2023-2024学年江苏省扬州市邗江区第三共同体九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市邗江区第三共同体九年级（上）期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是
( )
A. (x−7)x=x2B. x3+2x+1=0C. 2x+1x+1=0D. x2=1
2.把方程x2+2x−3=0配方后，可变形为
( )
A. (x+2)2=3B. (x+1)2=4C. (x+1)2=2D. (x+1)2=−2
3.若关于x的一元二次方程x2−3x+a=0有两个不相等的实数根，则a的值不可能是
( )
A. −1B. 0C. 1D. 3
4.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC=25∘，则∠AOC的大小为
( )
A. 40∘B. 130∘C. 155∘D. 170∘
5.如图，⊙O的半径为2，ΔABC是⊙O的内接等边三角形，点DE在⊙O上．四边形BCDE为平行四边形，则平行四边形BCDE的面积是
( )
A. 4 3B. 4C. 2D. 2 3
6.下列命题：①长度相等的弧是等弧②任意三点确定一个圆③相等的圆心角所对的弦相等④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题有
( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点(点P不与点A，D重合)，连接CP.若∠B=150∘，则∠APC的度数不可能为
( )
A. 25∘B. 35∘C. 45∘D. 55∘
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(−3,0)，B(3,0)，若在直线y=−x+m上存在点P满足∠APB=60∘，则m的取值范围是
( )
A. 6−5 3≤m≤ 6+5 3B. − 6−5 3≤m≤ 6+5 3
C. 3−2 6≤m≤ 3+2 6D. − 3−2 6≤m≤ 3+2 6
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
9.已知关于x的一元二次方程x2+kx−3=0的一个根是x=1，则另一个根是 ．
10.若圆锥母线长3cm，底面周长4πcm，则其侧面展开图面积为 ．
11.如图，在⊙O上顺次取点A，P，B，C，连接OA，OB，OC，PB，PC.若∠AOB=100∘，∠AOC=30∘，则∠P的度数为 ．
12.如图，AB、BC是⊙O的弦，OM//BC交AB于M，若∠AOC=100∘，则∠AMO= ∘．
13.方程3x2−5x+2=0的一个根是a，则10a−6a2+2019= ．
14.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O半径为4，且∠C=2∠A，则BD的长为 ．
15.如图，⊙O与正六边形ABCDEF相切于点C、F，则劣弧CF所对的圆心角∠COF的大小为 度．
16.已知⊙O的直径为20，AB，CD分别是⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=16，CD=10，则AB，CD之间的距离是 ．
17.如图，AB是半圆O的直径，点P(不与点A，B重合)为半圆上一点，将图形沿BP折叠，分别得到点A，O的对应点A′，O′，过点A′C//AB，若A′C与半圆O恰好相切，则∠ABP的大小为 ∘．
18.如图．在RtΔABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，以A为圆心，AD长为半径的弧DF交AC的延长线于F，若图中两个阴影部分的面积相等，则ADDB= ．
三、解答题（本大题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8分)
解方程下列方程：
(1)x2−3x−1=0；
(2)x(x−1)=2−2x．
20.(本小题8分)
如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，求证：OA是⊙D的切线．
21.(本小题8分)
已知关于x的方程x2−2mx+m2−9=0．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2=6，求m的值．
22.(本小题8分)
请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)．
(1)如图1是以格点O为圆心，AB为直径的圆，在BM上找出一点P，使PM=AM；
(2)如图2是以格点O为圆心的圆，在弦AB上找出一点P.使∠AMP=∠ABM．
23.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，CB是⊙O的切线，D为⊙O外一点，AD交⊙O于E点，AB=AD，DC⊥CB，垂足为C．
