2023-2024学年江苏省南通市启东市九年级(上)期中数学试卷(含解析)
展开1.下列说法中,正确的是( )
A. 不可能事件发生的 概率为0
B. 随机事件发生的概率为12
C. 概率很小的事件不可能发生
D. 投掷一枚质地均匀的硬币100次,正面朝上的次数一定为50次
2.将抛物线y=x2向右平移3个单位,再向上平移4个单位,得到的抛物线是
( )
A. y=(x−3)2+4B. y=(x+3)2+4C. y=(x+3)2−4D. y=(x−3)2−4
3.如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠AOC=100∘,则∠ABC的度数为
( )
A. 80∘B. 130∘C. 50∘D. 50∘或130∘
4.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A1,0,B5,0,下列说法正确的是
( )
A. c<0B. b2−4ac<0
C. a−b+c<0D. 图象的对称轴是直线x=3
5.如图,冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形,则蛋筒圆锥部分包装纸的面积(接缝忽略不计)是( )
A. 27cm2B. 54cm2C. 27πcm2D. 54πcm2
6.将分别标有“最”、“美”、“宜”、“昌”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中,这些小球除汉字以外其它完全相同,每次摸球前先搅匀,随机摸出一球,不放回,再随机摸出一球,两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的概率是( )
A. 16B. 18C. 14D. 516
7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的x、y的部分对应值如下表所示,则下列判断不正确的是
( )
A. 当x<0时,y随x的增大而增大
B. 当x=4时,y=−2
C. 顶点坐标为(1,2)
D. x=−1是方程ax2+bx+c=0的一个根
8.如图,⊙O是▵ABC的外接圆,半径为5cm,若BC=5cm,则∠A的度数为
( )
A. 30∘B. 25∘C. 15∘D. 10∘
9.已知二次函数y=x2+2(m−2)x−m+2的图象与x轴最多有一个公共点,若y=m2−2tm−3的最小值为3,则t的值为
( )
A. −12B. 32或−32C. −52或−32D. −52
10.已知▵ABC是边长为3的等边三角形,⊙A的半径为1,D是BC上一动点,DM,DN分别切⊙A于点M,N,⊙A的另一条切线交DM,DN于点E,F,则▵DEF周长l的取值范围是
( )
A. 4 2≤l≤6B. 4≤l≤ 23C. 23≤l≤4 2D. 4 2≤l≤2 10
二、填空题:本题共8小题,每小题3分,共24分。
11.二次函数y=2(x−1)2−5的最小值是______.
12.某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表:
那么这种油菜籽发芽的概率是__________(结果精确到0.01)
13.如图,点O是▵ABC外接圆的圆心,点I是▵ABC的内心,连接OB,IA.若∠CAI=35∘,则∠OBC的度数为______.
14.用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏.同时转动两个转盘,若其中一个转出红色,另一个转出蓝色即可配成紫色,则同时转动两个转盘可配成紫色的概率是__________.
15.如图,《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓,弧长约为58π米,“弓”所在的圆的半径约1.25米,则“弓”所对的圆心角度数为______.
16.某广场要建一个圆形喷水池,计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心的水距离也为3m,那么水管的设计高度应为______m.
17.如图,点P(3,4),⊙P半径为2,A(2.8,0),B(5.6,0),点M是⊙P上的动点,点C是MB的中点,则AC的最小值是________.
18.对于一个函数:当自变量x取a时,其函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点,若二次函数y=x2+2x+c(c为常数)有两个不相等且都小于1的不动点,则c的取值范围是___________.
三、解答题:本题共8小题,共64分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=−112x2+23x+53,铅球运行路线如图.
(1)求铅球推出的水平距离;
(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4m.
20.(本小题8分)
如图,在▵ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交边AC于点D,连接BD,过点C作CE//AB.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图:过点B作⊙O的切线,交CE于点F;(不写作法,保留作图痕迹,标明字母)
(2)在(1)的条件下,求证:BD=BF.
