2023-2024学年江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校九年级（上）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一个质地均匀的骰子，其六面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上的面数字小于4的概率为( )
A. 23B. 13C. 12D. 16
2.如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在优弧AB上． 若∠AOD=52°，则∠DEB的度数为( )
A. 52°
B. 40°
C. 26°
D. 45°
3.甲、乙、丙、丁四支女子花样游泳队的人数相同，且平均身高都是1.68m，身高的方差分别是S甲2=0.15，S乙2=0.12，S丙2=0.10，S丁2=0.12，则身高比较整齐的游泳队是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
4.在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则下列三角函数值正确的是( )
A. sinA=513B. csA=513C. tanA=513D. tanB=513
5.小明在星期天上午8：30测得某树的影长为9m，下午13：00他又测得该树的影长为4m(如图所示)，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为( )
A. 8mB. 6mC. 4.5mD. 4m
6.如图，在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是( )
A. 103
B. 163
C. 203
D. 233
7.如图，为了测量某风景区内一座塔AB的高度，小明分别在塔的对面一楼房CD的楼底C，楼顶D处，测得塔顶A的仰角为45°和30°，已知楼高CD为10m，则塔高为( )
A. 15+5 3
B. 10+5 3
C. 10 2+5 3
D. 15+5 2
8.如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为( )
A. 245B. 325C. 12 3417D. 20 3417
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.若ab=35，则a+2bb的值为______ ．
10.圆锥的母线长为2cm，底面圆的半径长为1cm，则该圆锥的侧面积为______ cm2．
11.一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是______．
12.在一个不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n个，搅匀后随机摸出一个球恰好是黄球的概率是13.则n=______．
13.某校举行广播体操比赛，评分项目包括服装统一度、进退场秩序、动作规范整齐度这三项，每项满分10分，总成绩按以上三项得分2：3：5的比例计算，总成绩满分10分．已知八(1)班在比赛中三项得分依次为10分、8分、9分，则八(1)班这次比赛的总成绩为______分．
14.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i=1：5，则AC的长度是______ cm．
15.设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且(x2+y2)(x2+y2−1)=12，则这个直角三角形的外接圆面积为______．
16.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为13.点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为______．
17.如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=4，ED=5，则AC= ______ ．
18.△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点P为高CD上的一个动点，连接AP，将射线AP绕点A顺时针旋转45°，交过点P与AP垂直的直线于点Q，连接DQ，则△ADQ周长的最小值是______ ．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)12sin60°+ 22cs45°−sin30°⋅cs30°；
(2) 9−2sin260°+|1−tan60°|−tan45°．
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A(2,1)、O(0,0)、B(1,−2)．
(1)△AOB向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的△A1O1B1；
(2)以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2：1；
(3)若△A2OB2与△A1O1B1是关于某一点Q为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标．
