2023-2024学年山东省菏泽市东明县九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年山东省菏泽市东明县九年级（上）期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）相邻两边长分别为2和3的平行四边形，若边长保持不变，其内角大小变化（ ）
A．矩形B．菱形
C．正方形D．矩形或菱形
2．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一课程的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k且k≠1B．k≥且k≠1C．kD．k≥
5．（3分）能判定△ABC和△A′B′C′相似的条件是（ ）
A．
B．且∠A＝∠C′
C．且∠B＝∠A′
D．且∠B＝∠B′
6．（3分）下列选项中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝﹣2x﹣1D．y＝
7．（3分）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比3：4，则菱形面积为（ ）
A．12B．24C．48D．96
8．（3分）关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，若a，b，c是△ABC的三边长（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，若∠C＝55°，则∠ABD的度数为（ ）
A．55°B．35°C．45°D．30°
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，垂足为点F，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；③S△AEF：S△CAB＝1：4；④AF2＝2EF2．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.）
11．（3分）已知反比例函数y＝（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是 ．
12．（3分）若方程（m﹣1）x|m|+1﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的值为 ．
13．（3分）已知两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，那么这两个三角形对应高的比是 ．
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若点A（2，y1），B（5，y2）在反比例函数的图象上，则y1 y2（填“＞”“＝”或“＜”）
15．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中有题如下：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其大意译为：如图，∠ACB＝90°，BC＝5，四边形CDEF是Rt△ABC的内接正方形，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，则它与AB边的碰撞次数是 ．
三、解答题（本题共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内.）
17．（8分）用适当的方法解下列方程
（1）4（x﹣3）2﹣25＝0；
（2）x（x﹣4）＝3（4﹣x）．
18．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
19．（10分）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，3月份销售了100辆．求这个运动商城这两个月的月平均增长率是多少？
20．（10分）已知a，B是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，求下列各代数式的值．
（1）α2+β2；
（2）+．
21．（12分）在平面直角坐标系中，一点光源位于A（0，5）处，线段CD⊥x轴于点D，C（3，1）
（1）CD在x轴上的影子长；
（2）点C的影子的坐标．
22．（12分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BE＝BD．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若BD＝1，BC＝3，求的值．
23．（12分）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝相交于A（1，2），与x轴相交于点C（4，0）．
（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集．
2023-2024学年山东省菏泽市东明县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.）
1．【分析】根据矩形的判定得出能变成矩形，根据菱形的四边相等可得不能变成菱形，也不能变成正方形．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
AB＝DC＝2，BC＝AD＝3，
当∠B＝90°时，四边形ABCD就是矩形，
∵四边形邻边不相等，
∴不能变成菱形，也不能变成正方形，
故选A．
【点评】本题考查了对平行四边形性质，矩形、菱形、正方形的判定的应用，注意：有一个角是直角的四边形是矩形，四条边都相等的四边形是菱形．
2．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看有两层，底层两个正方形，左齐．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．【分析】先画树状图（数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程分别用A、B、C表示）展示所有9种可能的结果数，再找出小波和小睿选到同一课程的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：（数学史、诗词赏析、B、C表示）
共有9种可能的结果数，其中小波和小睿选到同一课程的结果数为3，
所以小波和小睿选到同一课程的概率＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
4．【分析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0两种情况，利用根的判别式求解可得．
【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠2时．
∵关于x的方程（k﹣1）2x7+（2k+1）x+7＝0有实数根，
∴Δ＝（2k+3）2﹣4×（k﹣4）2×1＝12k﹣6≥0，
解得k≥；
当k﹣1＝0，即k＝3时，显然有解；
综上，k的取值范围是k≥，
故选：D．
【点评】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
5．【分析】由相似三角形的判定方法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；即可得出结论．
【解答】解：能判定△ABC和△A′B′C′相似的条件是，且∠B＝∠A'；
理由是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
6．【分析】根据反比例函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、y不是x反比例函数；
B、y不是x反比例函数；
C、y＝﹣2x﹣1＝﹣，y是x的反比例函数；
D、y不是x反比例函数；
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义的内容是解此题的关键，形如y＝（k为常数，k≠0）的形式的函数叫反比例函数．
7．【分析】设菱形的对角线分别为3a，4a，由勾股定理列出方程求出a2，根据菱形的面积＝×3a×4a＝6a2即可解决问题．
【解答】解：如图所示：
设菱形的对角线分别为AC＝3a，BD＝4a，
则OA＝a，OB＝2a，
∵菱形的周长为40，
∴AB＝10，
∴（a）2+（4a）2＝102，
∴a2＝16，
∴菱形的面积＝×3a×4a＝6a6＝96．
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，记住菱形的面积等于对角线乘积的一半，学会设未知数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
8．【分析】由关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，可得Δ＝（﹣2c）2﹣4（a2+b2）＝0，整理得c2＝a2+b2，根据勾股定理逆定理判断△ABC的形状即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2cx+a6+b2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣8c）2﹣4（a2+b2）＝0，整理得c6＝a2+b2，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
9．【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠A＝35°，然后再利用直角三角形斜边上的中线性质可得AD＝BD，从而利用等边对等角，即可解答．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠C＝55°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝35°，