21.(本小题8分)
为了响应国家有关开展中小学生:“课后服务”的政策,某学校课后开设了五门课程供学生选择,分别是A:足球:B:书法:C:阅读:D:绘画:E:合唱.学生需要从中选报自己喜欢的两门课程.
(1)若甲同学选第一门课程时,从上面课程中随机挑选一门,则甲同学选中“A:足球”的概率为_______.
(2)若甲同学和乙同学第一次都选择了“A:足球”,第二次都从剩余课程里随机选一门课程,那么他们第二次选课相同的概率是多少?请用列表或画树状图的方法加以说明.
22.(本小题8分)
如图,▵ABC中,DC为⊙O 的 直径,点B为CD延长线上一点,AB是⊙O的切线,A为切点,且AC=AB,
(1)求∠ACB的度数;
(2)若BD=6,求图中阴影部分的面积.
23.(本小题8分)
如图,5个座位排成一排,一个座位上坐1人,张老师先坐在最中间的位置.
(1)甲等可能地坐在其他空座位上,则甲与张老师相邻而坐的概率等于______;
(2)甲、乙2人等可能地坐到其他4个空座位中的2个座位上(如图,记其余4个空座位的标号分别为1,2,3,4),请用画“树状图”或列表格的方法,求甲与张老师不相邻,但和乙相邻的概率.
24.(本小题8分)
已知,二次函数y=ax2−2ax+3(a≠0).
(1)若该图象过点(3,6),求a的值;
(2)当0≤x≤3时,y的最大值是92,求a的值;
(3)当a>0时,若Am,y1,Bm+1,y2,Cm+3,y3在函数图象上,且y2
如图1,点G为等边▵ABC的重心,点D为BC边的中点,连接GD并延长至点O,使得DO=DG,连接GB,GC,OB,OC.以点O为圆心,OG为半径作⊙O.
(1)请判断直线AB与⊙O的位置关系,并予以证明;
(2)如图2,点M为劣弧BC上一动点(与点B,点C不重合),连接BM并延长交AC于点E,连接CM并延长交AB于点F,求证:AE+AF为定值.
26.(本小题8分)
如图1,抛物线y=−x2+bx与x轴交于点A,与直线y=−x交于点B4,−4,点C0,−4在y轴上.点P从点B出发,沿线段BO方向匀速运动,运动到点O时停止.
(1)求抛物线y=−x2+bx的表达式;
(2)当BP=2 2时,请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D,连接PC,OD,判断四边形OCPD的形状,并说明理由.
(3)如图2,点P从点B开始运动时,点Q从点O同时出发,以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动,点P停止运动时点Q也停止运动.连接BQ,PC,求CP+BQ的最小值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【详解】试题分析:不可能事件发生的概率为0,故A正确;
随机事件发生的概率为在0到1之间,故B错误;
概率很小的事件也可能发生,故C错误;
投掷一枚质地均匀的硬币100次,正面向上的次数为50次是随机事件,D错误;
故选A.
考点:随机事件.
2.【答案】A
【解析】【分析】根据“左加右减,上加下减”的法则进行解答即可.
【详解】解:将抛物线y=x2向右平移3个单位,再向上平移4个单位,得到的抛物线的函数表达式为:y=(x−3)2+4.
故选:A.
本题考查了二次函数图象的平移,熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键.
3.【答案】B
【解析】【分析】此题考查圆周角性质,圆内接四边形的性质,根据∠AOC=100∘,得到∠ADC=50∘,利用四边形ABCD内接于⊙O,得到∠ADC+∠ABC=180∘由此求出∠ABC=130∘,熟练掌握圆内接四边形的性质及圆周角性质是解题的关键.
【详解】解:∵∠AOC=100∘,
∴∠ADC=50∘
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠ADC+∠ABC=180∘
∴∠ABC=130∘
故选:B.
4.【答案】D
【解析】【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解.
