浙江省杭州市西湖区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份浙江省杭州市西湖区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共23页。

1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，必须在答题卷上填写姓名等信息．
3．不允许使用计算器进行计算，凡题目中没有要求取近似值的，结果中应保留根号或．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若均不为0，则的值是（ ）
A. 6B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，运用比例的内项积等于外项积即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选A．
2. 下列二次函数中，对称轴是直线的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质．根据各个选项中的函数解析式可以得到相应的对称轴，从而可以解答本题．
【详解】解：A、的对称轴是直线，不符合题意；
B、的对称轴是直线，不符合题意；
C、，
的对称轴是直线，不符合题意；
D、，
的对称轴是直线，符合题意；
故选：D．
3. 不透明的袋子中只有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A. 2个球都是黑球B. 2个球都是白球
C. 2个球中有黑球D. 2个球中有白球
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了事件发生的可能性大小．解题的关键在于对知识的熟练掌握．根据不可能事件的定义进行判断即可．
【详解】解：A. 2个球都是黑球，是随机事件；
B. 2个球都是白球，是不可能事件；
C. 2个球中有黑球，是必然事件；
D. 2个球中有白球，是随机事件；
故选B．
4. 四边形内接于，，则m，n满足条件（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，可得，所以所占的份数一定和所占的份数相等，则．
【详解】解：∵ 圆内接四边形，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5. 如图，与是位似图形，点为位似中心，已知的周长为1，则的周长为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了位似图形的性质；根据题意求出位似比，然后根据位似图形的周长比等于相似比可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
又∵与是位似图形，
∴与的周长为，
∴的周长为，
故选：B．
6. 已知二次函数，则下列表述正确的是（ ）
A. 若，抛物线的开口向下B. 当时，随的增大而增大
C. 图象与轴一定有两个交点D. 图象与轴的交点坐标为
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象和性质．利用二次函数的性质对A、B选项进行判断；由于不能确定抛物线的开口方向，所以不能确定抛物线与轴的交点情况，于是可对C选项进行判断；通过计算自变量为0对应的函数值可对D选项进行判断．
【详解】解：对于，
A、当，即时，抛物线的开口向下，所以A选项不符合题意；
B、当，即，则时，随的增大而增大，所以B选项不符合题意；
C、抛物线的顶点坐标为，当时，抛物线开口向上，此时抛物线与轴没有公共点，，所以C选项不符合题意；
D、当时，，则抛物线与轴的交点坐标为，所以D选项符合题意．
故选：D．
7. 如图，将一个含角直角三角板的斜边和量角器的直径所在的边重合放置，其中点所在位置在量角器外侧的读数为，，连接交于点，则（ ）
A. 80°B. 70°C. 60°D. 50°
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理和三角形的角的关系．根据题意可知点在以为直径的圆上，根据圆心角和圆周角的关系求出，再利用三角形的外角的性质就可以求出答案．
【详解】解：根据题意可知点在以为直径的圆上，
设圆心为，连接，则，
，
．
故选：A．
8. 在“探索二次函数的系数与图象的关系”活动中，老师给出平面直角坐标系中的四点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，并得到对应的函数表达式，分别计算，的值，其中较大值为（ ）
A. B. 3C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征．根据坐标系中的四个点画出二次函数的图象，根据图象判断经过、、三点的抛物线当时，的值最大，利用待定系数法求得二次函数的系数即可求解．
【详解】解：、的横坐标相同，
抛物线不会经过、、或、、三点，
抛物线经过可能经过、、或者、、，
如图，经过、、三点的抛物线，当时，的值最大，
把，，代入得，
解得，
经过、、三点的抛物线的解析式为，
当时，，
故较大值为，
故选：A．
9. 若线段，点为平面内一点，，则线段的最大值是（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查的是三角形的外接圆，圆周角定理，等边三角形的性质．以为边作等边三角形，作的外接圆，根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：以为边作等边，作的外接圆，如图所示：
为等边三角形，
，
，
点在优弧上，
当为外接圆的直径时，最大，且最大值为8，
故选：D．
10. 已知二次函数的图象与一次函数的图象交于和两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线，由函数图象与系数的关系讨论和两点中与的关系．