(1)求证：DC=DE；
(2)若DE=2，BC=6，求AB的长．
24.(本小题8分)
如图，某农场老板准备建造一个矩形羊圈ABCD，他打算让矩形羊圈的一面完全靠着墙MN，墙MN可利用的长度为25m，另外三面用长度为50m的篱笆围成(篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分)，问：若要使矩形羊圈的面积为300m2，则垂直于墙的一边长AB为多少米？
25.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，并与弦DE交于点F，连接AE、AD，过点E作射线交BA的延长线于点C，使∠AEC=∠EDA．
(1)求证：EC是⊙O的切线．
(2)若AE=AD=6，OF=3，求图中阴影部分的面积．
26.(本小题8分)
我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可推出x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca，请根据这一结论，解决下列问题：
(1)若α，β是方程2x2+x−5=0的两根，则α+β=__，α⋅β=__；若2，3是方程x2+px+q=0的两根，则p=__，q=__；
(2)已知m，n满足m2+5m−3=0，n2+5n−3=0，求mn+nm的值；
(3)已知a，b，c.满足a+b−2c=0，abc=9，则正整数c的最小值为__．
27.(本小题8分)
我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”.如图(1)，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．
【概念理解】
(1)若⊙O的半径为5，一条弦AB=8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为__，最小值为__．
(2)如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC=12，DH=7，CH=9，求证：AB、CD互为“十字弦”；
【问题解决】
(3)如图3，在⊙O中，半径为 13，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD，CHDH=5，则CD的长度__．
28.(本小题8分)
综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．
特殊情况分析
(1)如图1，正方形ABCD中，点P为对角线AC上一个动点，连接PD，将射线PD绕点P顺时针旋转∠ADC的度数，交直线BC于点Q．
小明的思考如下：
填空：①依据1应为__，
②依据2应为__，
③依据3应为__；
一般结论探究
(2)将图1中的正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，(1)中的结论是否成立，若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由；
结论拓展延伸
(3)若∠ADC=120∘，AD=3，当ΔPQC为直角三角形时，请直接写出线段PQ的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】一元二次方程必须满足以下条件：
(1)未知数的最高次数是2；
(2)二次项系数不为0；
(3)是整式方程；
(4)含有一个未知数．同时满足以上四个条件的方程就是一元二次方程．
【解答】解：A、方程化简得到7x=0，是一元一次方程，故错误；
B、未知项的最高次数是3，故错误；
C、不是整式方程，故错误；
D、符合一元二次方程的定义，正确．
故选：D．
2.【答案】B
【解析】【分析】首先移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．
【解答】解：x2+2x−3=0，
x2+2x+1=3+1，
(x+1)2=4，
故选：B．
3.【答案】D
【解析】【分析】根据根的判别式得到△=(−3)2−4×1×a>0，然后解关于a的不等式，即可求出a的范围，并根据选项判断．
【解答】解：根据题意得△=(−3)2−4×1×a>0
解得a<94．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC=50∘，然后根据邻补角的定义计算出∠AOC的度数．
【解答】解：∵∠BOC=2∠BDC=2×25∘=50∘，
∴∠AOC=180∘−50∘=130∘．
故选：B．
5.【答案】A
【解析】【分析】连接BD、OC，根据平行四边形的性质得∠BCD=90∘，再根据圆周角定理得BD为⊙O的直径，利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=120∘，根据含30∘的直角三角形三边的关系得到CD，BC，然后根据矩形的面积公式求解．
