山东省济南市东南片区2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份山东省济南市东南片区2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

九年级数学试题
一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）
1．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知关于x的方程，若方程的一个根为1，则m的值是（ ）
A．B．2C．0D．1
4．一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到白球．请你估计这个口袋中有（ ）个白球．
A．12B．8C．6D．4
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．菱形的对角线互相垂直且平分
C．菱形的对角线相等且互相平分
D．对角线互相平分的四边形是矩形
6．如图，，若，那么（ ）
A．B．C．D．
7．在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与x轴的正半轴重合，轴，对角线，交于点M．已知，的面积为6．若反比例函数的图像恰好经过点M，则k的值为（ ）
A．B．C．D．6
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。）
11．如图，．若，，则 ．
12．小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是 ．
13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
14．若点和点都在反比例函数的图象上，则 ．（用“”“”或“”填空）
15．小慧要测量校园内大树高AB.她运用物理课上学习的“光在反射时，入射角等于反射角”的知识解决了问题.如图，在水平地面上E点处放一面平面镜，镜子与大树的距离EA=8米.小慧沿着AE的方向走到C点时，她刚好能从镜子中看到大树的顶端B.已知CE=2米，小慧的眼睛距地面的高度DC=1.5米.则该棵大树的高度AB= 米.
16．如图，在矩形中，，点E在边上，点F在边上，且，连接，，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．解下列方程：
(1)
(2)
18．已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF．
19．如图，在四边形中，对角线与相交于点E，且，已知．
(1)证明：；
(2)求的长．
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
(1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个，使它与位似，且相似比为；
(2)请写出点A的对应点的坐标__________；
(3)若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标．
21．某校为落实“双减”工作，丰富课后服务活动内容，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②补全条形统计图；
③扇形统计图中圆心角_______度；
(2)若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数．
22．甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼高16米．当地中午12时，物高与影长的比是．

(1)如图1，当地中午12时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距的长为_________米．
(2)当地下午14时，物高与影长的比是．如图2，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子的长．
23．某水产经销商以每千克元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如表所示：
(1)试求出y关于x的函数表达式
(2)如果不考虑其他因素，该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润是2000元时，请求出销售价格．
24．如图，在中，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿以的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．
(1)当时，求x的值；
(2)与能否相似？若能，求出x的值：若不能，请说明理由．
25．如图1，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，C与反比例函数的图象交于点P，已知点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B．
(1)求m的值；
(2)点Q是函数图象上点P左侧一点，且的面积为6，求点Q的坐标；
(3)如图2，点M是函数图象上点P右侧的一个动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标．
26．如图，在中，，点D在射线上，连接，将绕点D逆时针旋转，得到线段，连接，．
(1)当点D落在线段上时，
①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是__________，__________；
②如图2，当时，请判断线段与的数量关系，并给出证明；
(2)当时，若，过点A作交于点N，猜想与的数量关系并说明理由．
答案与解析
1．C
【分析】直接由比例的性质可得．
【详解】∵
∴
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查比例的性质，熟记比例的性质是解题的关键．
2．A
【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握俯视图是从几何体的上面观察得到的图形是解题的关键．
【详解】根据题意，得其俯视图为，
故选A．
3．B
【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．熟练逆用一元二次方程解的定义是解此题的关键．
把代入原方程，得到关于m一元一次方程, 解方程即可．
【详解】关于x的方程的一个根为1，
把，代入方程，得
解得：
故选：B
4．B
【分析】用球的总个数乘以摸到白球的频率即可．
【详解】解：估计这个口袋中白球个数约为（个），
故选：B．
【点睛】本题主要考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
5．B
【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、菱形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的性质是解题的关键．
由平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定，分别对各个选项进行判断即可．
【详解】A、对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，不一定是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直且平分，故选项符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直且平分，但不一定相等，故选项不符合题；
D、对角线互相平分说明四边形为平行四边形，不是矩形，故选项不符合题意；
故选：B
6．A
【分析】根据相似三角形的性质求出∠D，再根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵，
∴∠ABC＝∠D＝45°，
∵∠A＝60°，
∴∠E＝180°－∠A－∠D＝180°－60°－45°＝75°.
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等是解题的关键．
7．D
【分析】分或，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．
【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限；
当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握，图像经过第一、三象限，，图像经过第二、四象限是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
首先将实际问题利用数学抽象转化为简单数学平均降低率问题，然后进行合理的逻辑推理，找到题意中的等量关系，根据平均降价率关系 ，进行列方程即可解答．
【详解】第一次降价后：
第二次降价后：
根据题意列方程
整理方程得：
故选：D
9．C
【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可．
【详解】解：，由折叠可得：，，
∵矩形，
∴，
∴，
设的长为x，则，
∵矩形，
∴，
∵矩形与原矩形相似，
∴，即，
解得：（负值不符合题意，舍去）
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，过点M作轴于点N，则，根据，得到，，结合，得，
根据，得，得，结合的面积为6．得到，根据k的几何意义，得到，结合k是正数，计算即可．
【详解】过点M作轴于点N，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的面积为6．
∴，
∴，
∵ k是正数，
∴，
故选B．
11．10
【分析】根据平行线分线段成比例得到，由条件即可算出DF的值．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
12．
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
首先依据题意画树状图，分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】解：画树状图得
共有4种等可能的结果，恰好是白色上衣和白色裤子的有1种情况，
恰好是白色上衣和白色裤子的概率是：．
故答案为：．
13．
【分析】根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，进行计算即可得到答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．
14．
【分析】把和分别代入反比例函数中计算y的值，即可做出判断．
【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上，
∴令，则；
令，则，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，计算y的值是解题的关键．
15．6
【分析】根据相似三角形对应成比例的法则进行求解.
【详解】由题意可得出△ABE∽△DEC，且CE=2米，EA=8米，
∴，且DC=1.5米，
∴AB=DC÷=1.5÷=6米.
【点睛】本题考查的是相似三角形对应成比例的法则，熟练掌握相似三角形对应成比例的法则是本题的解题关键.
16．
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题全等三角形的判定与性质等内容，综合性较强，将转化为是解题的关键．
先连接，将转化为，再利用将军饮马解决问题即可．
如图，连接
四边形是矩形
，
∵
如图，作B点关于A点的对称点，连接
，
的最小值为
故答案为：．
【详解】详解片段
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了配方法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．
（1）利用配方法求解即可．
（2）利用因式分解法法求解即可．
【详解】（1）解：原方程变形得：，
配方得：，
即，
直接开平方得：，
解得：．
（2）原方程变形得：，
因式分解得：，
即，
解得：．
18．见解析
【分析】根据菱形的性质得出，，再利用角的等量代换得出，接着由角边角判定，最后由全等的性质即可得出结论．
【详解】解：∵四边形是菱形，E，F是对角线AC上两点，
∴，．
∵，
∴，
即．
在和中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练地掌握这些性质和判定定理，并能从题中找到合适的条件进行证明．
19．(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，
（1）根据即可得；
（2）根据得，计算得，即可得；掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）解：，
．
（2）解：
，
，
，
解得．
20．(1)见解析
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了位似图形的坐标系中的作图，平移法，平行四边形的判定和性质，
（1）根据位似比，结合位置要求画图形即可．
（2）根据位似比，结合位置，确定位似点的坐标为或，计算即可．
（3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，利用平移法求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，似比为，，
故位似点的坐标为，画图如下：
，
则即为所求．
（2）解：根据(1)得，
故答案为：．
（3）解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，求解如下：
∵，
当点O平移得到点B时，即实现了向右平移1个单位，再向下平移2个单位的平移变换，
∴向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
当点B平移得到点O时，即实现了向左平移1个单位，再向上平移2个单位的平移变换，
∴向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
当点A平移得到点B时，即实现了向左平移1个单位，再向下平移3个单位的平移变换，
∴向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
当点B平移得到点A时，即实现了向右平移1个单位，再向上平移3个单位的平移变换，
∴向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
21．(1)①400；②见解析；③54
(2)约为980名
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体等知识．由条形统计图和扇形统计图得出必要的信息和数据是解题关键．
（1）①用B小组的人数除以其所占百分比即可解答；②先分别求出A小组和C小组的人数，进而即可补全条形统计图；③用C小组的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以即可；
（2）用D小组的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以该校总人数即可．
【详解】（1）解：①此次调查一共随机抽取了名学生．
故答案为：400；
②此次调查A小组的人数为名，
∴C小组的人数为名，
故补全条形统计图如下：
③扇形统计图中圆心角．
故答案为：54；
（2）解：名，
答：若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数约为980名．
22．(1)
(2)米
【分析】（1）根据物高与影长的比是列出比例式解答即可；
（2）作于点F，则，根据即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，即，
解得，
故答案为：；
（2）解：如图，作于点F，

