2023-2024学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知⊙O的半径为5，若点P在⊙O内，则OP的长可以是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
2.若关于x的一元二次方程x−2x+a=0有两个相等的实数根，则实数a的值为
( )
A. −1B. 1C. −4D. 4
3.学校食堂有15元，18元，20元三种盒饭供学生选择(每人购一份).某天盒饭销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是
( )
A. 15元B. 16元C. 17元D. 18元
4.下列说法中，正确的是( )
A. 两个半圆是等弧B. 三个点确定一个圆
C. 相等的弦所对的弧相等D. 圆的内接平行四边形是矩形
5.如图，⊙O的弦AB，DC的延长线相交于点E，∠AOD=142∘，BC⌢为64∘，则∠AED的度数为
( )
A. 38∘B. 39∘C. 40∘D. 41∘
6.若关于x的方程ax2+bx+c=0a≠0的两根之和是m，两根之积是n，则关于t的方程at+12+bt+1+c=0的两根之积是
( )
A. n+m−1B. n+m+1C. n−m+1D. n−m−1
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.方程x2−2x=0的解是______．
8.据调查，某班40位同学所穿鞋子的尺码如表所示，则鞋子尺码的中位数是_____码．
9.在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为_____ ∘．
10.甲、乙两人分别进行5次射击练习，成绩如下(单位：环)：甲：7，8，7，7，10；乙：8，7，8，10，8.甲、乙的射击成绩的方差分别为s甲2,s乙2，则s甲2_____s乙2(填“>”“<”或“=”)．
11.建邺区2020年GDP为1122亿元，2022年GDP为1251亿元，设这两年GDP的年平均增长率为x，根据题意可列方程为_____．
12.圆锥的底面半径为6㎝，母线长为10㎝，则圆锥的侧面积为______cm2
13.如图，AB=AC=AD.若∠ADB=α，则∠BCD=_____．
14.如图，在正六边形ABCDEF中，点P是AF上任意一点，连接PC，PD，则▵PCD与正六边形ABCDEF的面积之比为_____．
15.设x1，x2是一元二次方程ax+bx−a+b=0(a,b是常数)的两个根．若x1x2<0则x1+x2的取值范围是_____．
16.如图，在▱ABCD中，AB=12cm，AD=6cm，∠DAB=60∘，点P为AB上一点，过点C，D，P作⊙O，当点P从点A运动到点B时，点O运动路线的长为_____cm．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解下列方程：
(1)x2+2x+1=25
(2)(x−2)(x+3)=(x−2)(2x−1),．
四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
“强国”自习室规定，每人每天学习需一次性支付10元场地费．随机抽取自习室一周的学习人数如下表(单位：人)：
(1)求该自习室本周的日平均营业额．
(2)如果用该自习室本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？如果合理，请说明理由；如果不合理，请设计一个方案，并估计该自习室当月(按30天计算)的营业总额．
19.(本小题8分)
根据江心洲地质水文条件量身打造的“新时代号”泥水平衡盾构机，是目前世界上最先进的盾构设备之一，被誉为“国之重器”.如图1，盾构机核心部件——刀盘的形状是一个圆形．如图2，当机器暂停时，刀盘露在地上部分的跨度AB=12m，拱高(弧的中点到弦的距离CD)3m，求盾构机刀盘的半径．
20.(本小题8分)
如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长DC，AB相交于点E，且∠ABC=2∠E，求证：▵ADE是等腰三角形．
21.(本小题8分)
已知关于x的方程．x+kx+k−2=0
(1)证明：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若k为整数，则当k为何值时，方程的根是整数．
22.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，BC⌢=CD⌢，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．

(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若AD=10，AO=13，求CE的长．
23.(本小题8分)
2023年全国旅游市场持续回暖．经调研，“十一”假期期间，如果某景区门票定价为每张80元，那么当天入园人数预计将达到20000人；如果票价每增加1元，那么当天入园人数就减少200人．要使每日门票收入达到1620000元，票价应定为多少元?
24.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC⌢=CE⌢，AE，CB的延长线交于点G，CF⊥AB交于AG于点F，垂足为D．