【解答】解：连接BD、OC，如图，
∵四边形BCDE为平行四边形，
∴∠E=∠BCD，
∵∠E+∠BCD=180∘，
∴∠E=∠BCD=90∘，
∴BD为⊙O的直径，
∴BD=4，
∵ΔABC为等边三角形，
∴∠A=60∘，
∴∠BOC=2∠A=120∘，
而OB=OC，
∴∠CBD=30∘，
在RtΔBCD中，CD=12BD=2，BC= 3CD=2 3，
∴矩形BCDE的面积=BC⋅CD=4 3．
故选：A．
6.【答案】B
【解析】【分析】等弧必须同圆中长度相等的弧；不在同一直线上任意三点确定一个圆；在等圆中相等的圆心角所对的弦相等；外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形．
【解答】解：①等弧必须同圆中长度相等的弧，故本选项错误．
②不在同一直线上任意三点确定一个圆，故B本项错误．
③在等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误．
④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，故本选项正确．
所以只有④一项正确．
故选：B．
7.【答案】A
【解析】【分析】先根据圆内接四边形的性质计算出∠D=30∘，然后根据三角形外角性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠D=180∘，
∴∠D=180∘−150∘=30∘，
∵∠APC>∠D，
即∠APC>30∘，
∴∠APC的度数不可能为25∘．
故选：A．
8.【答案】D
【解析】【分析】作等边三角形ABE，然后作外接圆，求得直线y=−x+m与外接圆相切时的m的值，即可求得m的取值范围．
【解答】解：如图，作等边三角形ABE，
∵A(−3,0)，B(3,0)，
∴OA=OB=3，
∴E在y轴上，
当E在AB上方时，作等边三角形ABE的外接圆⊙Q，设直线y=−x+m与⊙Q相切，切点为P，当P与P1重合时m的值最大，
当P与P1重合时，连接QP1，则QP1⊥直线y=−x+m，
∵OA=3，
∴OE=3 3，
设⊙Q的半径为x，在RtΔAOQ1中则x2=32+(3 3−x)2，
解得x=2 3，
∴EQ=AQ=PQ=2 3，
∴OQ= 3，
由直线y=−x+m可知OD=OC=m，
∴DQ=m− 3，CD= 2m，
∵∠ODC=∠P1DQ，∠COD=∠QP1D，
∴△QP1D∽ΔCOD，
∴P1QOC=QDCD，即2 3m=m− 3 2m，
解得m= 3+2 6，
当E在AB下方时，作等边三角形ABE的外接圆⊙Q，设直线y=−x+m与⊙Q相切，切点为P，当P与P2重合时m的值最小，
当P与P2重合时，同理证得m=− 3−2 6，
∴m的取值范围是− 3−2 6≤m≤ 3+2 6，
故选：D．
9.【答案】x=−3．
【解析】【分析】通过根与系数的关系x1⋅x2=−3求得方程的另一个根．
【解答】解：设关于x的一元二次方程x2+kx−3=0的另一个根为x2，
则依题意得：1×x2=−3，
解得x2=−3．
故答案为：x=−3．
10.【答案】6πcm2
【解析】【分析】利用圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可求解．
【解答】解：∵圆锥母线长3cm，底面周长4πcm，
∴其侧面展开图的面积=12×4π×3=6πcm2，
故答案为：6πcm2．
11.【答案】35∘
【解析】【分析】根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵∠AOC+∠BOC=∠AOB，∠AOB=100∘，∠AOC=30∘，
∴∠BOC=70∘，
∵∠P=12∠BOC，
∴∠P=35∘，
故答案为：35∘．
12.【答案】50
【解析】【分析】先根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求∠B的度数，再由平行线的性质得出结论．
【解答】解：∵∠AOC=2∠B，∠AOC=100∘，
∴∠B=50∘，
∵OM//BC，
∴∠AMO=∠B=50∘，
故答案为：50．
13.【答案】2023
【解析】【分析】将x=a代入原方程，可得出3a2−5a+2=0，即3a2−5a=−2，再将其代入10a−6a2+2019=−2(3a2−5a)+2019中，即可求出结论．
【解答】解：将x=a代入原方程得：3a2−5a+2=0，
∴3a2−5a=−2，
∴10a−6a2+2019=−2(3a2−5a)+2019=−2×(−2)+2019=2023．
故答案为：2023．
14.【答案】83π
【解析】【分析】连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理求出∠BOD的度数，利用弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OB、OD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180∘，
