人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆习题

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9．解：(1)由椭圆的定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，∴a＝2．
在△PF1F2中，由余弦定理可得，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs 120°，
∴4c2＝15，∴c＝152，b2＝a2－c2＝4－154＝14，
故椭圆C的方程为x24＋4y2＝1．
(2)设点P(m，n)，由题意可知m＞0，
∵S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin 120°＝12×(2＋3)×(2－3)×32＝12×2c×|n|，∴n＝±510．
将点P的坐标代入椭圆的方程可得m24＋15＝1，解得m＝455，
故点P的坐标为455，-510或455，510．
10．BCD [由椭圆方程得a2＝4，b2＝3，所以c2＝1，
所以F1(－1，0)，F2(1，0)．
选项A中，|MF2|max＝a＋c＝3，A错误；
选项B中，|MF1|·|MF2|≤MF1+MF222＝4，
当且仅当|MF1|＝|MF2|时取等号，B正确；
选项C中，当点M为椭圆与y轴的交点时，∠F1MF2取得最大值，由M(0，3)，得tan ∠F1MF22＝33，
所以∠F1MF22＝30°，∠F1MF2＝60°，C正确；
选项D中，设P(x，y)，A(x1，y)，B(－x1，y)．
因为|PA|·|PB|＝2，
所以|x－x1|·|x＋x1|＝2，
所以|x2-x12|＝2，即x12＝x2＋2或x12＝x2－2．
又由题意知x124＋y23＝1，
所以x2+24＋y23＝1或x2-24＋y23＝1，
化简得x22＋2y23＝1或x26＋2y29＝1，D正确．故选BCD．]
11．ACD [设椭圆C与y轴的两交点分别为B1，B2，易知∠F1PF2≤∠F1B1F2＝∠F1B2F2，
选项A中，a＝2b时，b＝c，∠F1B1O＝12∠F1B1F2＝45°，∠F1B1F2＝∠F1B2F2＝90°，A正确；
选项B中，a<2b时，∠F1B1F2＝∠F1B2F2<90°，所以不存在点P满足∠F1PF2＝90°，B错误；
选项C中，S△PF1F2≤12·2c·b＝bc≤b2+c22＝a22，当且仅当b＝c时等号成立，C正确；
选项D中，C△PF1F2＝2c＋2a<4a，D正确．故选ACD．]
12．72或2 13．x24＋y23＝1
14．解：(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，
则a2-b2=4，1a2+45b2=1，化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－165(舍去)，a2＝5，
故椭圆M的标准方程为x25＋y2＝1．
(2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)，
设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为12×4×|y0|＝1，
解得y0＝±12．
又x025+y02＝1，
所以x02＝154，x0＝±152，
所以点P有4个，它们的坐标分别为
152，12，-152，12，152，-12，-152，-12.
15．解：(1)因为椭圆的方程为x24＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝3，即|F1F2|＝23，
又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
所以|PF1|·|PF2|≤PF1+PF222＝422＝4，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，
所以|PF1|·|PF2|的最大值为4．
(2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－3，0)，由BF1＝λCF1得x0＝31-λλ，y0＝－1λ．
又x024+y02＝1，所以31-λλ24＋-1λ2＝1，
化简得λ2＋6λ－7＝0，
解得λ＝－7或λ＝1，因为点C异于B点，
所以λ＝－7．
(3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，
所以△PBF1的周长l≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8．