浙江省杭州市西湖区2023-2024学年九年级上学期期末数学提优卷

这是一份浙江省杭州市西湖区2023-2024学年九年级上学期期末数学提优卷，共11页。试卷主要包含了 ．等内容，欢迎下载使用。

欢迎参加考试！请你认真审题,仔细答题,发挥最佳水平,答题时,请注意以下几点：
1.全卷共4页,满分120分,考试时间120分钟。
2.答案必写在答题纸相应的位置上,写在试题卷、草稿纸上无效。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，每小题仅有一个正确选项，共30分）
1．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，sinA＝（ ）
A．B．2C．D．
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2DB，DE＝2，则BC＝（ ）
A．6B．5C．4D．3
3．对称轴为y轴的二次函数是（ ）
A．y＝（x+1）2B．y＝2（x﹣1）2C．y＝2x2+1D．y＝﹣（x﹣1）2
4．两个相似三角形的相似比是75，其中较小的三角形的面积是14cm2，则较大三角形的面积是（ ）
A．10cm2B．985cm2C．750cm2D．68625cm2
5．如图，两张完全重合的正方形纸片，将上面一张正方形纸片绕着它的中心O按顺时针方向旋转，旋转的角度数依次为45°，90°，135°，180°，能够使得两张正方形纸片完全重合的旋转角度数为（ ）
A．90°B．180°
C．90°，180°D．45°，90°，135°，180°
6.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC=12，AD=8，矩形EFGH的边EF与BC重合，点G、H分别在AC、AB上运动，当矩形EFGH的面积最大时，EF的长是（ ）
7．下列图象中，可能是二次函数y＝﹣3x2的图象的是（ ）
A．B．C．D．
8．生活中到处可见黄金分割的美．在设计人体雕像时，使雕像的下部（肚脐以下）与全部（全身）的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．如图，某雕像的高为2m，为使它符合黄金分割比例，那么它的下部（肚脐以下）应设计为（结果保留两位小数）（ ）
A．1.23mB．1.24mC．1.25mD．1.26m
9.如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE//BC交AC于点E，连接 BE，DF//BE交AC于点F.若AF=3，CF=5，则△DEF与△BDE 的面积之比为（）
A. B.
C. D.
10．如图，四边形ABCD内接于半径为6的⊙O，BD＝63，连AC交BD于E，若E为AC的中点，且AB=2AE，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．63B．123C．183D．93
第II卷（非选择题）
二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分)
11．已知a＝3，b＝27，则a，b的比例中项为 ．
12．如图，若△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则△DEF与△ABC的周长比为 ．
13．把只有颜色不同的1个白球和2个红球装入一个不透明的口袋里搅匀，从中随机地摸出1个球后放回搅匀，再次随机地摸出1个球，两次都摸到红球的概率为 ．
14.如图是一可调节座椅的侧面示意图，靠背AO与地面垂直，为了使座椅更舒适，现调整靠背，把OA绕点O旋转到OA'处，若AO＝m，∠AOA'＝α，则调整后点A'比调整前点A的高度降低了 （用含m，α的代数式表示）．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以C为圆心，6为半径的圆上有一动点D，连接AD、BD、CD，则AD+BD的最小值为 _____．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上的点，CD＝2，以CD为直径的⊙与AB相切于点E．若弧DE的长为π，则阴影部分的面积_____．（保留π
15题图 16题图
三、解答题（共7题；17题12分，18-21题每题8分，22题10分，23题12分，共66分）
17.某校举行秋季运动会，甲、乙两人都报名参加100m短跑比赛，预赛分A、B、C三组进行，运动员通过抽签决定分组.
（1）甲分到A组的概率为________；
（2）利用树状图或列表的方法求甲、乙两人不在同一组的概率.
18.如图，在 △ABC 中， AD⊥BC ，垂足为D， BC=12,AD=6,tanC=32 .
（1）求 sin∠ABD 的值；
（2）过点B作 BE⊥BC ，若 BE=10 ，求 AE 的长.