∵∠C=2∠A，
∴3∠A=180∘，
∴∠A=60∘，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120∘，
∴BD的长：120π×4180=83π，
故答案为83π．
15.【答案】120
【解析】【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OCD、∠OFE，从而可求出∠COF的度数．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠E=∠D=180∘−360∘6=120∘．
∵EF、CD与⊙O相切，
∴∠OCD=∠OFE=90∘，
∴∠COF=(5−2)×180∘−90∘−120∘−120∘−90∘=120∘，
故答案为：120．
16.【答案】5 3−6或5 3+6
【解析】【分析】过O点作OM⊥AB于M，OM交CD于N，连接OA、OC，如图，根据平行线的性质得到ON⊥CD，则利用垂径定理得到AM=8，CN=5，再根据勾股定理计算出OM、ON，然后讨论：当O点不在AB与CD之间，如图1，MN=ON−OM；当O点在AB与CD之间，如图2，MN=ON+OM．
【解答】解：过O点作OM⊥AB于M，OM交CD于N，连接OA、OC，如图，
∵AB//CD，OM⊥AB，
∴ON⊥CD，
∴AM=BM=12AB=8，CN=DN=12CD=5，
在RtΔAOM中，OM= OA2−AM2= 102−82=6，
在RtΔOCN中，ON= OC2−CN2= 102−52=5 3，
当O点不在AB与CD之间，如图1，MN=ON−OM=5 3−6；
当O点在AB与CD之间，如图2，MN=ON+OM=5 3+6；
综上所述，AB，CD之间的距离为5 3−6或5 3+6．
故答案为：5 3−6或5 3+6．
17.【答案】15
【解析】【分析】作OG⊥A′C于G，BH⊥A′C于H，如图，根据切线的性质得到OG=OB，再利用A′C//AB可证明四边形OBHG为正方形，接着根据折叠的性质得∠A′BP=∠ABP=α，BA′=BA，所以A′B=2BH，根据特殊角的三角函数值得到∠BA′H=30∘，然后利用∠HA′B=∠ABA′=2α可确定α的度数．
【解答】解：作OG⊥A′C于G，BH⊥A′C于H，如图，
∵A′C与半圆O恰好相切，
∴OG为⊙O的半径，即OG=OB，
∵A′C//AB，
∴OG⊥OB，BH⊥OB，∠HA′B=∠ABA′，
∴四边形OBHG为正方形，
∵图形沿BP折叠，分别得到点A，O的对应点A′，O′，
∴∠A′BP=∠ABP=α，BA′=BA，
∴A′B=2BH，
∴∠BA′H=30∘，
∵∠HA′B=∠ABA′=2α，
∴α=15∘．
故答案为15∘．
18.【答案】 2π+2π−2
【解析】【分析】由题意，图中两个阴影部分的面积相等，则扇形ADF和ΔABC的面积相等；根据等腰直角三角形的性质及面积公式分别表示出ΔABC和扇形ADF的面积，变形得出AD和AB的数量关系，进而得出DB和AB的数量关系，两者相比，计算即可．
【解答】解：∵图中两个阴影部分的面积相等
∴S扇形ADF=SΔABC
∵∠ACB=90∘，AC=BC
∴ΔABC为等腰直角三角形
∴∠A=∠B=45∘
∴AB2=2AC2
∵S扇形ADF=SΔABC
∴45π×AD2360=12AC×BC
∴AD2=4AC2π=2AB2π
∴AD2AB2=2π
∴ADAB= 2ππ
∴AD= 2ππAB
∴DB=AB−AD=(1− 2ππ)AB
∴ADDB= 2ππ1− 2ππ= 2π+2π−2
故答案为： 2π+2π−2．
19.【答案】解：(1)x2−3x−1=0，
a=1，b=−3，c=−1，
△=b2−4ac=(−3)2−4×1×(−1)=13>0，
∴x=−b± b2−4ac2a=3± 132，
解得x1=3+ 132，x2=3− 132；
(2)x(x−1)=2−2x，
整理得x(x−1)+2(x−1)=0，
∴(x−1)(x+2)=0，
∴x−1=0，x+2=0，
解得x1=1，x2=−2．

【解析】【分析】(1)利用公式法解一元二次方程；
(2)利用因式分解法求解即可．
20.【答案】证明：过点D作DF⊥OA于F，
∵点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，
∴DF=DE，
即D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE，
∴⊙D与OA相切．

【解析】【分析】首先过点D作DF⊥OA于F，由点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，根据角平分线的性质，即可得DF=DE，则可得D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE，则可证得⊙D与OA相切．
21.【答案】(1)证明：∵△=(−2m)2−4×(m2−9)=4m2−4m2+36=36>0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