(1)求证∠CAB=∠BCD;
(2)求证AF=FG．
25.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，AB=AC，⊙O是▵ABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为D，分别交CB的延长线，AG于点E，F；AF，BC的延长线交于点G．
(1)求证AC=CG.
(2)若EB=CG,求∠BAC的度数．
26.(本小题8分)
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC=16cm,BD=12cm,动点M从点A出发沿AC方向以2cm/s的速度运动到点C，动点N从点B出发沿BD方向以1cm/s的速度运动到点D.若点M，N同时出发，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动．

(1)出发1秒钟时，▵MON的面积=____cm2；
(2)出发几秒钟时，▵MON的面积为1cm2
27.(本小题8分)
如图，已知▵ABC和长度为m的线段．用圆规与无刻度直尺分别作出满足下列条件的圆．(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)

(1)求作⊙A，使其与线段BC相交所形成的弦的长度为m．
(2)求作⊙O，使其与▵ABC各边相交所形成的弦的长度均为m．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据点与圆的位置关系可得OP<5，由此即可得出答案．
【详解】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O内，
∴OP<5，
观察四个选项可知，只有选项A符合，
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系(圆内、圆上、圆外)是解题关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式Δ=b2−4ac=0，求出a的值即可．熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x−2x+a=0有两个相等的实数根，
∴Δ=−22−4⋅1⋅a=0，
即4−4a=0
解得：a=1
故选：B．
3.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了平均数，根据平均数等于数据总数除以总人数进行列式作答即可．
【详解】解：依题意，设当天有x个学生购买盒饭，
则18×50%x+15×40%x+20×1−50%−40%xx=9x+6x+2xx=17
所以当天学生购买盒饭费用的平均数是17元
故选：C．
4.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了与圆有关的概念．熟记和圆有关的各种性质是解题的关键，根据三点共圆的有关知识、弧弦之间的关系、圆周角定理的知识点逐个选项进行分析．
【详解】解：A、两个半圆半径不一定相等，故不一定是等弧，故两个半圆是等弧此说法不正确，不符合题意；
B、三个点不一定确定一个圆，当三个点共线时，作任两点间线段的垂直平分线，发现作出的垂直平分线都互相平行，无法确定一个圆，只有不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，故此说法不正确，不符合题意；
C、相等的弦不在同圆或等圆中，所对的弧不一定相等，故此说法不正确，不符合题意；
D、圆内接四边形的 对角互补，又平行四边形对角相等，故对角均为直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，故圆的内接平行四边形是矩形此说法正确，符合题意．
故选：D．
5.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；连接OB,OC,BD，根据圆周角定理得出∠ABD=12∠AOD=71∘，∠BDC=12∠BOC=32∘，最后根据三角形的外角定理即可解答．
【详解】解：连接OB,OC,BD，
∵∠AOD=142∘，
∴∠ABD=12∠AOD=71∘，
∵BC⌢ 为 64∘，
∴∠BOC=64∘，
∴∠BDC=12∠BOC=32∘，
∴∠AED=∠ABD−∠BDC=71∘−32∘=39∘，
故选：B．

