分别为、的中点，等腰直角三角形纸片如图放置，斜边与重合，且，将三角形纸片在矩形所在平面内移动，使得顶点从点出发沿着向点运动，顶点在上运动．
    当点在线段上时，如图，若，求的长度；
    若，求的长；

在点从点运动到点的过程中，直接写出点的运动路径长．






 

24. 如图，在中，，为的中点，以为直径的分别交，于点，两点，过点作于点．
    
    试判断与的位置关系，并说明理由．
    若，，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在中，，是边的中线，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点．
    求证：四边形是矩形；
    连接，交于点，若，，求的值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
首先根据圆周角定理可知，，然后在中，根据锐角三角函数的定义求出的正弦值．
本题考查了圆周角定理，锐角三角函数的定义，勾股定理，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求的正弦值．
【解答】
解：如图，

和所对的弧长都是，
根据圆周角定理知，．
在中，根据锐角三角函数的定义知，
，
，，
，
，
．
故选：．  

2.【答案】
 

【解析】解：，，，
，
故选：．
根据正弦：我们把锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作进行计算即可．
此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．
 

3.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作于．

在中，，，
，
，
故选：．
如图，过点作于利用勾股定理求出即可解决问题．
本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

4.【答案】
 

【解析】解：如图所示：连接，，

由网格利用勾股定理得：，，，
，
是直角三角形，
则，
，
故选：．
利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，根据锐角三角函数关系进而得出答案．
此题主要考查了旋转的性质以及勾股定理及其逆定理和锐角三角函数关系，得出是解题关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：如图：

，，，
，
，
故选：．
首先利用勾股定理计算出长，再根据余弦定义可得答案．
此题主要考查了锐角三角函数定义，解题的关键是掌握余弦：锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作．
 

6.【答案】
 

【解析】解：随的增大而增大，若，则，此结论正确；
随的增大而减小，若，则，此结论错误；
随的增大而增大，若，则，此结论正确；
若，则，此结论正确；
综上，正确的结论为，
故选：．
根据锐角范围内、、的增减性及互余两锐角的正余弦函数间的关系可得．
本题主要考查互余两锐角三角函数关系，解题的关键是掌握锐角范围内、、的增减性及互余两锐角的正余弦函数间的关系．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查扇形面积的计算、锐角三角函数定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意，作出合适的辅助线，即可求得的长、的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是的面积减去的面积和扇形的面积，从而可以解答本题．
【解答】
解：连接，，作于．
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积是：，
故选A．  

8.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，

则，
，
设、，
则，
，
故选：．
连接，知，由可设、，得，从而由可得答案．
本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握矩形的性质、圆周角定理及三角函数的定义．
 

9.【答案】
 

【解析】解：由图可得，直角三角形的斜边长，
，
故选：．
锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，即的对边除以斜边．
本题主要考查了锐角三角函数的定义，我们把锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．首先构造以为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
【解答】
解：连接．
则，，
则．
故选：．  

11.【答案】
 

【解析】解：如图所示：，，
，
解得：．
故选：．
直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数关系，正确画出直角三角形是解题关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：中，，，，
．
故选：．
直接根据直角三角形中锐角三角函数的定义解答即可．
此题比较简单，考查的是锐角三角函数的定义，关键是根据直角三角形中锐角三角函数的定义解答．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】根据正弦的定义解答．
本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作．
【解答】解：在中，，
故答案为：．  

14.【答案】
 

【解析】解：根据题意，设，则．
在中，，
解得，
，
．
故答案为：．
折叠后形成的图形相互全等，设，则，在中利用勾股定理求出，利用三角函数的定义可求出．
本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数定义求出三角形边长是解题的关键．
在中，由的长及的值可得出的长，即可解答．
【解答】
解：如图：

，，
，
木杆折断之前高度
故答案为．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，以及勾股定理，本题属于中等题型．
易证∽，再由相似三角形的性质可求出的长度，然后根据勾股定理可求出的长度，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】
解：，
，
，
∽，
，
，
，
在中，由勾股定理可知：，
，
故答案为：．  