(2)解：x2−2mx+m2−9=0，即(x−m+3)(x−m−3)=0，
解得：x1=m+3，x2=m−3．
∵x1+x2=6，
∴2m=6，
解得：m=3．

【解析】【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=36>0，由此可证出此方程有两个不相等的实数根；
(2)利用分解因式法解方程可得出方程的根x1=m+3，x2=m−3，结合x1+x2=6，即可找出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
22.【答案】解：(1)如图1，在B上方4个格点确定点C，连接AC，AC与⊙O的交点即为P；
(2)如图2，A点向右、向上各1个格点取E，连接ME，ME与弦AB的交点即为P．

【解析】【分析】(1)如图1，在B上方4个格点确定点C，连接AC，AC与OM交于点D，则∠CAO+∠AOM=90∘，∠ODA=90∘，AC与⊙O的交点为P，由垂径定理可知PM=AM，即P点即为所求；
(2)如图2，连接AO、MO、MB，由圆周角定理可知∠ABM=12∠AOM，A点向右、向上各1个格点取E，连接ME，则∠AME=12∠AOM，∠AME=∠ABM，则ME与弦AB的交点即为P．
23.【答案】(1)证明：连接BD，BE，
∵AB是圆的直径，
∴∠AEB=90∘，
∴∠BED=90∘，
∵DC⊥BC，
∴∠C=∠BED=90∘，
∵AB=AD，
∴∠EDB=∠ABD，
∵CB切圆于B，
∴直径AB⊥BC，
∵DC//AB，
∴∠CDB=∠ABD，
∴∠EDB=∠CDB，
∵BD=BD，
∴ΔBED≅ΔBCD(AAS)，
∴DE=CD；
(2)解：设AB=x，则AE=AD−ED=x−2，
∵ΔBED≅ΔBCD，
∴BE=BC=6，
∵AB2=AE2+BE2，
∴x2=(x−2)2+62，
∴x=10，
∴AB=10．

【解析】【分析】(1)连接BD，BE，由圆周角定理，垂直的定义得到∠C=∠BED=90∘，由平行线的性质，等腰三角形的性质得到∠EDB=∠CDB，又BD=BD，推出ΔBED≅ΔBCD(AAS)，因此DE=CD；
(2)设AB=x，则AE=AD−ED=x−2，由勾股定理得到x2=(x−2)2+62，求出x的值即可．
24.【答案】解：设所围矩形ABCD的宽AB为x米，则宽AD为(50−2x)米．
依题意，得x⋅(50−2x)=300，
即，x2−25x+150=0，
解此方程，得x1=15，x2=10．
∵墙的长度不超过25m，
∴x2=10不合题意，应舍去．
∴垂直于墙的一边长AB为15米．

【解析】【分析】设所围矩形ABCD的宽AB为x米，则宽AD为(50−2x)米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解．
25.【答案】(1)证明：连接OE，则OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∵∠EOA+∠OEA+∠OAE=180∘，
∴∠EOA+2∠OEA=180，
∴12∠EOA+∠OEA=90∘，
∵∠AEC=∠EDA=12∠EOA，
∴∠AEC+∠OEA=90∘，
∴∠OEC=∠AEC+∠OEA=90∘，
∵OE是⊙O的半径，且EC⊥OE，
∴EC是⊙O的切线．
(2)解：∵AE=AD，
∴AE=AD，
∴AB⊥DE，
∴∠OFE=∠AFE=90∘，
∴OE2−OF2=AE2−AF2=EF2，
∵OE=OA，OF=3，AE=6，AF=OA−3，
∴OA2−32=62−(OA−3)2，
解得OA=6或OA=−3(不符合题意，舍去)，
∵OE=OA=AE=6，
∴∠AOE=60∘，
∵EF=OF⋅tan60∘=3 3，
∴S阴影=S扇形AOE−SΔAOE=60π×62360−12×6×3 3=6π−9 3，
∴阴影部分的面积是6π−9 3．

【解析】【分析】(1)连接OE，则∠OEA=∠OAE，所以∠EOA+2∠OEA=180，则12∠EOA+∠OEA=90∘，因为∠AEC=∠EDA=12∠EOA，∠OEC=∠AEC+∠OEA=90∘，即可证明EC是⊙O的切线；
(2)由AE=AD，得AE=AD，根据垂径定理得AB⊥DE，则∠OFE=∠AFE=90∘，由勾股定理得OE2−OF2=AE2−AF2=EF2，因为OE=OA，OF=3，AE=6，AF=OA−3，所以OA2−32=62−(OA−3)2，可求得OA=6，则ΔAOE是等边三角形，所以∠AOE=60∘，而EF=OF⋅tan60∘=3 3，即可由S阴影=S扇形AOE−SΔAOE，求得阴影部分的面积是6π−9 3．
26.【答案】解：(1)∵α，β是方程2x2+x−5=0的两根，
∴α+β=−12，α⋅β=−52；
∵2，3是方程x2+px+q=0的两根，
∴2+3=−p，2×3=q，解得p=−5，q=6．
故答案为：−12，−52，−5，6．
(2)∵m，n满足m2+5m−3=0，n2+5n−3=0，