21.(本小题8分)
某校学生会向全校2300名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图1、图2所示的统计图．

请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受随机调查的学生人数为 ，图1中m的值是 ．
(2)本次调查获取的样本数据的平均数为 、元、众数为 元、中位数为 元；
(3)根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数．
22.(本小题8分)
在一个不透明的纸盒里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球4个(除颜色外完全相同)，其中白球2个，红球、黄球各1个．
(1)从纸盒中随机摸出一个球，事件“摸到白球”的概率是______；
(2)若摸到红球得1分，摸到白球得2分，摸到黄球得3分．甲同学随机从纸盒中一次摸出两个球，请用画树状图法或列表法求甲同学至少得4分的概率．
23.(本小题10分)
如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABD=∠ACE.求证：
(1)AB⋅AE=AC⋅AD．
(2)△ADE∽△ABC．
24.(本小题10分)
如图，△ABC中，AB=AC=6，sinB=23，D为BC边延长线上一点，CD=BC，求tanD的值．
25.(本小题10分)
如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，点E在直径CD的延长线上，且AE=AC．
(1)试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AC=6，求阴影部分的面积．
26.(本小题10分)
如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB的延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，与边AC的延长线相交于点E，以DE为直径作⊙O交AE于点F．
(1)求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；
(2)连接CD，交⊙O于点G(如图2).求证：点G是CD的中点．
27.(本小题12分)
如图(1)，在矩形ABCD中，AD=nAB，点M，P分别在边AB，AD上(均不与端点重合)，且AP=nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN．
【问题发现】
(1)如图(2)，当n=1时，BM与PD的数量关系为______，CN与PD的数量关系为______．
【类比探究】
(2)如图(3)，当n=2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图(3)给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图(3)说明理由．
【拓展延伸】
(3)在(2)的条件下，已知AD=4，AP=2，当矩形AMNP旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段CN的长．
28.(本小题12分)
【动手操作】如图1是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿异于AB的直径MN对折，点B落在⊙O上的点C处(不与点A重合)，将纸片还原后，连接MB、MC、AC.若⊙O的直径为8．
(1)【数学思考】试确定弦AC与直径MN的位置关系，并说明你的理由；
(2)【问题探究】如图2，上述操作方法、条件不变，当MC⊥AB时，求MB的长；
(3)【类比拓展】如图3，上述操作方法、条件不变，当AC=CD时，求MB的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
直接得出朝上的面数字小于4的个数，再利用概率公式求出答案．
此题主要考查了等可能事件的概率，正确应用概率公式是解题关键．
【解答】
解：∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，小于4的数字有：1，2，3．
∴投掷一次，朝上的面数字小于4的概率为：36=12．
故选C．
2.【答案】C
【解析】解：∵OD⊥AB，
∴AD=BD，
∴∠DEB=12∠AOD=26°，即∠DEB的度数为26°；
故选：C．
运用垂径定理证明AD=BD，借助圆周角定理的推论即可解决问题．
本题考查的是圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵S甲2=0.15，S乙2=0.12，S丙2=0.10，S丁2=0.12，
∴S丙2∴身高比较整齐的游泳队是丙，
故选：C．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
4.【答案】A
【解析】解：如图，
∵∠C=90°，AC=12，BC=5，
∴AB= 122+52=13，
∴sinA=513，csA=1213，tanA=512，tanB=125，
故选：A．