【详解】解：，
抛物线对称轴为直线，
若，，
抛物线开口向下，一次函数中随增大而减小，
设，则，
，
．
故选：C．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11. 若均在二次函数图象上，则_______（填“>”“=”“<”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：由函数可知则抛物线对称轴为轴，抛物线开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，
，均在对称轴的左侧，
，
．
故答案为：．
12. 某学校开设了劳动教育课程，小明从感兴趣的“陶艺”“电工”“ 烹饪”3门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“陶艺”的概率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率公式．直接利用概率公式可得答案．
【详解】解：∵共有“陶艺”“电工”“烹饪”3门课程，
∴小明恰好选中“陶艺”的概率为．
故答案为：．
13. 将二次函数的图象向下平移个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键；根据“左加右减，上加下减”的平移规律表示出平移后的解析式，把代入得出值即可．
【详解】解：∵将二次函数的图象向下平移个单位长度，
∴平移后的解析式为，
∵得到的二次函数图象经过点，
∴，
解得：．
故答案为：
14. 图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，和相交于点O，点A、B之间的距离为米，，根据图②中的数据可得C、D之间的距离为__________米．
【答案】
【解析】
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比．
15. 已知实数满足，则的最大值为_______．
【答案】26
【解析】
【分析】本题考查求二次函数的最值．由题意可得，代入中，再根据二次函数的性质解答即可．
详解】解：，
，
．
，
当时，有最大值，最大值为26．
故答案为：26．
16. 如图，已知是的直径，弦于点，．点是劣弧上任意一点（不与点，重合），交于点，与的延长线相交于点，设．

①则______（用含的代数式表示）；
②当时，则______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①连接，先根据含直角三角形的性质，得，再根据圆周角定理，得，即可得出结果；
②在上取点，连接，使，先根据题意求出，设，，在中和中，根据勾股定理，求出即可．
【详解】解：①如图，连接，

在中，，，
，
在中，，
，
，，
在中，，
故答案为：
②在上取点，连接，使，

由①中结论，，，
，
，设，，
由①中结论，在中，，
，
，解得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题属于圆的综合题，考查了含直角三角形的性质、勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知二次函数，在下面的三组条件中选一组的值，使这个二次函数图象与轴有两个不同的交点．①；②；③．求二次函数图象的顶点坐标．
【答案】抛物线的顶点坐标为．
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质．利用根的判别式的意义得到，再分别对三组数据进行判断，从而确定，，然后把一般式配成顶点式得到此时抛物线的顶点坐标．
【详解】解：∵二次函数图象与轴有两个不同的交点．
∴，
当，时，，不合题意；
当，时，，符合题意；
当，时，，不合题意；
∴选一组，，使这个二次函数图象与轴有两个不同的交点，
此时抛物线解析式为，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为．
18. 口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有个红球，个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球：
（1）如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求和的值．
（2）在（1）的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球．
【答案】（1）；
（2）取走3个白球．
【解析】
【分析】本题主要考查概率公式，随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
（1）根据红球与白球的数量的情况即可求解；
（2）设取走个白球，根据概率公式列出关于的方程，解出的值即可．
【小问1详解】
解：摸到红球与摸到白球的可能性相等，且，
；
【小问2详解】
解：设取走个白球，放入个红球，则口袋中现在有白球个，红球个，
根据题意得，，
解得，
答：取走3个白球．
19. 设二次函数（a，b是常数，），部分对应值如表：
（1）试判断该函数图象的开口方向．
（2）根据你的解题经验，直接写出的解．
（3）当时，求函数y的值．
【答案】（1）向上 （2）
（3）5
【解析】
【分析】（1）根据表格中数据即可直接判断该函数图象的开口方向向上；
（2）由表格可求出该抛物线的对称轴为直线，从而可求出该抛物线与x轴的另一个交点坐标，进而可得出的解；
（3）由抛物线的对称性可知当时，y的值与当时，y的值相等，进而得出答案．
【小问1详解】
∵当时，；当时，；当时，，
∴该函数图象的开口方向向上；
【小问2详解】
∵当时，；当时，，
∴该抛物线的对称轴为直线．