6.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系：若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根，则x1+x2=−ba,x1x2=ca.利用换元的思想是解决问题的关键．先把方程at+12+bt+1+c=0看作关于t+1的一元二次方程，则利用关于x的方程ax2+bx+c=0a≠0的两根为x1,x2得到t1=x1−1,t2=x2−1，然后利用根与系数的关系得到结论．
【详解】解：把方程at+12+bt+1+c=0看作关于t+1的一元二次方程，
设关于x的方程ax2+bx+c=0a≠0的两根为x1,x2，
则方程at+12+bt+1+c=0 的 两根为t1=x1−1,t2=x2−1，
∵关于x的方程ax2+bx+c=0a≠0的两根之和是m，两根之积是n，
∴x1+x2=m,x1x2=n，
∴t1t2=x1−1x2−1=x1x2−x1+x2+1=n−m+1．
故选：C．
7.【答案】x1=2,x2=0
【解析】【分析】利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】解：x2−2x=0，
∴x−2x=0，
∴x−2=0,x=0，
解得：x1=2,x2=0．
故答案为：x1=2,x2=0
8.【答案】38
【解析】【分析】本题考查了中位数，熟记中位数的定义“将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”是解题关键．根据中位数的定义即可得．
【详解】解：由中位数的定义得：第20个数和第21个数的平均数即为中位数，
则鞋子尺码的中位数是38+382=38(码)，
故答案为：38．
9.【答案】60
【解析】【分析】本题考查了圆心角、等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆心角是解题关键．根据等边三角形的判定与性质可得∠AOB=60∘，由此即可得．
【详解】解：如图，∵在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，
∴OA=OB=AB，
∴▵AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60∘，
即弦AB所对的圆心角为60∘，
故答案为：60．

10.【答案】>
【解析】【分析】本题考查了方程，根据方差的定义“各个数据与平均数的差的平方的平均数”，求出两人的方程，即可解答．
【详解】解：根据题意可得：
x甲=7+8+7+7+105=7.8，
x乙=8+7+8+10+85=8.2，
s甲2=153×7.8−72+8−7.82+10−7.82=1.36，
s乙2=153×8.2−82+8.2−72+10−8.22=0.96，
∴s甲2>s乙2，
故答案为：>．
11.【答案】11221+x2=1251
【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为a1+xn；而增长率为负数时，则降低后的结果为a1−xn.据此即可列出方程．
【详解】解：设这两年GDP的年平均增长率为x，
可列方程为：11221+x2=1251，
故答案为：11221+x2=1251．
12.【答案】60π
【解析】【详解】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
解：圆锥的侧面积=π×6×10=60πcm2．
13.【答案】α+90∘##90∘+α
【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得∠ABD=∠ADB=α，再设∠CBD=x,∠CDB=y，则∠ABC=α+x，∠ADC=α+y，根据等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC=α+x，∠ACD=∠ADC=α+y，然后在▵BCD中，根据三角形的内角和定理可得α+x+y=90∘，最后根据∠BCD=∠ACB+∠ACD即可得．
【详解】解：∵AB=AD，∠ADB=α，
∴∠ABD=∠ADB=α，
设∠CBD=x,∠CDB=y，则∠ABC=α+x，∠ADC=α+y，
∵AB=AC=AD，
∴∠ACB=∠ABC=α+x，∠ACD=∠ADC=α+y，
在 ▵BCD中，∠CBD+∠CDB+∠ACB+∠ACD=180∘，
∴x+y+α+x+α+y=180∘，
整理得：α+x+y=90∘，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=α+x+α+y=α+90∘，
故答案为：α+90∘．
14.【答案】1:3
【解析】【分析】本题考查正多边形与圆，三角形的面积，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
设正多边形的中心为O，如图，连接CF，DF，OD，根据AF/​/CD，得到S▵PCD=S▵FCD，根据OC=OF得到S▵OCD=S▵OFD=12S▵PCD，而S▵OCD=16S正六边形，求出比值即可．
【详解】解：设正多边形的中心为O，如图，连接CF，DF，OD，

∵AF//CD，
∴S▵PCD=S▵FCD，
∵OC=OF，
∴S▵OCD=S▵OFD=12S▵PCD，
∵S▵OCD=16S正六边形，
∴▵PCD与正六边形ABCDEF的面积之比为1：3．
故答案为：1：3．
15.【答案】x1+x2<1
【解析】【分析】本题考查根与系数的关系，根与系数的关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧妙使用整体思想是解题的关键．
【详解】解：因为x1，x2是一元二次方程ax+bx−a+b=0(a,b是常数)的两个根．
所以x1x2=−a+ba<0，
即−1−ba<0
所以−ba<1
那么x1+x2=−ba<1
故答案为：x1+x2<1
16.【答案】5 32
【解析】【分析】依题意，⊙O是△CDP的外接圆，结合四边形ABCD是平行四边形，得O2G=12DH，根据勾股定理以及中位线性质得O2G=12DH=3 32cm，因为MN⊥AB，DH⊥DC，得四边形DHGM是矩形，则AG=AH+HG=9cm，那么GI=AG−AI=3cm，结合三角函数，即可作答．
【详解】解：依题意，过点C，D，P作⊙O，
故当点P与点A重合时，此时点P为点P1，圆心为点O1，当点P与点B重合时，此时点P为点P2，圆心为点O2，过点D作DH⊥AB，如图所示：