【详解】由图象可知图象与y轴交点位于y轴正半轴,故c>0. A选项错误;
函数图象与x轴有两个交点,所以b2−4ac>0,B选项错误;
观察图象可知x=−1时y=a−b+c>0,所以a−b+c>0,C选项错误;
根据图象与x轴交点可知,对称轴是(1,0).(5,0)两点的中垂线,x=1+52,
x=3即为函数对称轴,D选项正确;
故选D
此题主要考查二次函数的图像与性质,解题的关键是熟知二次函数的图像.
5.【答案】C
【解析】【分析】根据圆锥的 侧面积公式S=πrl求解即可得.
【详解】解:由图可知,圆锥的底面半径为62cm=3cm,母线长为9cm,
则圆锥的侧面积为π×3×9=27πcm2,
即蛋筒圆锥部分包装纸的面积(接缝忽略不计)是27πcm2,
故选:C.
本题考查了圆锥的侧面积,熟记公式是解题关键.
6.【答案】A
【解析】【分析】画树状图,共有12种等可能的结果,其中两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的结果有2种,再由概率公式求解即可.
【详解】解:画树状图如下:
共有12种等可能的结果,其中两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的结果有2种,
∴两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的概率为212=16,
故选:A.
本题考查了树状图法求概率,树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适用于两步或两步以上完成的事件.解题时还要注意是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
7.【答案】B
【解析】【分析】利用待定系数法求出二次函的解析式,得出顶点坐标,可判断选项C;由函数的增减性质可判断选项A;代入x=4,可求得y的值,可判断选项B;由x=−1时,y=0,可判断选项D;即可得出结论.
【详解】解:由题意得:a−b+c=0c=1.5a+b+c=2,解得a=−12b=1c=32,
∴二次函数y=ax2+bx+c的解析式为y=−12x2+x+32=−12(x−1)2+2,
∴顶点坐标为(1,2),选项C不符合题意;
∵−12<0,开口向下,∴x<1时,y随x的增大而增大,
∴x<0时,y随x的增大而增大,选项A不符合题意;
当x=4时,y=−2.5,选项B符合题意;
∵x=−1时,y=0,∴x=−1是方程ax2+bx+c=0的一个根,选项 D不符合题意;
故选:B.
本题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点等知识.熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键.
8.【答案】A
【解析】【分析】连接OB和OC,证明▵OBC为等边三角形,得到∠BOC的度数,再利用圆周角定理得出∠A.
【详解】解:连接OB和OC,
∵⊙O半径为5cm,BC=5cm,
∴OB=OC=BC,
∴▵OBC为等边三角形,
∴∠BOC=60∘,
∴∠A=12∠BOC=30∘,
故选:A.
本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质,解题的关键是正确的作出辅助线.
9.【答案】D
【解析】【分析】本题考查一次函数与x轴交点问题,二次函数图象性质,二次函数的最值.根据二次函数y=x2+2(m−2)x−m+2的图象与x轴最多有一个公共点,得Δ=2m−22−4−m+2≤0,求得1≤m≤2,再根据y=m2−2tm−3的最小值为3,分类讨论,求出t值即可.
【详解】解:∵二次函数y=x2+2(m−2)x−m+2的图象与x轴最多有一个公共点,
∴Δ=2m−22−4−m+2≤0
化简得m2−3m+2≤0
解得:1≤m≤2,
∵y=m2−2tm−3=m−t2−t2−3,
∵a=1>0,抛物线开口向上,
当t<1时,∵1≤m≤2,y随m增大而增大,
∴m=1时y值最小,此时最小值为1−t2−t2−3=−2t−2
∵y=m2−2tm−3的最小值为3,
∴−2t−2=3
解得:t=−52;
当1≤t≤2时,
当m=t时,y有最小值−t2−3
∵y=m2−2tm−3的最小值为3,
∴−t2−3=3
此时t无解;
当t>2时,∵1≤m≤2,y随m增大而减小,
∴m=2,y值最小,此时最小值为2−t2−t2−3=−4t+1
∵y=m2−2tm−3的最小值为3,
∴−4t+1=3
解得t=−12(舍去);
综上,若y=m2−2tm−3的最小值为3,则t=−52.
