2024届高考数学二轮复习大题基础练(四)含答案

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(1)对于方案一，设X为甲维护的机器同－时刻发生故障的台数，求X的分布列与数学期望E(X)；
(2)在两种方案下，分别计算机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？
解：(1)由题意可知，X～B(2，eq \f(1,4))，
则P(X＝0)＝(eq \f(3,4))2＝eq \f(9,16)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,2)·eq \f(1,4)·eq \f(3,4)＝eq \f(3,8)，
P(X＝2)＝(eq \f(1,4))2＝eq \f(1,16)，
所以随机变量X的分布列如下表所示：
所以E(X)＝2×eq \f(1,4)＝eq \f(1,2).
(2)对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”，考查反面处理这个问题．
其概率为P1＝1－[1－P(X＝2)]3＝1－(1－eq \f(1,16))3＝eq \f(721,4 096)；
对于方案二：机器发生故障时不能及时维修的概率为：
P2＝1－(eq \f(3,4))6－Ceq \\al(1,6)·eq \f(1,4)·(eq \f(3,4))5－Ceq \\al(2,6)·(eq \f(1,4))2·(eq \f(3,4))4＝1－eq \f(36＋6×35＋15×34,4 096)＝eq \f(347,2 048)；
所以P2