则EF是AD的垂直平分线，EF与AB相交于一点，为I，NM是CD的垂直平分线，NM与AB相交于一点，为G，EF与NM相交于一点，为O1；
因为四边形ABCD是平行四边形
所以O2是▱ABCD的对角线的交点，MN⊥AB，DH⊥DC
那么四边形DHGM是矩形，DM=HG=12×12cm=6cm，O2G=12DH
因为AB=12cm，AD=6cm，∠DAB=60∘，EF⊥AD
所以∠FIA=∠GIO1=30∘，AF=12AD=3cm
故AI=6cm，
所以点O1是AB的中点
当点P从点A运动到点B时，点O运动路线的长为O1O2；
因为AB=12cm，AD=6cm，∠DAB=60∘，
所以∠ADH=30∘
则AH=12AD=3cm，DH= AD2−AH2= 36−9=3 3cm
那么O2G=12DH=3 32cm，AG=AH+HG=3+6=9cm
故GI=AG−AI=3cm
因为∠GIO1=30∘，
则tan∠GIO1=O1GIG= 33
即O1G= 3cm
所以O1O2=O2G+O1G=3 32+ 3=5 32cm
故答案为：5 32
【点睛】本题考查了三角形的外接圆，以及平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角函数，难度较大，综合性较强，三角形的外接圆是三边的垂直平分线的交点，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
17.【答案】【小问1详解】
x2+2x+1=25，
(x+1)2=25,
x+1=± 25=±5,
x1=4,x2=−6;
【小问2详解】
(x−2)(x+3)=(x−2)(2x−1),
(x−2)(x+3)−(x−2)(2x−1)=0,
(x−2)[(x+3)−(2x−1)]=0,
(x−2)(x+3−2x+1)=0,
(x−2)(4−x)=0,
x−2=0或4−x=0,
x1=2,x2=4.

【解析】【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和直接开方法是解题的关键．
(1)把方程左边化为完全平方式的形式，再求出x的值即可;
(2)先移项，再提取公因式即可．
18.【答案】【小问1详解】
解：756×10÷7=1080(元)，
答：该自习室本周的日平均营业额为1080元．
【小问2详解】
解：不合理，平均数受极端值的影响较大，周六和周日的营业额明显高于其他5天，所有用该自习室本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额不合理；
方案：用该自习室周一到周日的平均营业额估计当月营业额，
1080×30=32400(元)．

【解析】【分析】本题考查了求算术平均数，用样本估计总体，掌握求算术平均数以及用样本估计总体的方法和步骤是解题的关键．
(1)根据平均数的定义即可求解；
(2)从极端值对平均数的影响作出判定，可用该自习室周一到周日的平均营业额估计当月营业额．
19.【答案】解：依题意，如图：

设OA=OC=rm
∵OC⊥AB，
∴AD=DB=12AB=6m
∵OA2=AD2+OD2，
∴r2=62+r−32，
∴r=7.5．
所以盾构机刀盘的半径为7.5m．

【解析】【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，设OA=OC=rm，构建方程求解．解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程．
20.【答案】证明：∵∠ABC=2∠E，∠ABC=∠E+∠BCE，
∴∠E=∠BCE，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180∘
∵∠BCE+∠BCD=180∘，
∴∠BCE=∠BAD，
∴∠E=∠BAD，则DA=DE，
∴▵ADE是等腰三角形．