19.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED=∠B ， AG分别交线段DE、BC于点F、G ， 且AD：AC=DF：CG.求证：
（1）AG平分∠BAC；
（2）EF·CG=DF·BG ．
20.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝5，AC＝3．连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
（1）求证：∠CAD＝∠CBA．
（2）求EF：FD的值．
21．某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件，试营业阶段发现： 当销售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就 减少 10 件．
（1）请直接写出每天销售量 y （件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；
（2）求出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函 数关系式（不必写出 x 的取值范围）；
（3）商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于 30 元，且每天的销售量 不得少于 160 件，那么该文具如何定价每天的销售利润最大，最大利润是多少?
22.如图，抛物线 y=ax2-32x+c(a≠0) 与x轴交于点A，B，与y轴交于点 C(0,-2) ， tan∠ABC=12 .直线 x=1 交 BC 于点D，点P是直线 BC 下方抛物线上一动点，连接PD.

（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，连接 PC ，求 △PCD 面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，连接 AC ，过点P作 PE⊥BC 于点E，是否存在点P使以P，D，E三点为顶点的三角形与 △ABC 相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，每小题仅有一个正确选项，共30分）
二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分)
11. ±9．
12. ：1．
13. ．
14. m﹣m•csα．
15．
16．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
17.（1）13
（2）解：甲乙两人抽签分组所有可能出现的结果有：（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（C，A）、（C，B）、（C，C）共有9种，它们出现的可能性相同.所有的结果中，甲乙分到同一组的结果有3种，甲乙不在同一组的结果6种，
所以P(甲乙不在同一组)＝ 69=23 .
18. （1）解：在Rt△ADC中
∵ AD=6,tanC=32
∴CD=4
∴BD=12－4=8
在Rt△ABD中，根据勾股定理可得
AB=BD2+AD2=10
∴ sin∠ABD=ADAB=610=35
（2）解：作AF⊥BE于点F
∵ BE⊥BC ， AD⊥BC
∴四边形ADBF是矩形
∴AF=BD=8，AD=BF=6
∴EF=10－6=4
在Rt△AEF中，根据勾股定理可得
AB=AF2+EF2=45
19.（1）证明：如图所示：
∵∠DAE+∠AED+∠ADE=180° ，
∠BAC+∠B+∠C=180° ， ∠AED=∠B ， ∴∠ADE=∠C ，
在 △ADF 和 △ACG 中，
{AD:AC=DF:CG∠ADE=∠C
∴△ADF ∽ △ACG ， ∴∠DAF=∠CAG ，
∴AG 平分 ∠BAC
（2）证明：在 △AEF 和 △ABG 中，
{∠AED=∠B∠EAF=∠BAG ，
∴△AEF ∽ △ABG ，
∴EFBG=AFAG ，
在 △ADF 和 △AGC 中，
{∠DAF=∠CAG∠ADF=∠C ，
∴△ADF ∽ △AGC ，
∴DFCG=AFAG ，
∴EFBG=DFCG ，
∴EF⋅CG=DF⋅BG ．
20.【解答】（1）证明：∵OC为半径，E为AD中点．
∴OC⊥AD，AC＝CD，
∴∠ABC＝∠CAD；