当m=n时，原式=1+1=2；
当m≠n时，m、n可看作方程x2+6x−3=0的两根，
∵m+n=−5，mn=−3，
∴原式=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=(−5)2−2×(−3)−3=313．
综上，mn+nm的值为2或313．
(3)∵a+b−2c=0，abc=9，
∴a+b=2c,ab=9c，
∴a、b为一元二次方程x2−2cx+9c=0的两根，
∵▵=(−2c)2−4×9c≥0，而c>0，
∴c3≥9，即c≥39>38=2．
∴c的最小整数为2．
故答案为：2．

【解析】【分析】(1)直接利用根与系数的关系可得α+β和αβ的值，根据根与系数的关系得到2+3=−p，2×3=q，即可得到p、q的值；
(2)讨论：当m=n时，易得原式=2；当m≠n时，把m、n看作方程x2+5x−3=0的两根，利用根与系数的关系得到m+n=−5，mn=−3，再通分化简原式，然后利用整体代入计算即可解答；
(3)利用已知条件变形得到a+b=2c,ab=9c，根据根与系数的关系，则a、b为一元二次方程x2−2cx+9c=0的两根，再根据根的判别式的意义得到▵=(−2c)2−4×9c≥0，然后确定c的最小整数值．
27.【答案】(1)解：当CD为⊙O的直径时，CD有最大值，最大值为10，
如图4，当点D与点A重合时，CD有最小值，
连接BC，
∵AB⊥CD，
∴BC为⊙O的直径，
由勾股定理得：AC= BC2−AB2= 102−82=6，
故答案为：10；6；
(2)证明：如图2，连接AD，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CAD=90∘，
∵AC=12，DH=7，CH=9，
∴ACCD=1216=34，CHAC=912，
∴ACCD=CHAC，
∵∠C=∠C，
∴ΔHCA∽ΔACD，
∴∠CHA=∠CAD=90∘，
∴AB⊥CD，
∴AB、CD互为“十字弦”；
(3)解：如图3，过点O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OD，
∵AB⊥CD，
∴四边形EOFH为矩形，
∵AB=CD，OE⊥CD，OF⊥AB，
∴OE=OF，
∴矩形EOFH为正方形，
∴OE=EH，
设DH=x，则CH=5x，
∴CD=CH+DH=6x，
∵OE⊥CD，
∴DE=12CD=3x，
∴EH=OE=2x，
在RtΔOED中，OE2+DE2=OD2，即(2x)2+(3x)2=( 13)2，
解得：x1=1，x2=−1(舍去)，
∴CD=6x=6，
故答案为：6．

【解析】【分析】(1)根据直径的最长的弦求出CD的最大值，根据圆周角定理、勾股定理求出CD的最小值；
(2)连接AD，根据圆周角定理得到∠CAD=90∘，证明ΔHCA∽ΔACD，根据相似三角形的性质得到∠CHA=∠CAD=90∘，根据“十字弦”的定义证明结论；
(3)过点O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OD，证明四边形EOFH为正方形，根据正方形的性质得到OE=EH，根据勾股定理列方程，解方程得到答案．
28.【答案】解：(1)连接DQ，
∵AD//CQ，∠ADC=∠DCQ=90∘，
∴∠ACQ=∠DAC(两直线平行，内错角相等)，
∵∠DPQ=90∘，
∴∠DPQ+∠DCQ=180∘，
∴点D、P、Q、C共圆，
∴∠PDQ=∠PCQ，∠DQP=∠PCD(同弧所对的圆周角相等)，
∴∠PDQ=∠DQP，
∴DP=QP(等角对等边)；
故答案为：两直线平行，内错角相等；同弧所对的圆周角相等；等角对等边；
(2)结论成立，理由如下：
连接DQ，
∵AD//CQ，∠ADC=∠DCQ=90∘，
∴∠ACQ=∠DAC(两直线平行，内错角相等)，
∵∠DPQ=90∘，
∴∠DPQ+∠DCQ=180∘，
∴点D、P、Q、C共圆，
∴∠PDQ=∠PCQ，∠DQP=∠PCD(同弧所对的圆周角相等)，
∴∠PDQ=∠DQP，
∴DP=QP；
(3)①∠CPQ=90∘时，此时P点和A点重合，
∵∠ADC=120∘，
∴∠ABQ=180∘−∠ABC=60∘，∠CAB=30∘，
∴∠BAQ=60∘，
即ΔPBQ是等边三角形，
∵AD=3，
∴AQ=AD=AB=3，
即PQ=3；
②当∠CQP=90∘时，此时，B点和Q点重合，
∵BC=AD=3，∠PCQ=30∘，
∴PC=2PQ，
∴PQ2+BC2=(2PQ)2，
解得PQ= 3(舍去负值)，
综上所述，PQ的长为3或 3．

【解析】【分析】(1)平行线的性质，圆的性质，等腰三角形的性质得出结论即可；
(2)同理(1)得出结论即可；
(3)分情况利用特殊直角三角形得出PQ的长度即可．
连接DQ，∵AD//CQ，∠ADC=∠DCQ=90∘，∴∠ACQ=∠DAC，(依据1)∵∠DPQ=90∘，∴∠DPQ+∠DCQ=180∘，∴点D、P、Q、C共圆，∴∠PDQ=∠PCQ，∠DQP=∠PCD，(依据2)∴∠PDQ=∠DQP，∴DP=QP.(依据3)