故选:D.
10.【答案】C
【解析】【分析】连接AD,AM,根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得l=2 AD2−1,根据垂线段最短可得,当AD⊥BC时,AD最小,求出AD最小值为3 32,当点D与点B(或C)重合时,AD最长,此时AD=3,即可得出3 32≤AD≤3,从而可求得l最大与是最小值,即可得出答案.
【详解】解:连接AD,AM,设EF切⊙A于G,
∵DM,DN分别是⊙A的切线,
∴DM=DN,
∵EF是⊙A的切线,
∴EM=EG,FN=FG,
∴EF=EG+FG=EM+FN,
∴▵DEF周长l=DE+EF+DF=DE+EM+FN+DF=DM+DN=2DM,
∵DM是⊙A的切线,
∴AM⊥DM,
∴DM= AD2−AM2= AD2−1,
∴l=2 AD2−1,
∴当AD最小时,l最小,当AD最大时,l最大;
根据垂线段最短可得,当AD⊥BC时,AD最小,
∵▵ABC是边长为3的等边三角形,AD⊥BC,
∴BD=12BC=32,
由勾股定理得:AD= 32−322=3 32,
当点D与点B(或C)重合时,AD最长,此时AD=3,
∴3 32≤AD≤3,
∴ 23≤l≤4 2.
故选:C.
本题考查切线长定理,切线的性质,勾股定理,等边三角形的性质,垂线段最短.根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得l=2 AD2−1,以及当AD⊥BC时,AD最小,点D与点B(或C)重合时,AD最长是解题的关键.
11.【答案】−5
【解析】【分析】由二次函数的定顶点式可得当x=1时,y取得最小值−5.
【详解】解:∵y=2(x−1)2−5,
∴当x=1时,y取得最小值−5,
故答案为−5.
本题考查二次函数的最值,熟练掌握二次函数的性质是解题关键.
12.【答案】0.95
【解析】【分析】对于不同批次的某种菜籽的发芽率往往误差会比较大,为了减少误差,我们经常采用多批次计算求平均数的方法.
【详解】解:x=96+284+380+571+948+1902+2848÷100+300+400+600+1000+2000+3000
=7209÷7400
=0.94986…
≈0.95
故答案是:0.95.
本题考查利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率.用到 知识点为:频率=所求情况数与总情况数之比.
13.【答案】20∘##20度
【解析】【分析】连接OC,由点I是▵ABC的内心可得AI平分∠BAC,根据角平分线的定义可得∠BAC=2∠CAI=70∘,根据圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC=140∘,根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案.
【详解】解:如图,连接OC,
AI ,
∵点I是▵ABC的内心,
∴AI平分∠BAC,
∵∠CAI=35∘,
∴∠BAC=2∠CAI=2×35∘=70∘,
∵点O是▵ABC外接圆的圆心,
∴∠BOC=2∠BAC=2×70∘=140∘,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=12×180∘−∠BOC=12×180∘−140∘=20∘,
故答案为:20∘.
本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理,熟练掌握以上知识点,添加适当的辅助线是解此题的关键.
14.【答案】512
【解析】【分析】根据题意,用列表法将所有可能出现的结果,分析可能得到紫色的概率,得到结论.
【详解】解:用列表法将所有可能出现的结果表示如下:所有可能出现的结果共有12种.
上面等可能出现的12种结果中,有5种情况可以得到紫色,
所以可配成紫色的 概率是512,
故答案为:512.
本题考查了列表法或树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.
15.【答案】90∘##90度
【解析】【分析】由l=nπr180,直接代入数据进行计算即可.
【详解】解:如图,由题意得:lKS⌢=58π,QK=QS=1.25,
设∠KQS=n,
∴nπ×1.25180=58π,
解得:n=90∘,
故答案为:90∘
本题考查的是已知弧长与半径求解弧所对的圆心角,熟记弧长公式是解本题的关键.