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC＝4，
∴sin∠CBA＝＝，
∴sin∠CAD＝，则CE＝，
则AE＝＝＝ED，
∵cs∠CBA＝，则cs∠CAD＝，
则AF＝＝，
∴EF＝AF﹣AE＝﹣＝，
则FD＝AD﹣AF＝﹣＝，
∴EF：FD＝9：7．
21．（1）；
（2）；
（3）当售价为34元时，每天的销售利润最大为2240元
22.（1）解： ∵C(0,-2) ，
∴OC=2 ，
∵ 在 Rt△BOC 中， tan∠ABC=OCOB=2OB=12 ，
∴OB=4 ，即 B(4,0) ，
将点 B(4,0),C(0,-2) 代入抛物线的解析式得： {16a-6+c=0c=-2 ，
解得 {a=12c=-2 ，
则此抛物线的解析式为 y=12x2-32x-2 ；
（2）解：设直线BC的函数解析式为 y=kx+b ，
将点 B(4,0),C(0,-2) 代入得： {4k+b=0b=-2 ，解得 {k=12b=-2 ，
则直线BC的函数解析式为 y=12x-2 ，
当 x=1 时， y=12×1-2=-32 ，即 D(1,-32) ，
则 CD=(1-0)2+(-32+2)2=52 ，
要使 △PCD 的面积最大，则需要点P到CD的距离最大，
设与直线BC平行的直线 l' 的函数解析式为 y=12x+d ，则 F(0,d),CF=-2-d ，
如图，过点C作 CE⊥l' 于点E，则CE为直线BC与直线 l' 间的距离，
在 Rt△BOC 中， OB=4,BC=OB2+OC2=25 ，则 sin∠OCB=OBBC=255 ，
∵BC//l' ，
∴∠CFE=∠OCB ，
∴sin∠CFE=sin∠OCB=255 ，
在 Rt△CEF 中， sin∠CFE=CECF=CE-2-d=255 ，
解得 CE=255(-2-d) ，
∴d 越小，CE越大，当直线 l' 要与抛物线 y=12x2-32x-2 有交点，
即当直线 l' 与 y=12x2-32x-2 有且只有一个交点时， d 最小，此时的交点即为点P，
联立 {y=12x2-32x-2y=12x+d ，
整理得： 12x2-2x-2-d=0 ，
则其根的判别式 Δ=4-4×12(-2-d)=0 ，
解得 d=-4 ，
则此时 CE=255×(-2+4)=455 ，
△PCD 面积的最大值为 12×52×455=1 ，
将 d=-4 代入 12x2-2x-2-d=0 得： x1=x2=2 ，
当 x=2 时， y=12×22-32×2-2=-3 ，
∴△PCD 面积取得最大值时，点P的坐标为 (2,-3) ；
（3）解：对于 y=12x2-32x-2 ，
当 y=0 时， 12x2-32x-2=0 ，解得 x=-1,x=4 ，
∴A(-1,0) ，
∵B(4,0),C(0,-2) ，
∴AB=4+1=5,AC=12+22=5,BC=22+42=25 ，
∴AC2+BC2=AB2 ，
∴△ABC 是直角三角形，且 ∠ACB=90° ，
设点P的坐标为 (m,12m2-32m-2) ，
∵PE⊥BC ，直线BC的函数解析式为 y=12x-2 ，
∴ 设直线PE的函数解析式为 y=-2x+n ，
将 (m,12m2-32m-2) 代入得： -2m+n=12m2-32m-2 ，
解得 n=12m2+12m-2 ，
则直线PE的函数解析式为 y=-2x+12m2+12m-2 ，
联立 {y=-2x+12m2+12m-2y=12x-2 ，解得 {x=15m2+15my=110m2+110m-2 ，
即 E(15m2+15m,110m2+110m-2) ，
∴PE2=(15m2-45m)2+(25m2+85m)2 ，
DE2=(15m2+15m-1)2+(110m2+110m-12)2 ，
由题意，分以下两种情况：
①当 Rt△PDE∼Rt△ABC 时，
则 PEDE=ACBC=525=12 ，即 DE2=4PE2 ，
解得 m=3+132 或 m=17-2296 ，
则此时 P(3+132,132) 或 P(17-2296,17-1022918) ；
②当 Rt△DPE∼Rt△ABC 时，
则 PEDE=BCAC=255=2 ，即 PE2=4DE2 ，
解得 m=52 ，
则此时 P(52,-218) ；
综上，存在这样的点P，此时点P的坐标为 P(3+132,132) 或 P(17-2296,17-1022918) 或 P(52,-218) .A.5
B.6
C.7
D.8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
D
C
D
C
B
D
B
B
C