07，浙江省杭州市拱墅区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份07，浙江省杭州市拱墅区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题，四条直线，分别于，填空题等内容，欢迎下载使用。

1. 若相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A. 1：3B. 1：9C. 3：1D. 9：1
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可求出答案．
【详解】解：∵相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：3，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质．
2. 已知的半径为3，圆心O到直线的距离为2，则直线L与的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】将圆心到直线距离与半径比较，即可解答．
【详解】解：∵的半径为3，圆心O到直线的距离为2，，
∴直线L与的位置关系是相交，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆与直线的位置关系，解题的关键是掌握圆心到直线距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．
3. 二次函数的图象经过点，则a的值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
将代入解析式求解．
【详解】解：将代入得，您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3元/份∴，
故选：A．
4. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，
根据题意得，
∵，
∴，
又∵，
∴
故选：C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键．
5. 在中，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据已知和锐角三角函数表示出三角形各边,进而得出答案．
【详解】如图所示：∵，，
∴设，则，
故，
则．
故选C．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，正确表示出各边长是解题关键．
6. 关于二次函数的最大值或最小值，下列叙述正确的是（ ）
A. 当时，有最大值B. 当时，有最大值
C. 当时，有最小值D. 当时，有最小值
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的性质，由二次函数中，可得抛物线开口向上，有最小值，顶点坐标为，由二次函数的性质即可求解，掌握二次函数顶点式及性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数，，
∴抛物线开口向上，二次函数有最小值，
∴当时，二次函数有最小值为．
故选：．
7. 如图，已知四边形内接于，若，则等于（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．先根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质得到结论．
详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
8. 如图，在中，，现以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点D，E．再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F，射线交于点P，取的中点Q，连结．若，则的面积为（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求出的面积，再利用三角形中线的性质求解，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
【详解】解：∵，平分，
∴， ，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
9. 已知关于x的二次函数．若和是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由抛物线的解析式可知开口方向和对称轴为直线，根据函数的对称性和增减性即可求解；熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数．
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵和是抛物线上的两点，
∴当时，，
∵抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，
∴时，m的取值范围为或；
故选：C．
10. 如图，正纸片，为边上的一点，连结．将沿翻折得到，过点作的平行线交的延长线于点，若 则的比为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】延长交于点，设交于点，由是正三角形得，由翻折得，，因为，所以，可证明，得，则，，则，，所以，可求得，即可求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：延长交于点，设交于点，

是正三角形，
，
由翻折得，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题重点考查等边三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形中解所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题每小题4分，共24分）
11. _______．
【答案】
【解析】
【详解】.
故答案为.
12. 已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，那么扇形的面积是__________cm2．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形面积公式是关键，属于基础题．
13. 已知在直角坐标系中一点，其中a，b取，1中任意一个值，则点恰好落在反比例函数的图象上的概率为________．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了列表法与树状图法，以及反比例函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，找出，即点恰好落在反比例函数的图象上的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：列表如下：
所有可能的情况数有4种，其中点恰好落在反比例函数的图象上的情况有、，共2种，
∴点恰好落在反比例函数的图象上的概率为，
故答案为：．
14. 已知，且，令，则函数S的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意，可以写出S关于x的函数解析式，再根据x的取值范围和二次函数的性质，即可得到函数S的取值范围．
【详解】解：∵，，
∴，
∴该函数开口向上，当取得最小值，
∵，
∴当取得最小值，当取得最大值0，
∴S取值范围为，
故答案为：．
15. 如图，三个正六边形如图摆放，则＝________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的外接圆、锐角三角函数以及直角三角形的边角关系等知识，根据正六边形的性质构造直角三角形，再根据正六边形的性质用正六边形的边长，表示、，由勾股定理求出，再由锐角三角函数的定义进行计算即可，掌握正六边形的性质、直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
【详解】解：如图，取的中点，则点为正六边形的外接圆的圆心，为半径
正六边形的一个中心角为
所以正六边形的边长等于其外接圆的半径
过作
则可得
由多边形内角和得
设正六边形的边长为，则
即
在直角中，，
故答案为：．

16. 数学家菲尔贝提出借助图形代替演算的观点，这类图形称为“诺模图”．如图是关于x，y，z三者关系的诺模图，它是由点O出发的三条射线a，b，c组成，每条射线上都有相同的刻度，且射线端点刻度为0，其中a和c，b和c都相交成角．在射线a和b上分别取点A和B，对应的刻度值是x和y．用直尺连结交射线c于点C，点C的刻度值就是z的值．
（1）若，，则z的值是________；
（2）若，则________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积等，解法一的关键是正确地作出辅助线，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求出z，y，z之间的关系；解法二的关键是通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数及三角形的面积求出z，y，z之间的关系．
方法一（利用相似三角形）：过点C作交于点D，先证为等边三角形得，进而得，再证得，由此得，然后整理得．
（1）将，代入之中即可求出z的值；
（2）将代入之中即可求出的值．
解法二（面积法）：过点C作于E，于F，过B作交的延长线于H，利用三角函数分别求出， ， ，进而可得， ， ，然后根据，得．
（1）将，代入之中即可求出z的值；
（2）将代入之中即可求出的值．
【详解】解法一（利用相似三角形）：过点C作交于点D，如图1所示：

依题意得：，，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
（1）当，时，，
解得；
故答案为：.
（2）当时，，
即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
解法二（面积法）：过点C作于E，于F，过B作交的延长线于H，如图2所示：