16.【答案】94m
【解析】【分析】本题考查二次函数的应用,解题的关键是读懂题意.求出抛物线解析式.根据题意求出抛物线顶点坐标为(1,3),把(3,0)代入可得解析式,再令x=0求出y值即可得到答案.
【详解】解:如图,
根据题意抛物线顶点坐标为(1,3),与x轴交点坐标为(3,0);
设抛物线解析式为y=a(x−1)2+3,
把(3,0)代入得:0=4a+3,
解得a=−34,
∴y=−34(x−1)2+3,
令x=0得:y=94,
∴水管OA的高度应为94m.
故答案为:94m.
17.【答案】32##1.5
【解析】【详解】如图,连接OP交⊙P于M′,连接OM.
∵点P(3,4),A(2.8,0),B(5.6,0),
∴OP= 32+42=5,AO=2.8,OB=5.6,
∴AB=5.6−2.8=2.8,
∴OA=AB,
又∵CM=CB,
∴AC=12OM,
∴当OM最小时,AC最小,
∴当M运动到M′时,OM最小,
此时AC的最小值=12OM′=12(OP−PM′)=32.
考点:1、点与圆的位置关系;2、坐标与图形性质;3、三角形中位线定理
18.【答案】−2
【详解】解:设a是二次函数y=x2+2x+c(c为常数)的不动点,
则a2+2a+c=a,即a2+a+c=0,
∵二次函数y=x2+2x+c(c为常数)有两个不相等且都小于1的不动点,
∴关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根,且两个实数根是都小于1,
设这两个实数根为a1,a2,则a1+a2=−1,a1a2=c,
∴Δ>0,a1<1,a2<1,
∴Δ=1−4c>0,且a1−1a2−1>0,
∴c<14,a1a2−a1+a2+1>0,
∴c+1+1>0,
∴c>−2
∴−2
19.【答案】解:令y=0,则−112x2+23x+53=0
x2−8x−20=0
(x−10)(x+2)=0
x1=10,x2=−2(舍去)
∴铅球推出的水平距离为10m.
(2)当y=4时,−112x2+23x+53=4
x2−8x=−28
(x−4)2=−12<0
∴铅球行进高度不能达到4m
【解析】【分析】(1)利用y=0解方程得出答案;
(2)令y=4,代入解析式验证即可;
此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法,正确得出函数顶点式是解题关键.
20.【答案】【小问1详解】
解:方法不唯一,如图所示.
【小问2详解】
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
又∵CE//AB,
∴∠ABC=∠BCF,
∴∠BCF=∠ACB.
∵点D在以AB为直径的圆上,
∴∠ADB=90∘,
∴∠BDC=90∘.
又∵BF为⊙O的切线,
∴∠ABF=90∘.
∵CE//AB,
∴∠BFC+∠ABF=180∘,
∴∠BFC=90∘,
∴∠BDC=∠BFC.
∵在▵BCD和▵BCF中,
∠BCD=∠BCF,∠BDC=∠BFC,BC=BC,
∴▵BCD≌▵BCFAAS.
∴BD=BF.
【解析】【分析】(1)根据尺规作图,过点B作AB的垂线,交CE于点F,即可求解;
(2)根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角,证明∠BDC=∠BFC,根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出BCD=∠BCF,进而证明▵BCD≌▵BCFAAS,即可得证.
本题考查了作圆的切线,切线的性质,直径所对的圆周角是直角,全等三角形的性质与判定,熟练掌握以上知识是解题的关键.
21.【答案】【小问1详解】
解:从5门课程中随机挑选一门,则甲选中课程A的概率为15;
故答案为:15.
【小问2详解】
根据题意画树状图为:
共有16种等可能的结果数,其中他们第二次选课相同的结果数为4,所以他们第二次选课相同的概率为416=14.