17.【答案】
 

【解析】解：在中，，，
，，
，
解得：，
故答案为：．
根据余弦的定义计算即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦是解题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是矩形，
，
由翻折可知，，
，，
，
∽．

设，
由翻折可知，，
，
，
∽，
，
，
，
．

∽，
，
，
设，，，
，
，，，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
整理得，，
，
，
．
 

【解析】根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
设，证明∽，可得，由此即可解决问题．
首先证明，设，，，解直角三角形求出，之间的关系即可解决问题．
本题属于相似三角形综合题，考查了矩形的性质翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中压轴题．
 

19.【答案】证明：连接，

，
，
切于，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接，，，

，，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
解：过点作于点，

，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，，
，
，
即的半径是．
 

【解析】根据切线定理求出，求出即可；
连接，，，首先证明是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出的度数；
根据相似求出、、，求出，即可得出答案．
此题考查了切线的判定，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
 

20.【答案】解：证明：连结，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
．
 

【解析】本题考查了圆的切线判定，全等三角形的性质与判定，锐角三角函数的定义和相似三角形的判定和性质等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识．
连接，，证明≌，推出，继而判断，可得出结论；
根据圆周角定理得到，根据余角的性质得到，求得，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
 

21.【答案】解：如图，连接，

与边相切于点，
，即，
，，，
≌，
，
又是半径，
是的切线；
，
设，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故的半径为；
连接，，

由可知：≌，
，，
又，，
≌，
，
，
，
，
点是中点，，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
连接，由切线的性质可得，由“”可证≌，可得，可得结论；
由锐角三角函数可设，，由勾股定理可求，再由勾股定理可求解；
连接，，由“”可知≌，可得，由三角形内角和定理可得，，可得，可证，可得结论．
 

22.【答案】证明： ，
，
，
，
，
，
≌；
解：连接，
，，
，
点是边上一点不与点、点重合，
，
点是的外心，

；
当于时，最小，

，

，
，
 
，
．
 

【解析】本题考查全等三角形的判定，锐角三角函数，以及三角形的外心，综合运用所学知识解题是解题关键．
先得出，再根据平行线的性质得出，，即可判定；
先求出，进而得出，再根据点是的外心，得出，进而得出结论；
当于时，最小，求出，利用三角函数定义得出，然后根据求出即可．
 

23.【答案】
解：由题可知，，，
，
则在中，，
的长度为．

解：
在中，
设为，则为，
在中，

舍负，即，
当点在上时，，
当点在上时，，
综上所述，的长为或           
 的运动路径长为．
 

【解析】

【分析】
本题主要考查矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形以及锐角三角函数等知识，能根据题意灵活运用所学知识是解题的关键．
先求出，的长度，然后用勾股定理即可得出结论；
先根据锐角三角函数的定义，得出，的大小关系，再在中，利用勾股定理求出的长度，再分点在上和在上两种情况分类讨论，即可求出的长度．
根据点，的运动规律，找出点的运动路径，进而可求出点的路径长．
【解答】
见答案
见答案

解如图所示：

当点从点运动到点时，点从运动到点，
当点从点运动到时，点从点运动到位置，
当点从继续运动到点时，点又从位置回到点的位置，
综上所述，点的运动路径为：，
所以点的路径长为：，
，点为中点，
，
为等腰直角三角形，，
，
四边形为正方形，
，
，
点的路径长为：，
故答案为：．  

24.【答案】解：与相切，
理由：如图，连接，

，为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与相切；
连接，

，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
即，
．
 

【解析】本题考查了切线的判定，平行线的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
如图，连接，根据直角三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，推出，于是得到结论；
连接，根据勾股定理得到，根据圆周角定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
 

25.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
，是边的中线，
．
即．
四边形为矩形．
在矩形中，，
．
是的中点，
，
四边形为矩形，
，
在中，．
 

【解析】本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，锐角三角函数定义等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型．
只要证明四边形是平行四边形，且即可；
求出、，在中，根据计算即可．