在中，，，
物高与影长的比是，
，
，
，
即落在乙楼上的影子的长为米．
【点睛】本题考查平行投影，根据物高与影长的比得出相关比例式是解题的关键．
23．(1)
(2)该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润是2000元时，销售价格为每千克元或元
【分析】本题考查了一次函数的应用，
（1）设y关于x的函数表达式为，根据题意得，进行计算即可得；
（2）由题意得：，进行计算即可得；理解题意，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：（1）设y关于x的函数表达式为，
将和分别代入，得：，
解得，
关于x的函数表达式是：．
（2）解：由题意得：，
，
，
解得，
答：不考虑其他因素，该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润是2000元时，销售价格为每千克元或元．
24．(1)
(2)能，或5
【分析】本题考查了比例法判定直线的平行，三角形相似的判定和性质，分类思想．
（1）利用比例法证明即可；
（2）利用分类思想，确定相似的对应点，列比例式计算即可．
【详解】（1）解：由题知：
当时，，
，
解得：，
即当．
．
（2）解：能，
①当时，有，
即：，
解得：，
②当时，有，
即：，
解得：或（舍去），
综上所述，当或5时，与相似．
25．(1)24
(2)点Q坐标为
(3)
【分析】本题考查的是反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出P点的坐标，代入反比例函数解析式计算即可；
（2）根据三角形面积公式计算即可;
（3）过点D作，交的延长线于G，作于H，证明，得到，，用t表示出点M的坐标，代入反比例函数解析式计算，得到答案.
【详解】（1）解：对于，当时，，
，
将点代入得，
；
（2）设点Q的横坐标为n，则有
，
，
，
点Q坐标为
（3）过点D作，交的延长线于G，作于H，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
又，
，
，，
设，
，，
，，
，
点M在反比例的图象上，
，
解得，，
当时，（舍），
当时，，
，
26．(1)①，；②，见解析
(2)或
【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）①由可证可得，即可求解；
②通过证明，可得，即可求解；
（2）分两种情况讨论，由股定理可求的长，即可求解．
【详解】（1）①，，
，
是等边三角形，
，
将绕点D逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
；
故答案为：，；
②，理由如下：
，
，
将绕着点D逆时针旋转，得到
，
，
，
；
（2）如图，当点D在线段上时，
，
，
，
，
设，则，，，
，
，
，
如图，当点D在线段的延长线上时
，
，
，
设，则，，，
，
，
，
；
综上所述，或．
销售价格x（元/千克）
日销售量y（千克）