【解析】【分析】(1)直接利用概率公式计算;
(2)画树状图展示所有16种等可能的结果数,找出他俩第二次选课相同的结果数,然后根据概率公式计算.
本题主要考查了列表法或树状图法求概率,利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.
22.【答案】【小问1详解】
解:连接OA,
∵AB是⊙O的切线,点A为切点,
∴∠BAO=90∘,
又∵AB=AC,OA=OC,
∴∠B=∠ACB=∠OAC,
设∠ACB=x∘,则在▵ABC中,有:x∘+x∘+x∘+90∘=180∘,
解得:x=30,
∴∠ACB的度数为30∘;
【小问2详解】
解:∵∠ACB=∠OAC=30∘,
∴∠AOC=120∘,
∵∠BAO=90∘,BD=6,∠B=30∘,
∴OB=2OA=2OD,
∴OD=BD=6=OA,
∴CD=12,
∴AD=12CD=6,
∴AC= 3AD=6 3,
∴S▵AOC=12S▵ACD=12×12AC⋅AD=14×6 3×6=9 3,
∴阴影部分的面积=扇形AOC的面积−三角形AOC的面积,
∴120π×62360−9 3=12π−9 3,
∴阴影部分的面积为12π−9 3.
【解析】【分析】(1)根据切线的性质证明∠B=∠ACB=∠OAC,进而求得∠ACB的度数;
(2)根据阴影部分的面积=扇形AOC的面积−三角形AOC的面积即可解决问题.
本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质,掌握切线的性质和扇形面积公式是解题关键.
23.【答案】【小问1详解】
解:甲与张老师相邻而坐的概率=24=12;
【小问2详解】
解:画树状图为:
共有12种等可能的结果,其中甲与张老师不相邻,但和乙相邻的结果数为2,
所以甲与张老师不相邻,但和乙相邻的概率=212=16.
【解析】【分析】本题考查了概率公式和用列表法与树状图法求概率.利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求出事件A或B的概率.
(1)直接根据概率公式求解;
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果,再找出甲与张老师不相邻,但和乙相邻的结果数,然后根据概率公式求解.
24.【答案】【小问1详解】
解:把点3,6代入y=ax2−2ax+3中,得
6=9a−6a+3,
∴a=1;
【小问2详解】
解:抛物线的对称轴为x=−−2a2a=1,
当a>0时,∵当0≤x≤3时,y的最大值是92,
∴当x=3时,y=92,
∴把3,92代入y=ax2−2ax+3中,得a=12;
当a<0时,∵当0≤x≤3时,y的最大值是92,
∴当x=1时,y=92,
∴把1,92代入y=ax2−2ax+3中,得a=−32;
∴综上所述,a的值为12或−32;
【小问3详解】
解:抛物线的对称轴为x=−−2a2a=1,
当a>0时,∵y2
∴−12
【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象性质,二次函数的最值.
(1)把点3,6代入y=ax2−2ax+3中,求解即可;
(2)分两种情况:当a>0时,当a<0时,根据最大值是92,求解即可;
(3)根据当a>0时,y2
25.【答案】【小问1详解】
解:直线AB与⊙O的位置关系是相切,
证明:∵▵ABC是等边三角形,G是重心,点D为BC边的中点,
∴连接点A、G、D,其所在直线是BC的垂直平分线,
∴GO⊥BC,且BD=DC,
∵DO=DG,
∴GO与BC互相垂直且平分,
∴四边形BOCG是菱形;
又∵等边▵ABC中,∠ABC=60∘,BG为∠ABC的角平分线,
∴∠ABG=∠GBO=30∘,
∴∠CBO=∠GBC=30∘,
∵∠ABO=∠ABG+∠GBC+∠CBO=90∘,
∴AB⊥OB,
∴AB与⊙O相切;
【小问2详解】
证明:∵∠BGC与∠BMG对应的弦为BC,
∴∠BMC=∠BGC=180∘−60∘=120∘,
∴∠MBC=180∘−120∘−∠MCB=60∘−∠MCB,
∵∠ACB=60∘,
∴∠ACF=60∘−∠MCB,
∴∠ACF=∠MBC,
∵∠BCE=∠A=60∘,BC=AC,
∴▵BEC≌▵FCA(ASA),
∴AF=CE,
∵AE+CE=AC,
∴AE+AF=AE+CE=AC,
即AE+AF为定值.
