2022-2023学年江苏省扬州市邗江区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省扬州市邗江区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省扬州市邗江区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 用配方法解方程x2−2x−1=0时，配方后得的方程为(    )
A. (x−1)2=2 B. (x−1)2=0 C. (x+1)2=2 D. (x+1)2=0
2. 一只不透明的袋子有1个白球，3个红球，4个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，在下列事件发生概率最高的是(    )
A. 摸到黄球 B. 摸到红球 C. 摸到白球 D. 摸到黑球
3. 抛物线y=3(x+4)2+2的顶点坐标是(    )
A. (2,4) B. (2,−4) C. (4,2) D. (−4,2)
4. 在学校演讲比赛中，10名选手的成绩统计图如图所示，则这10名选手成绩的众数是(    )

A. 95 B. 90 C. 85 D. 80
5. 如图，在⊙O中，AB为弦，OD⊥AB于D，∠BOD=53°，过A作⊙O的切线交OD延长线于C，则∠C=(    )
A. 27°
B. 30°
C. 37°
D. 53°
6. 如图所示，将一根长8m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是(    )

A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 二次函数关系 D. 反比例函数关系
7. 如图，锐角△ABC中，点D是边AB的中点，点E在边AC上，有如下两个命题：
①如果DE//BC，那么DE=12BC；②如果DE=12BC，那么DE//BC.下列判断正确的是(    )


A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题
8. 已知函数y=bkx2+1的相关数据如图所示，通过以往学习函数的经验请判断下列说法正确的有(    )
x
……
−4
−3
−2
−1
−12
0
12
1
2
n
4
……．
y
……
217
15
25
m
85
2
85
1
25
15
217
……
①m+n=4；②若bkx2+1≤|x|，则−1≤x≤1；③当0 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 扬州某日天气预报显示最高气温为5℃，最低气温为−4℃，则该日的气温极差为______ ℃.
10. 已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是______．
11. 已知m−n=3，则m2−n2−6n的值______．
12. 若点A(−2,y1)和B(1,y2)是二次函数y=x2−4x−3图象上的两点，则y1 ______ y2.(填“<”，“=”或“>”)
13. 如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积之比是______ ．

14. 如图，正五边形ABCDE的边长为4，以AB为边作等边△ABF，则图中阴影部分的面积为        ．


15. 如图，在同一平面直角坐标系中，作出了二次函数①y=3x2；②y=12x2；③y=x2的图象，则开口由小到大的三条抛物线分别对应的二次函数依次是______ .(按照要求只填写序号)


16. 如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB.他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm.EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=10m，求树高AB是______m.

17. 当m= ______ 时(只要写出一个符合条件的m值即可)，抛物线y=x2+2x+m−1(m是常数)的图象经过第一、二、三象限．
18. 已知点A、B、C、D在⊙O上，AB=5，AC=3，∠BAC=60°.且CD=BD，则线段AD的长为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题9.0分)
解下列方程：
(1)x(2x+1)=−3(2x+1)；
(2)(x+3)2=2x+5．
20. (本小题9.0分)
已知：a9=b11=c14，且b+c−a=32，求a、b、c的值．
21. (本小题9.0分)
今年世界杯期间，为增强班级凝聚力，八年级6班开展了小组趣味足球比赛，全班分为5个小组开展点球大战，班主任王老师担任守门员，下面分别为五个小组进球的个数：5，8，10，7，m.若已知该五个小组的进球个数平均数为8，请求出m的值，并直接写出该五个小组进球个数的中位数和方差．
22. (本小题10.0分)
生活垃圾分类不仅是城市精细化管理水平的重要体现，更是一座城市文明的有力表现.为响应扬州市政府的号召，培养中学生垃圾分类的责任、意识和习惯，邗江区某校七年级开展了相关的知识竞赛，要求每班各出两名选手参与竞答比赛.七(3)班共有A、B、C、D四名同学报名参赛．
(1)班主任第一次选人就选到A同学的概率是多少？
(2)请用列表或树状图的方法求出A、C两名同学被选中的概率．
23. (本小题10.0分)
已知关于x的方程mx2+nx−2=0(m≠0)．
(1)若方程有两个相等的实数根，请求出m，n的关系；
(2)求证：当n=m−2时，方程总有两个实数根．
24. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，交AC，AB分别于D，E两点，连接BD，且∠A=∠CBD．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)若CD=1，BC=2，求⊙O的半径．