首先利用勾股定理计算出AB的长，然后利用三角函数定义对各选项进行判断．
本题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦、余弦、正切定义．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，作△EFC；
树高为CD，且∠ECF=90°，ED=4，FD=9，
∵∠ECD+∠FCD=90°，∠CED+∠ECD=90°，
∴∠CED=∠FCD，
又∵∠EDC=∠FDC=90°，
∴Rt△EDC∽Rt△FDC，
∴EDEC=DCFD；
即DC2=ED⋅FD，
代入数据可得DC2=36，
解得DC=6．
故选：B．
根据题意，画出示意图，易得Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得EDEC=DCFD；即DC2=ED⋅FD，代入数据可得答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
6.【答案】A
【解析】解：∵AC=5，BC=12，
∴AE=AC=5，AB=13，
∴BE=8；
∵BE2=BD⋅BC，
∴BD=163，
∴CD=203，
∴圆的半径是103，
故选：A．
根据切线长定理得AE=AC，根据勾股定理得AB的长，从而得到BE的长，再利用切割线定理得BE2=BD⋅BC，从而可求得BD的长，也就得到了半径的长．
此题综合运用了切线长定理、勾股定理和切割线定理．
7.【答案】A
【解析】解：过点A作AE⊥CD交CD的延长线于E，
则四边形ABCE为矩形，
∴AB=CE，AE=BC，
设AB=x m，则DE=(x−10)m，
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，
则BC=AB=x m，
∴AE=BC=x m，
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，tan∠DAE=DEAE，
即x−10x= 33，
解得：x=15+5 3，
经检验，x=15+5 3是原方程的根，
∴塔高为(15+5 3)m，
故选：A．
过点A作AE⊥CD交CD的延长线于E，设AB=x m，根据等腰直角三角形的性质用x表示出BC，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查相似三角形的应用、勾股定理、长方体的体积、梯形的面积的计算方法等；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．
设DE=x，则AD=8−x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△CBF得出CECF=CDCB，求得结果即可．
【解答】
解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：
设DE=x，则AD=8−x，
根据题意得：12(8−x+8)×3×3=3×3×6，
解得：x=4，
∴DE=4，
∵∠E=90°，
由勾股定理得：CD= DE2+CE2= 42+32=5，
∵∠BCE=∠DCF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
∵∠DEC=∠BFC=90°，
∴△CDE∽△CBF，
∴CECF=CDCB，
即3CF=58，
∴CF=245．
故选：A．
9.【答案】135
【解析】解：∵ab=35，
∴a+2bb=ab+2=35+2=135．
故答案为：135．
根据比例的性质进行计算即可．
本题考查了比例的性质，解题的关键是利用比例的基本性质进行化简计算．
10.【答案】2π
【解析】解：∵圆锥的底面半径为1cm，
∴圆锥的底面周长为：2πr=2πcm，
∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的周长，
∴圆锥的侧面积为：12lr=12×2×2π=2π(cm2)，
故答案为：2π．
根据圆锥的底面半径求得圆锥的底面周长，在根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的周长求得圆锥的侧面积即可．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化．
11.【答案】3
【解析】解：利用平均数的计算公式，得(2+3+x+5+7)=4×5，
解得x=3，
则这组数据的众数即出现最多的数为3．
故答案为：3．
根据平均数的定义可以先求出x的值，再根据众数的定义求出这组数的众数即可．
本题考查的是平均数和众数的概念．注意一组数据的众数可能不只一个．
12.【答案】5
【解析】【分析】
本题主要考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
根据口袋中装有白球6个，黑球4个，黄球n个，故球的总个数为6+4+n，再根据黄球的概率公式列式解答即可．
【解答】
解：∵口袋中装有白球6个，黑球4个，黄球n个，∴球的总个数为6+4+n，
∵从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为13，
∴n6+4+n=13，
解得，n=5．
经检验n=5是原方程的解．
故答案为5．
13.【答案】8.9
【解析】解：10×2+8×3+9×52+3+5=8.9 (分)，