【解析】【分析】(1)直线AB与⊙O的位置关系是相切,先四边形BOCG是菱形,再由等边三角形的性质得出∠ABG=∠GBO=30∘,结合菱形的性质和切线的判定定理即可得证;
(2)先求出∠BMC,再说明▵BEC≌▵FCA(ASA),从而得出AF=CE,结合AE+CE=AC可得AE+AF=AE+CE=AC,即AE+AF为定值.
本题考查切线的判定和性质,与圆有关的性质概念,菱形的判定和性质,等边三角形的性质等,熟练掌握以上性质是解题关键.
26.【答案】【小问1详解】
解:∵抛物线y=−x2+bx过点B4,−4,
∴−16+4b=−4,
∴b=3,
∴y=−x2+3x;
【小问2详解】
四边形OCPD是平行四边形.
理由:如图1,作PD⊥OA交抛物线于点D,垂足为H,连接PC,OD.
∵点P在y=−x上,
∴OH=PH,∠POH=45∘,
连接BC,
∵OC=BC=4,
∴OB=4 2,
∵BP=2 2,
∴OP=OB−BP=2 2,
∴OH=PH= 22OP= 22×2 2=2,
当xD=2时,DH=yD=−4+3×2=2,
∴PD=DH+PH=2+2=4,
∵C0,−4,
∴OC=4,
∴PD=OC,
∵OC⊥x轴,PD⊥x轴,
∴PD//OC,
∴四边形OCPD是平行四边形;
【小问3详解】
如图2,由题意得,BP=OQ,连接BC.
在OA上方作▵OMQ,使得∠MOQ=45∘,OM=BC,
∵OC=BC=4,BC⊥OC,
∴∠CBP=45∘,
∴∠CBP=∠MOQ,
∵BP=OQ,∠CBP=∠MOQ,BC=OM,
∴△CBP≌△MOQSAS,
∴CP=MQ,
∴CP+BQ=MQ+BQ≥MB(当M,Q,B三点共线时最短),
∴CP+BQ的最小值为MB,
∵∠MOB=∠MOQ+∠BOQ=45∘+45∘=90∘,
∴MB= OM2+OB2= 42+4 22=4 3,
即CP+BQ的最小值为4 3.
【解析】【分析】(1)用待定系数法求二次函数解析式即可;
(2)作PD⊥OA交抛物线于点D,垂足为H,连接PC,OD,由点P在y=−x上,可知OH=PH,∠POH=45∘,连接BC,得出OB=4 2,则OH=PH= 22OP= 22×2 2=2,当xD=2时,DH=yD=−4+3×2=2,进而得出PD=OC,然后证明PD//OC,即可得出结论;
(3)由题意得,BP=OQ,连接BC.在OA上方作▵OMQ,使得∠MOQ=45∘,OM=BC,证明△CBP≌△MOQSAS,根据CP+BQ=MQ+BQ≥MB得出CP+BQ的最小值为MB,利用勾股定理求得MB,即可得解.
本题考查了二次函数的综合应用,待定系数法,平行四边形的性质与判定,勾股定理,全等三角形的判定和性质等知识,熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
x
−2
−1
0
1
2
y
−2.5
0
1.5
2
1.5
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的频数m
96
284
380
571
948
1902
2848
1
2
张老师
3
4
红
蓝
蓝
红
(红,红)
(蓝,红)
(蓝,红)
蓝
(红,蓝)
(蓝,蓝)
(蓝,蓝)
红
(红,红)
(蓝,红)
(蓝,红)
黄
(红,黄)
(蓝,黄)
(蓝,黄)
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