25. (本小题9.0分)
某商场销售一种小商品，进货价为40元/件.当售价为60元/件时，每天的销售量为300件.在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件.设销售价格上涨x元/件(x为偶数)，每天的销售量为y件．
(1)当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为        件.
(2)请写出y与x的函数关系式．
(3)设每天的销售利润为w元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
26. (本小题10.0分)
同学们本学期在圆的章节学习中，我们接触了不少尺规作图的问题，接下来请同学们利用圆的相关知识，完成下列尺规作图问题：
(1)如图1，已知△ABC，在△ABC内求作一点D，使∠ADC=2∠ABC.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
在本次尺规作图中，你所运用的圆的相关知识是：______ ；
(2)已知△ABC中，∠C=90°，请在线段AB上找一点D，使得△ABC∽△CBD.(尺规作图2，保留作图痕迹，不写作法)在本次尺规作图中，你所运用的圆的相关知识是：______ ．

27. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标为(8,0)、(8,8)、(0,8)，点D是线段OA的一动点，它以每秒2个单位速度从A点向O点运动，连接BD过点D作BD的垂线交OC于E点，设D点的运动时间为t秒(t>0)．

(1)当D点到达OA的中点时，OEOC= ______ ；
(2)请用t的代数式表示OE的长度，并求出t为何值时，CE有最小值，是多少？
(3)若已知F点在直线AB上，AF=2，P为x轴上一点且CP⊥FP于点P，请直接写出满足此条件的P点坐标．
28. (本小题10.0分)
【特例感知】

(1)如图1，对于抛物线y1=−x2−x+1，y2=−x2−2x+1，y3=−x2−3x+1，我们通过观察可知：
①抛物线y1，y2，y3都经过点：______ ；
②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移______ 个单位得到；
③抛物线y1，y2，y3与直线y=1的交点中，说明相邻两点之间的距离相等．
(2)【形成概念】把满足yn=−x2−nx+1(n为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”．
【知识应用】在(2)中，如图2．
①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，Pn，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：C1，C2，C3，…，Cn，其横坐标分别为−k−1，−k−2，−k−3，…，−k−n(k为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：移项得，x2−2x=1，
配方得，x2−2x+1=1+1，
(x−1)2=2．
故选A．
先移项，然后两边同时加上一次项系数一半的平方．
本题考查了解一元二次方程--配方法，配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

2.【答案】A 
【解析】解：袋子中一共有1+3+4=8个球，有1个白球，3个红球，4个黄球，没有黑球．
∴摸到白球的概率=18，
摸到黄球的概率=48，
摸到红球的概率=38，
摸到黑球的概率=0，
∴摸到黄球的概率最高．
故选：A．
分别求出摸到各种颜色的求的概率，再比较大小即可．
本题主要考查了概率的计算，事件A发生的概率=事件A发生的所有可能结果数所有事件发生的结果总数.掌握概率的计算方法是解题的关键．

3.【答案】D 
【解析】解：∵y=3(x+4)2+2是抛物线解析式的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(−4,2)．
故选：D．
已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
此题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．利用解析式化为y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)，对称轴是直线x=h得出是解题关键．

4.【答案】B 
【解析】解：根据折线统计图可得：
90分的人数有5个，人数最多，则众数是90；
故选B．
根据众数的定义和给出的数据可直接得出答案．
此题考查了众数，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数是本题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：连接OA，
∵OD⊥AB于D，OA=OB，
∴∠AOC=∠BOD=53°，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∴∠C=90°−53°=37°，
故选：C．
连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠AOC=∠BOD=53°，由切线的性质得到∠OAC=90°，于是得到结论．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