又∵当时，，
∴当时，，
∴的解为：；
【小问3详解】
∵该抛物线的对称轴为直线，
∴当时，y的值与当时，y的值相等．
∵当时，，
∴当时，函数y的值为5．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．由表格求出该二次函数的对称轴是解题关键．
20. 如图，在中，是的角平分线，点是边上一点，且满足．
（1）证明：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长是4．
【解析】
【分析】此题重点考查三角形的角平分线的定义、相似三角形的判定与性质等知识．
（1）因为是的角平分线，所以，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明；
（2）由相似三角形的性质得，而，，则．
【小问1详解】
证明：是的角平分线，
，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
，
，，
，
∴的长是4．
21. 在平面直角坐标系中，点都在二次函数的图象上．
（1）若，求的值．
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
（1）由可得抛物线对称轴为，构建方程可得结论；
（2）由抛物线经过可得 ，分别将, 代入解析式，根据及的取值范围求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴和关于对称轴对称，
∴，
解得；
【小问2详解】
将代入得，
将代入得；
将代 得；
∵
，
，
将代入得，
∵，
，
，
，
，
，即
22. 如图，四边形内接于为的直径，且．
（1）试判断的形状，并给出证明．
（2）若．
①求线段长．
②求的值．
【答案】（1）见解析 （2）① ②
【解析】
【分析】本题是圆的综合题，考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等，熟练掌握圆的性质是解题关键.
（1）根据圆周角定理可得，由根据等弧对等角可得，即可证明；
（2）①由为的直径，可得，利用勾股定理即可求得答案；
②过点作于点，由是等腰直角三角形，可得，再根据三角函数定义可得，可得，即可求得答案．
【小问1详解】
解：是等腰直角三角形，理由为：
∵是圆的直径，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
【小问2详解】
解：①∵，
∴，
，
∵为的直径，
，
；
②如图，过点作于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
23. 定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．
【概念理解】
（1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由．
【尝试应用】
（2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为．
①求的值．
②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围．
【答案】（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；（2）①的值为；②线段长的取值范围是．
【解析】
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念．
（1）求出两抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线的开口方向相同，即可知抛物线与抛物线围成“月牙线”；
（2）①求出抛物线与轴交点为和，代入求得，据此求解即可；
②先求得两抛物线的顶点坐标，再根据的值始终不大于2，有，即解得，而，；故，从而可得线段长的取值范围是．
【详解】解：（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；理由如下：
在中，令得或，
抛物线与轴的交点为和；
在中，令得或，
抛物线与轴交点为和，
抛物线与抛物线与轴有相同的交点，
又抛物线与抛物线开口方向相同，
抛物线与抛物线围成“月牙线”；
（2）①在中，令得或，
抛物线与轴交点为和，
把和代入得：
，
解得，
；
∴的值为；
②由①知，，
抛物线的顶点为，
抛物线的顶点为，，
，
抛物线在抛物线上方；
，，
，
的值始终不大于2，
，
整理得：，
解得，
，
；
在中，令得，
，
在中，令得，
；
，
；
，
线段长的取值范围是．
24. 如图，是正方形边上一个动点E（不与重合），是延长线上一点，且，连接．
（1）求证：为等腰直角三角形．
（2）过点作的垂线，与直线分别交于两点，记交于点．
①当，求线段的长．
②设的面积记作的面积记作，用含的代数式表示．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可证，推出，，进而推出，即可证明为等腰直角三角形；
（2）①先证，为等腰直角三角形，通过导角证明，解求出，即可求出线段的长；②证明，推出，结合，可得 ，再证，可得与的相似比为k，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形．
【小问2详解】
解：①为等腰直角三角形，
，
又，
，为等腰直角三角形，
在和中，，，
，
在中，，
，
，
为等腰直角三角形，
；
②，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
正方形中，
，，
，
，
与的相似比为k，
与的面积比为，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．x
…
0
1
2
…
y
…
5
0
…