∵D为AC的中点，
∴AD＝BD＝AC，
∴∠A＝∠ABD＝35°，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
10．【分析】①根据四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC＝∠AFB＝90°，又∠BAF＝∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②根据点E是AD边的中点，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根据相似三角形对应边成比例，可得CF＝2AF，故②正确；
③根据△AEF∽△CBF得到EF与BF的比值，据此求出S△AEF＝S△ABF，S△AEF＝S△BCF，可得S△AEF：S△CAB＝1：6，故③错误；
④根据AA可得△AEF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得AF2＝2EF2，故④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠EAC＝∠ACB，
∵BE⊥AC，
∴∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴＝＝，
∵AE＝AD＝，
∴＝，
∴CF＝8AF，故②正确；
∵△AEF∽△CBF，
∴EF：BF＝1：2，
∴S△AEF＝S△ABF，S△AEF＝S△BCF，
∴S△AEF：S△CAB＝1：6，故③错误；
∵△AEF∽△CAB，
∴∠AEF＝∠BAF，
∵∠AFE＝∠BFA＝90°，
∴△AEF∽△BAF，
∴＝，
AF3＝EF•BF＝2EF2，故④正确．
故选：B．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算的综合应用，正确作出辅助线是解题的关键．解题时注意，相似三角形的对应边成比例．
二、填空题（每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.）
11．【分析】由于反比例函数y＝的图象有一支在第二象限，可得k﹣1＜0，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象有一支在第二象限，
∴k﹣1＜7，
解得k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
12．【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：由题意，得|m|+1＝2且m﹣3≠0，
解得m＝﹣1，
故答案为：﹣2．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
13．【分析】根据两个相似三角形对应高的比也等于相似比，据此即可求解．
【解答】解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，
∴相似比为4：3
故这两个三角形对应高的比是4：6，
故答案为：4：3
【点评】本题考查了相似三角形的性质，两个相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
14．【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．
【解答】解：∵k＜0，
∴反比例函数y＝（k＜0）的图象在二，
∵7＞2＞0，
∴点A（5，y1），B（5，y8）在第四象限，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，根据题意判断出函数图象的增减性是解题的关键
15．【分析】设EF＝x．由△AFE∽△ACB，可得＝，由此构建方程即可解决问题．
【解答】解：∵四边形EFCD是正方形，
∴EF∥CD，EF＝FC＝CD＝DE．
∴△AFE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得x＝，
∴EF＝，
故答案为．
【点评】本题考查相似三角形的应用，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
16．【分析】如图以AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解．
【解答】解：如图以AB为x轴，AD为y轴，
根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（2，且每次循环它与AB边的碰撞有2次，
∵2019÷6＝336…4，
当点P第2019次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点P的坐标为（6
∴它与AB边的碰撞次数是＝336×4+1＝673次
故答案为673
【点评】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
三、解答题（本题共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内.）
17．【分析】（1）利用直接开平方法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解．
【解答】解：（1）4（x﹣3）7＝25
∴，．
（2）x（x﹣4）﹣3（4﹣x）＝7，
（x﹣4）（x+3）＝7，
∴x1＝4，x6＝﹣3．
【点评】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．
18．【分析】由已知易得四边形AEDF是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得∠FAD＝∠FDA，根据等角对等边可得AF＝DF，再根据邻边相等的四边形是菱形可得结论．
【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，
∴∠FAD＝∠FDA，
∴AF＝DF，
∴四边形AEDF是菱形．
【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
19．【分析】根据1月份和3月份的销售量列出一 元二次方程求得月平均增长率．
【解答】解：设1月到3月自行车销量的月平均增长率为x，根据题意列方程：
64（4+x）2＝100，
解得x1＝﹣225%（不合题意，舍去），x3＝25%，
答：1月到3月自行车销量的月平均增长率为25%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是根据增长率问题的计算方法列出方程解决问题．
20．【分析】（1）x2﹣x﹣1＝0中a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，两根之和等于﹣，两根之积等于，可计算两根的和与两根的积，将α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ代入可解答；
（2）直接通过整体代入可解答．
【解答】解：∵a，B是方程x2﹣x﹣1＝2的两个实数根，
∴α+β＝1，αβ＝﹣1．
（1）α7+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝1+2＝4；
（2）+＝＝＝﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解本题的关键．
21．【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质得出DE的长即可；
（2）利用DE的长，求出E点坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示：连接AC并延长到x轴上一点E，
∵DC∥AO，
∴△ECD∽△EAO，
∴＝，
∴＝，
解得DE＝，
即CD在x轴上的影子长为：；
（2）∵DE＝，
则OE＝3+＝，
∴点C的影子的坐标为：（，5）．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出DE的长是解题关键．
22．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BED＝∠BDE，由等角的补角相等得到∠AEB＝∠ADC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到＝，化简即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE．
∴∠AEB＝∠ADC．
∴△ABE∽△ACD．
（2）解：∵△ABE∽△ACD，
∴＝，
∵BE＝BD＝1，BC＝3，
∴CD＝8，
∴＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．【分析】（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）直线AC：y＝﹣x+与双曲线：y＝（x＞0）相交于A（1，2），B两点，联立方程组，求出点B的坐标为（3，），根据组合法（即基本图形面积的和差）即可以解决问题；
（3）根据图象即可解决问题．
【解答】解：（1）将A（1，2），4）代入y＝kx+b，
得，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+，
将A（2，2）代入y＝，
得m＝2，
∴双曲线的解析式为y＝（x＞0）；
（2）∵直线AC的解析式为y＝﹣x+，
∴点D的坐标为（6，），
∵直线AC：y＝﹣x+（x＞0）相交于A（7，B两点，
∴，
∴，，
∴点B的坐标为（6，），
∴△AOB的面积＝4×﹣﹣×1＝；
（3）观察图象，
∵A（1，2），），
∴当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．