【解析】【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质，三角形的外角定理，等角对等边，根据三角形的外角定理，得出∠E=∠BCE，再根据圆内接四边形对角互补，推出∠BCE=∠BAD，即可得出∠E=∠BAD，最后根据等角对等边，即可求证．
21.【答案】【小问1详解】
证明：Δ=k2−4k−2
=k2−4k+8
=k−22+4，
∵k−22≥0，
∴k−22+4>0，
∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：x2+kx+k−2=0，
x=−k± k−22+42，
要使方程的解为整数，则k−22+4为平方数，
设k−22+4=m2，
整理得：m+k−2m−k+2=4，
∵m+k−2与m−k+2的奇偶性相同，
∴m+k−2=2m−k+2=2或m+k−2=−2m−k+2=−2,
解得：m=2k=2或m=−2k=2,
当k=2时，方程变为x2+2x=0，
解得：x=0或x=−2，
∴当k=2时，方程的根是整数．

【解析】【分析】(1)由▵=k2−4k−2>0可得结论；
(2)求方程得x=−k± k−22+42，要使方程的解为整数，则k−22+4为平方数，设k−22+4=m2，整理得m+k−2m−k+2=4，根据m+k−2与m−k+2的奇偶性相同，得出m+k−2=2m−k+2=2或m+k−2=−2m−k+2=−2，求出m=2k=2或m=−2k=2即可．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及一元二次方程根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
22.【答案】【小问1详解】
解：连接OC，AC，如图所示：

∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵BC⌢=CD⌢
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC//AE，
∵∠E=90∘，
∴∠OCE=∠E=90∘，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：如图，作OF⊥AD，

∵OF⊥AD，
∴AF=12AD=5
∵∠OFE=∠FEC=∠ECO=90∘，
∴四边形OCEF是矩形，
∴CE=OF，
在Rt▵AOF中，由勾股定理得：
OF= 132−52=12
∴CE=12．

【解析】【分析】本题考查了切线的判定定理和勾股定理，垂径定理：
(1)连接OC，AC，OA=OC，则∠OCA=∠OAC，再由已知条件，可得∠OCE=90∘；
(2)作OF⊥AD，得到四边形OCEF 是 矩形和AF=5，根据矩形性质可得CE长．
23.【答案】解：设票价应定为x元，
由题意得：x20000−200x−80=1620000，
整理得：x2−180x+8100=0，
解得：x1=x2=90，
所以票价应定为90元．

【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设票价应定为x元，根据票价×每日销售的票数=每日门票收入，列出一元二次方程，解方程即可．
24.【答案】【小问1详解】
证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠ACD+∠BCD=90∘，
∵CF⊥AB，
∴∠ADC=90∘，
∴∠CAB+∠ACD=90∘，
∴∠CAB=∠BCD;
【小问2详解】
证明：∵AC⌢=CE⌢，
∴∠ABC=∠CAE，
∵∠ACB=90∘，CF⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠ABC=90∘，
∴∠ACD=∠ABC，
∴∠ACD=∠CAE，
∴AF=CF，
∵∠G+∠CAE=∠BCD+∠ACD=90∘，∠ACD=∠CAE，
∴∠G=∠BCD，
∴CF=FG，
∴AF=FG．

【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．
(1)根据AB是⊙O的直径，得出∠ACD+∠BCD=90∘，再根据CF⊥AB，得出∠CAB+∠ACD=90∘，即可求证；
(2)根据圆周角定理得出∠ABC=∠CAE，根据∠ACB=90∘，CF⊥AB，得出∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠ABC=90∘，则∠ACD=∠ABC，进而得出∠ACD=∠CAE，则AF=CF，再根据∠G+∠CAE=∠BCD+∠ACD=90∘，∠ACD=∠CAE，得出∠G=∠BCD，则CF=FG，即可求证．
25.【答案】【小问1详解】
解：连接CF，
∵OF⊥AC，
∴AF⌢=CF⌢，
∴∠FCA=∠FAC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABC+∠AFC=180∘，∠GFC+∠AFC=180∘，
∴∠GFC=∠ABC，
∴∠GFC=∠ACB，
∵∠GFC=∠FAC+∠FCA,∠ACB=∠GAC+∠G，
∴∠G=∠FCA，
∴∠G=∠FAC，
∴AC=CG；
【小问2详解】
解：连接AE，
∵EB=CG，AC=CG，AB=AC，
∴EB=AB，∠ABC=∠ACB，
∴∠AEB=∠EAB，
设∠AEB=∠EAB=x，则∠ABC=∠ACB=2x，
∵OD⊥AC，
∴AD=CD，
∵ED⊥AC，
∴AE=CE，
∴∠ACB=∠EAC=2x，
∴∠BAC=∠EAC−∠EAB=x
在▵ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC=x+2x+2x=180∘，
解得：x=36∘，
∴∠BAC=36∘．

