高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆课后作业题

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3．AC [作出椭圆和有关直线(图略)，由于椭圆关于坐标轴、坐标原点对称，而A、C中的直线与直线y＝3x＋2或关于原点对称或关于坐标轴对称，所以它们被椭圆截得的弦长相等，且可从图中看出B、D中的直线被椭圆截得的弦长都大于8，故选AC．]
4．A
5．ABC [对于A，由题可知a1＝2a2，c1＝a2＋c2＞2c2，所以a1＋c1＞2(a2＋c2)，所以选项A正确；
对于B，由a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，得a1－c1＝a2－c2，所以选项B正确；
对于C，由a1＝2a2，c1＝a2＋c2，得c1a1＝a2+c22a2＝1+c2a22，即e1＝e2+12，所以选项C正确；
对于D，根据选项C知，2e1＝e2＋1＞2e2，所以e1＞e2，即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁，所以选项D错误．
故选ABC．]
6．[1，5) 7．12 8．-∞，-22∪22，+∞
9．解：(1)由题意得，c＝1，a＝2，∴b＝3，
∴椭圆E的标准方程为x24＋y23＝1．
(2)设M(x0，y0)(x0≠±2)，
则x024＋y023＝1．①
由MP⊥MH可得MP·MH＝0，
又MP＝(t－x0，－y0)，MH＝(2－x0，－y0)，
∴t-x02-x0+y02＝0．②
由①②消去y0，并整理得t(2－x0)＝－14x02＋2x0－3．
∵x0≠2，∴t＝14x0－32．
∵－2∴实数t的取值范围为(－2，－1)．
10．AD [对于A，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝22，故A正确；
对于B，依题意得a＝2，b＝1，又a2＝b2＋c2，所以c＝1，所以e＝ca＝12＝22，故B错误；
对于C，|F1F2|＝2c＝2，当P为椭圆短轴端点时，
△PF1F2的面积取得最大值，最大值为12·2c·b＝c·b＝1，故C错误；
对于D，以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为c，c＝1，圆心到直线x＋y－2＝0的距离为22＝1，
即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－2＝0相切，故D正确．故选AD．]
11．BC [由|PM|＋|PN|＝4>|MN|＝2，并根据椭圆定义可得点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的方程为x24＋y23＝1．
由“椭型直线”定义可知，若直线为“椭型直线”，则此直线必与椭圆有公共点．
选项A，联立得x24+y23=1， x-2y+6=0，
整理得2y2－9y＋12＝0，
所以Δ＝81－96<0，方程组无解，此直线与椭圆无公共点，所以不是“椭型直线”；
选项B，x－y＝0是过原点的直线，必与椭圆相交，
所以是“椭型直线”；
选项C，直线2x－y＋1＝0过点(0，1)，且点(0，1)在椭圆x24＋y23＝1的内部，故直线必与椭圆相交，
所以是“椭型直线”；
选项D，联立得x24+y23=1，x+y-3=0，整理得7x2－24x＋24＝0，
所以Δ＝(－24)2－4×7×24<0，方程组无解，直线与椭圆无公共点，所以不是“椭型直线”．故选BC．]
12．B 13．553
14．解：(1)由题意可得M(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，
由△MF1F2是面积为1的等腰直角三角形得12a2＝1，b＝c，且a2－b2＝c2，解得b＝c＝1，a＝2，则椭圆E的方程为x22＋y2＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立x22+y2=1，-x+m=y ⇒3x2－4mx＋2m2－2＝0，
有Δ＝16m2－12(2m2－2)>0，
即－3x1＋x2＝4m3，x1x2＝2m2-23，可得AB中点横坐标为2m3，
|AB|＝1+1·x1+x22-4x1x2
＝2·16m29-8m2-83＝433-m2，
以AB为直径的圆与y轴相切，
可得半径r＝12|AB|＝2m3，
即233-m2＝2m3，解得m＝±62∈(－3，3)，则m的值为±62．
15．解：(1)由条件可知，椭圆的焦点在x轴上，且a＝2，
又e＝ca＝22，得c＝2．
由a2－b2＝c2得b2＝a2－c2＝2．
所以所求椭圆的方程为x24＋y22＝1．
(2)若存在点Q(m，0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°，
则直线QM和QN的斜率存在，分别设为k1，k2．
等价于k1＋k2＝0．
依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k(x－4)．
由y=kx-4，x24+y22=1，
得(2k2＋1)x2－16k2x＋32k2－4＝0．
因为直线l与椭圆C有两个交点，所以Δ＞0．
即(16k2)2－4(2k2＋1)(32k2－4)＞0，解得k2＜16．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝16k22k2+1，x1x2＝32k2-42k2+1，
y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)，
令k1＋k2＝y1x1-m＋y2x2-m＝0，
(x1－m)y2＋(x2－m)y1＝0，
当k≠0时，2x1x2－(m＋4)(x1＋x2)＋8m＝0，
化简得，8m-12k2+1＝0，
所以m＝1．
当k＝0时，也成立．
所以存在点Q(1，0)，
使得∠PQM＋∠PQN＝180°．