故答案为：8.9．
利用加权平均数的计算方法可求出结果，
考查加权平均数的意义和计算方法，体会权对平均数的影响．
14.【答案】240
【解析】解：由题可知BD=60cm，AD=60cm．
∵tan∠BCA=BDCD=15
∴DC=300cm，
∴AC=DC−AD=300−60=240(cm)．
答：AC的长度是240cm，
故答案为：240．
如图所示：所有台阶高度和为BD的长，所有台阶深度和为AD的长，即BD=60m，AD=60m.然后根据坡度比解答即可．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力(即将实际问题转化为数学问题)．
15.【答案】π
【解析】解：设x2+y2=t，则原方程可化为：
t(t−1)=12，
∴t2−t−12=0，
即(t+3)(t−4)=0，
∴t1=4，t2=−3(舍去)，
∴x2+y2=4，
∴这个直角三角形的斜边长为2，
∴这个直角三角形的外接圆的半径为1，
∴这个直角三角形的外接圆面积为π，
故答案为：π．
利用换元法解方程(x2+y2)(x2+y2−1)=12，即可得到x2+y2=4，进而得出这个直角三角形的斜边，根据圆的面积公式即可得到结论．
本题主要考查了三角形的外接圆与外心，解一元二次方程的能力和勾股定理，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键．
16.【答案】(3,2)
【解析】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为13．
∴BCEF=OBOE=13，
而BE=EF=6，
∴BC6=OBOB+6=13，
∴BC=2，OB=3，
∴C(3,2)．
故答案为(3,2)
先利用位似的性质得到BC6=OBOB+6=13，然后利用比例性质求出BC和OB即可得到C点坐标．
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
17.【答案】6
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠ABC=∠ADB，
∵∠BAD=∠BAE，
∴△ABE∽△ADB，
∴ABAD=AEAB，
∴AB2=AE⋅AD，
∵AE=4，ED=5，
∴AD=9，
∴AB2=AE⋅AD=4×9=36，
∴AB=6=AC，
故答案为：6．
通过证明△ABE∽△ADB，可得ABAD=AEAB，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆的有关知识，证明△ABE∽△ADB是解题的关键．
18.【答案】2 2+2 10
【解析】解：如图，以BD为边向下作正方形BDFE，连接BF、AE，
由题意知△ABC和△AQP是等腰直角三角形，
∴∠CAB=∠PAQ=45°，ACAB=APAQ= 22，
∴∠CAP=∠BAQ，
∴△CAP～△BAQ，
∵CD为△ABC的高线，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACP=45°，
∴∠ABQ=∠ACP=45°，
∴点Q在BF上移动，
∵四边形BDFE是正方形，
∴点D与点E关于BF对称，
∴当点A、Q、E在一条直线上时，AQ+QE取最小值，最小值为AE的长，
∵在等腰直角△ABC中，CD为高线，AC=BC=4，
∴AB=4 2，AD=BD=12AB=2 2，
∴BE=BD=2 2，
∴AE= AB2+BE2= (4 2)2+(2 2)2=2 10，
∴△ADQ周长的最小值为AD+AE=2 2+2 10，
故答案为：2 2+2 10．
以BD为边向下作正方形BDFE，连接BF、AE，证明△CAP～△BAQ，可得∠ABQ=∠ACP=45°，点Q在BF上移动，然后根据点D与点E关于BF对称可知当点A、Q、E在一条直线上时，AQ+QE取最小值，最小值为AE的长，利用勾股定理求出AE，进而可得答案．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质以及轴对称最短路径问题，作出合适的辅助线，判断出点Q的运动路径是解题的关键．
19.【答案】解：(1)12sin60°+ 22cs45°−sin30°⋅cs30°
=12× 32+ 22× 22−12× 32
= 34+12− 34
=12；
(2) 9−2sin260°+|1−tan60°|−tan45°
=3−2×( 32)2+|1− 3|−1
=3−2×34+ 3−1−1
=3−32+ 3−1−1
= 3−12．
【解析】(1)原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
(2)原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
本题考查了三角函数值的混合运算，解题的关键是：掌握特殊角三角函数值．
20.【答案】解：(1)如图所示，△A1O1B1即为所求．
(2)如图所示，△A2OB2即为所求．
(3)如图所示，点Q即为所求，其坐标为(−6,2)．
【解析】本题主要考查作图—平移变换、位似变换作图，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义与性质．
(1)将三个顶点分别向左平移3个单位，向上平移1个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