【解析】【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
(1)连接CF，根据垂径定理得出AF⌢=CF⌢，则∠FCA=∠FAC，根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB，结合圆的内接四边形的性质，得出∠GFC=∠ABC，进而得出∠GFC=∠ACB，根据∠GFC=∠FAC+∠FCA,∠ACB=∠GAC+∠G，则∠G=∠FCA，得出∠G=∠FAC，即可求证AC=CG；
(2)连接AE，易得EB=AB，∠ABC=∠ACB，则∠AEB=∠EAB，设∠AEB=∠EAB=x，则∠ABC=∠ACB=2x，根据垂径定理和三线合一推出AE=CE，则∠ACB=∠EAC=2x，进而得出∠BAC=∠EAC−∠EAB=x最后根据∠BAC+∠ACB+∠ABC=x+2x+2x=180∘，即可求解．
26.【答案】【小问1详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=16cm,BD=12cm,
∴OA=12AC=8cm,OB=12BD=6cm，AC⊥BD，
当出发1秒钟时，AM=2cm,BN=1cm，
∴OM=OA−AM=6cm,ON=OB−BN=5cm，
∴▵MON的面积=12OM⋅ON=12×6×5=15cm2，
故答案为：15．
【小问2详解】
解：∵AC=16cm,BD=12cm,
∴t≤162t≤121,
解得：t≤8，
当点M在线段OA上时，0当点N在线段OB上时，0设出发时间为t，则AM=2t,BN=t，
①当0OM=8−2t,ON=6−t，
∵▵MON的面积为1cm2
∴12OM⋅ON=128−2t6−t=1，
解得：t1=5+ 2(舍去)，t2=5− 2，
②当4OM=2t−8,ON=6−t，
∵▵MON的面积为1cm2
∴12OM⋅ON=122t−86−t=1，
解得：t=5，
③当6OM=2t−8,ON=t−6，
∵▵MON的面积为1cm2
∴12OM⋅ON=122t−8t−6=1，
解得：t1=5+ 2，t2=5− 2(舍去)，
综上：t=5+ 2或t=5或t=5− 2．

【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程与几何问题，掌握菱形的对角线互相垂直平分，根据题意进行分类讨论是解题的关键．
(1)根据菱形的性质得出OA=12AC=8cm,OB=12BD=6cm，AC⊥BD，再得出OM=OA−AM=6cm,ON=OB−BN=5cm，最后根据三角形的面积公式求解即可；
(2)根据题意进行分类讨论即可①当027.【答案】【小问1详解】
解：如图所示：⊙A即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示：⊙O即为所求；


【解析】【分析】本题考查了尺规作图，作角平分线，垂直平分线，解题的关键是熟练掌握尺规作图的作图方法和步骤，以及垂径定理和三角形内心的性质“三角形的内心到三边距离相等”．
(1)先作长度为m的线段的垂直平分线，作AT⊥BC于点T，再TC上截取RT，使RT=12m，连接AR，最后以点A为圆心，AR为半径作⊙A即可；
(2)先作▵ABC的内心O，再作OR⊥AC于点R，再RA上截取RQ，使RQ=12m，连接OQ，最后以点O为圆心，OQ为半径作⊙O即可．
尺码/码
35
36
37
38
39
40
41
42
人数
3
4
6
8
7
5
4
3
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
合计
54
68
76
64
96
220
178
756