依题意得：，，
在中， ，
∴，
在中， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中， ，
∴，
∴，， ，
∵，
∴，
∴，
（1）当，时，，
解得；
故答案为：.
（2）当时，，
即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17. 已知，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
（1）根据比例的性质进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论，以及设k法进行计算，即可解答．
【小问1详解】
解：∵，
∴；
【小问2详解】
∵；
∴设，
∴．
18. 如图，在中，．点在上，点在上，连结，，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
（1）先根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形外角性质得到，然后根据相似三角形的判定方法可得到；
（2）根据相似三角形的性质得到，则．
【小问1详解】
证明：，
，
，
即，
而，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
．
19. 某高速收费站有三个通道（通道是指电子不停车收费的专用车道）A，B，C和一个人工收费通道D．
（1）求一辆办理过卡的汽车经过此收费站时，选择A通道通过的概率；
（2）现有都办理过卡的甲，乙两辆汽车都选择了通道通行，求甲，乙两辆车选择不同通道通过的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查概率公式，列表法或画树状图求概率．
（1）直接利用概率公式可得答案；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲，乙两辆车选择不同通道结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
由题意得，共有4条通道可以选择，选择A通道通过的概率为．
【小问2详解】
列表如下：
由表可得共有9种等可能的结果，其中甲，乙两辆车选择不同通道通过的结果有：，，，，，，共6种，
∴甲，乙两辆车选择不同通道通过的概率为．
20. 如图，市交通部门要在宽为米（即）的城北街两边安装路灯（路灯主杆垂直于地面），路灯的灯臂长2米，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中心轴线与灯臂垂直．
（1）探索灯臂与灯柱的夹角和灯罩中心轴线与地面所成的夹角之间的数量关系；
（2）当灯罩的轴线DO刚好通过街道的中心线（即为的中点）时照明效果最佳，若，试说明当灯柱时，照明效果是否达到最佳？（结果保留一位小数）（参考数据：，，）
【答案】（1）
（2）不能达到最佳
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）根据四边形内角和是计算；
（2）过点作于点H，过点作于点E，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，进而求出，比较大小得出结论．
【小问1详解】
解：\在四边形中，，
∴；
小问2详解】
过点作于点，过点作于点，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴时，照明效果不能达到最佳．
21. 浙教版九上数学课本第24页例1：如图1窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形．如果制作一个窗户边框的材料总长度为，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大？这道例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大约为．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为一个等边三角形（如图2），材料总长度仍为，利用图2，解答下列问题：
（1）当时，求此时窗户的透光面积；
（2）与课本中例1比较，改变窗户形状后，窗户的透光面积的最大值是否变大？通过计算说明．（取）
【答案】（1）
（2）最大值变大了，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、二次函数的应用等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）先求出，再过点作于点，根据等边三角形的性质和勾股定理可得，然后根据窗户的透光面积等于即可得；
（2）设，改变窗户形状后，窗户的透光面积为，则，再参照（1）的方法求出关于的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得．
【小问1详解】
解：∵材料总长度为，，
，
如图，过点作于点，
是等边三角形，
，，
则此时窗户的透光面积为，
答：此时窗户的透光面积为．
【小问2详解】
解：设，改变窗户形状后，窗户的透光面积为，则，
，
，
如图，过点作于点，
是等边三角形，
，，
则窗户的透光面积为，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为，
∵，
∴与课本中例1比较，改变窗户形状后，窗户的透光面积的最大值变大了．
22. 如图．正方形顶点A，B在上．与交于点E，经过上一点P，且平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）1
【解析】
【分析】（1）连结，则，而，则，所以，则，即可证明是的切线；
（2）连接，由，证明是的直径，则，由，得＝1，因为，所以，则，再证明，则，即可求得．
【小问1详解】
证明：连结，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：连接，
∵，
∴是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的长为1．
【点睛】此题重点考查正方形性质、等腰三角形的性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23. 已知二次函数，图象经过点，，．
（1）当时．
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而增大；
（2）若在，，这三个实数中，只有一个是正数，求证：．
【答案】（1）①；②.
（2）见解析.
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质,熟知二次函数的图象和性质是解题的关键.
（1）①利用待定系数法即可解决问题；②根据所得二次函数的图象和性质即可解决问题；
（2）由这三个点在抛物线上的位置即可解决问题．
【小问1详解】
①当时，将点代入函数解析式得，
，
解得．
所以二次函数的表达式为．
②因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
所以当时，y随x的增大而增大．
故一个符合条件的x的取值范围是：．
【小问2详解】
证明：因为抛物线的对称轴为直线，
又因为，
所以点和点关于抛物线的对称轴对称，
则．
又因为m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，
所以m和p都是非正数，n是正数，
则，
解得．
所以．
24. 如图，是的外接圆，点D是弧的中点，过点D作的平行线交的延长线于点E，连接，．
（1）求证：；
（2）当时，求的值；
（3）设．
①求的值；（用含n的代数式表示）
②若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）连接，利用平行线的性质，同弧作对的圆周角相等，通过等量代换证明即可；
（2）通过证明，求出，即可求三角形的面积；
（3）①过D点作交于G点，由正切的定义得，设，则，分别求出，，，再由，由相似三角形的性质得到；
②由①可知，则，则，根据题意分别得到， ，求出或，再求的长即可．
【小问1详解】
证明：连接，
，
，
∵点D是的中点，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
∴，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
①解：过D点作交于G点，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，，
，
，
解得，
，
∴，
∴；
②解：由①可知，则，
，
，
，
，
，
解得或，
当时，，则；
当时， ，则；
综上所述：．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握切线的定义即性质，三角形相似的判定及性质，平行线的性质，圆的相关性质是解题的关键．a b
1
1
甲 乙
A
B
C
A
B
C