(2)延长OA、OB到A2、B2，使OA2=2OA，OB2=2OB，与点O首尾顺次连接即可；
(3)直线A1A2、OO1、B1B2的交点即为所求．
21.【答案】50 40 26.4 30 30
【解析】解：(1)由统计图可得，
本次接受随机抽样调查的学生人数为：10÷24%=50，
m%=1−24%−16%−20%=40%，
故答案为：50，40；
(2)本次调查获取的样本数据的平均数是：12×10+10×20+20×30+8×5050=26.4(元)，
本次调查获取的样本数据的众数是：30元，
本次调查获取的样本数据的中位数是：30元；
故答案为：26.4，30，30．
(3)该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数为：2300×2850=1288(人)，
即该校本次活动捐款金额不少于30元的学生有1288人．
(1)根据统计图可以分别求得本次接受随机抽样调查的学生人数和图1中m的值；
(2)根据统计图可以分别得到本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
(3)根据统计图中的数据可以估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图，掌握平均数、中位数、众数用样本估计总体是解题的关键．
22.【答案】12
【解析】解：(1)球，事件“摸到白球”的概率是24=12，
故答案为：12；
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲同学至少得4分的结果有8种，
∴甲同学至少得4分的概率为812=23．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲同学至少得4分的结果有8种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】证明：(1)∵∠BAD=∠CAE，∠ABD=∠ACE，
∴△ABD∽△ACE，
∴ABAC=ADAE，
∴AB⋅AE=AC⋅AD；
(2)∵△ABD∽△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，ABAC=ADAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，
即∠BAC=∠DAE，
∵ABAC=ADAE，
∴ABAD=ACAE，
∴△ADE∽△ABC．
【解析】(1)先利用“有两组角对应相等的两个三角形相似”判断△ABD∽△ACE，然后根据相似三角形的性质得到结论；
(2)利用△ABD∽△ACE得到∠BAD=∠CAE，ABAC=ADAE，则可证明∠BAC=∠DAE，接着利用比例的性质由ABAC=ADAE得到ABAD=ACAE，然后根据相似三角形的判定方法得到结论．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．
24.【答案】如图，过点A作AE⊥BD于点E．

∴sinB=AEAB=23．
∵AB=AC=6，
∴AE=4，
∴BE= AB2−AE2=2 5．
∵AE⊥BD，AB=AC=6，
∴CE=BE=2 5，
∴CD=BC=BE+CE=4 5，
∴DE=CD+CE=6 5，
∴tanD=AEDE=46 5=2 515．
【解析】过点A作AE⊥BD于点E.根据sinB=AEAB=23，即可求出AE=4，从而由勾股定理可求出BE=2 5.再根据等腰三角形的性质可求出CE=BE=2 5，结合CD=BC，即可求出DE=6 5，最后根据正切的定义求解即可．
本题考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质．正确的作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
25.【答案】解：(1)AE为⊙O的切线．
理由：连接OA、AD，如图，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DAC=90°，
又∵∠ADC=∠B=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AE=AC，
∴∠AEC=30°
∵OA=OD，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠ADO=∠DAO=60°，
∴∠EAD=30°，
∴∠EAD+∠DAO=90°，
∴∠EAO=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
(2)解：由(1)可知△AEO为直角三角形，且∠E=30°，AE=6，
∴OA=2 3，
∴阴影部分的面积为12×6×2 3−60π×(2 3)2360=6 3−2π．
故阴影部分的面积为6 3−2π．
【解析】本题主要考查切线的判定，扇形面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．
(1)连接OA、AD，可求得∠ACE=∠AEC=30°，可证明△AOD为等边三角形，求得∠EAO=90°，即可证明AE为⊙O的切线；
(2)结合(1)可得到OA=2 3，AE=6，再根据三角形的面积公式和扇形面积公式即可求解．
26.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，由勾股定理得：AC=4，
∵AB=5，BD=3，
∴AD=8，
∵∠ACB=90°，DE⊥AD，
∴∠ACB=∠ADE，
∵∠A=∠A，
∴△ACB∽△ADE，
∴BCDE=ACAD=ABAE
∴3DE=48=5AE
∴DE=6，AE=10，即⊙O的半径为3；
过O作OQ⊥EF于Q，则∠EQO=∠ADE=90°，
∵∠QEO=∠AED，
∴△EQO∽△EDA，
∴EOAE=OQAD，
∴310=OQ8，
∴OQ=2.4，即圆心O到弦EF的距离是2.4；
(2)连接EG，
∵AE=10，AC=4，
∴CE=6，
∴CE=DE=6，
∵DE为直径，
∴∠EGD=90°，
∴EG⊥CD，
∴点G为CD的中点．
【解析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
(1)根据勾股定理求出AC，证△ACB∽△ADE，得出BCDE=ACAD=ABAE，代入求出DE=6，AE=10，过O作OQ⊥EF于Q，证△EQO∽△EDA，列比例式求出OQ即可；
(2)连接EG，求出EG⊥CD，求出CE=ED，根据等腰三角形的性质求出即可．
27.【答案】BM=PD CN= 2PD
【解析】解：(1)BM=PD，CN= 2PD，
理由如下：
当n=1，则AD=AB，AP=AM，
∴AD−AP=AB−AM，
∴DP=BM，
∵四边形ABCD是矩形，四边形AMNP是矩形，
∴AD=CD=AB，AP=AM=NP，∠ADC=∠APN=90°，
∴AC= 2AD，AN= 2AP，
∴AC−AN= 2(AD−AP)，
∴CN= 2PD，
故答案为：BM=PD，CN= 2PD；
(2)CN与PD之间的数量关系发生变化，CN= 52PD，
理由如下：如图(1)在矩形ABCD和矩形AMNP中，
∵当n=2.AD=2AB，AP=2AM，
∴AC= 52AD，AN= 52AP，
∴.ACAD=ANAP= 52，
如图(3)连接AC，
∵矩形AMNP绕点A顺时针旋转，
∴∠NAC=∠PAD，
∴△ANC∽△APD，
∴CNPD=ACAD= 52，
∴CN= 52PD；
(3)如图，当点N在线段CM上时，
∵AD=4，AD=2AB，
∴AB=CD=2，
∴AC= AD2+CD2= 16+4= 20，
∵AP=2，AP=2AM，
∴AM=1，
∴CM= AC2−AM2= 20−1= 19，
∴CN=CM−MN= 19−2；
如图，当点M在线段CN上时，
同理可求CM= 19，
∴CN=CM+MN= 19+2；
综上所述：线段CN的长为 19−2或 19+2．
(1)由线段的和差关系可得DP=BM，由正方形的性质可得CN= 2PD；
(2)通过证明△ANC∽△APD，可得CNPD=ACAD= 52，即可求解；
(3)分两种情况讨论，由勾股定理可求解．
本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
28.【答案】解：(1)弦AC与直径MN的位置关系是AC//MN.理由如下：
如图1，根据圆的性质，得∠C=∠B；
根据折叠的性质，得∠CMN=∠BMN；
∵OB=OM，

∴∠B=∠BMN，
∴∠C=∠CMN，
∴AC/​/MN．
(2)根据圆的性质，得∠C=∠B；
如图2，根据折叠的性质，得∠CMN=∠BMN，MB=MC；
∵OB=OM，

∴∠B=∠BMN，
∴∠C=∠CMN，
∴∠C=∠B=∠CMN=∠BMN，
∵MC⊥AB，
∴∠ODM=90°，∠B+∠CMN+∠BMN=90°，CD=MD，
∴∠C=∠B=∠CMN=∠BMN=30°，
∵⊙O的直径为8，
∴OM=4，
∴OD=12OM=2，
∴MD= OM2−OD2= 42−22=2 3，
∴MC=2MD=4 3，
∴MB=4 3．
(3)如图3，

∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA；
∵AC/​/MN，
∴∠CAD=∠MOD，
∵∠MDO=∠CDA，
∴∠MDO=∠MOD，
∴MO=MD=4；
∵∠CAD=∠CMB，
∴∠MDB=∠CMB，
∴MB=BD=MC，
∵∠MDB=∠CMB=∠CAD=∠CDA，
∴△CAD∽△BMD，
∴ADMD=CDBD，
设MB=BD=MC=x，
则CD=x−4，AD=8−x，
∴x(8−x)=4(x−4)，
解得x=2+2 5,x=2−2 5(舍去)，
∴MB=2+2 5．
【解析】(1)根据圆的性质，得到∠C=∠B；根据折叠的性质，得∠CMN=∠BMN；根据等腰三角形的性质，得∠B=∠BMN，继而得到∠C=∠CMN即可得证．
(2)根据∠C=∠B=∠CMN=∠BMN，结合MC⊥AB，得到∠C=∠B=∠CMN=∠BMN=30°，利用勾股定理，垂径定理计算即可．
(3)根据AC=CD得∠CAD=∠CDA；根据AC/​/MN得∠CAD=∠MOD，根据对顶角的性质，得∠MDO=∠CDA继而得∠MDO=∠MOD，MO=MD=4；根据圆的性质，得到∠CAD=∠CMB，得证MB=BD=MC=x，运用△CAD∽△MBD，列比例式建立方程即可．
本题考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，三角形相似的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握圆的性质，垂径定理，勾股定理，一元二次方程的解法是解题的关键．