6.【答案】C 
【解析】解：设矩形的一边长为xm，另一边长为(4−x)m，面积用y表示，y=x(4−x)=−x2+4x，
则矩形的面积与其一边满足的函数关系是二次函数关系，
故选：C．
设矩形的一边长为xm，求出矩形面积即可判断．
本题考查列函数关系式，并判断函数的类型，掌握列函数的方法和函数的特征是解题关键．

7.【答案】A 
【解析】解：①∵锐角三角形ABC中，AC>BC，点D是边AC的中点，DE//BC，
∴AE=EB，
即DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC，
故①是真命题；
②令E为AB中点，可以在AB上取到一点F，使DF=DE，但DF与BC不平行．
故②是假命题；
故选：A．
根据中位线定理和命题进行判断即可．
此题了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

8.【答案】B 
【解析】解：把x=0，y=2代入y=bkx2+1得：2=bk×02+1，
∴b=2，
把x=1，y=1代入y=2kx2+1得：1=2k×12+1，
∴k=1，
∴函数解析式为y=2x2+1，
把x=−1代入y=2x2+1得：2(−1)2+1=1，
∴m=1，
把y=15代入y=2x2+1得：15=2n2+1，
解得：n=3，
∴m+n=1+3=4，
故①正确；
画出函数图象如图所示：

∴不等式bkx2+1≤|x|的解集为x≤−1或x≥1，
故②错误；
由图象知，函数关于y轴对称，y恒大于零且当x=0时，y有最大值2，
故③正确；
综上所述，正确的有①③，
故选：B．
根据表中数据画出函数图象，结合图象判断各项即可．
本题考查了函数图象、坐标与图形的性质，解题的关键是熟练掌握描点法作图及数形结合．

9.【答案】9 
【解析】解：∵5−(−4)=9，
∴该日的气温极差为9°C，
故答案为：9．
最大值与最小值的差叫做极差，根据极差定义进行求解即可．
此题考查了极差，熟练掌握极差的定义是解题的关键．

10.【答案】4π 
【解析】【试题解析】
解：∵扇形的圆心角为120°，半径为6，
∴扇形的弧长是：120π×6180=4π．
故答案为：4π．
直接利用弧长公式求出即可．
此题主要考查了弧长公式的应用，熟练记忆弧长公式是解题关键．


11.【答案】9 
【解析】解：∵m−n=−3，
∴原式=(m−n)(m+n)−6n=3(m+n)−6n=3m−3n=3(m−n)=9..
故答案为：9．
原式整理后，将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了代数式求值，运用整体代入是解本题的关键．

12.【答案】> 
【解析】解：y1=(−2)2−4×(−2)−3=4+8−3=9，
y2=(−1)2−4×(−1)−3=1+4−3=2，
∵9>2，
∴y1>y2．
故答案为：>．
将A、B两点的横坐标分别代入函数解析式，求出y1、y2，即可得解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出相应的函数值即可，比较简单．

13.【答案】1：4 
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积之比是1：4，
故答案为：1：4．
根据两三角形位似，面积比等于相似比的平方即可求解．
本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，面积比等于相似比的平方是解题的关键．

14.【答案】3215π 
【解析】解：在正五边形ABCDE中，∠EAB=(5−2)×180°5=108°，
∵△ABF是等边三角形，
∴∠FAB=60°，
∴∠EAF=48°，
∴S阴影=48×42π360=32π15，
故答案为：32π15．
首先求得正五边形的内角的度数，然后求得扇形的圆心角的度数，利用扇形的面积公式求得阴影部分的面积即可．
本题考查了正多边形和圆的知识，掌握多边形的内角和公式，扇形的面积公式是解题的关键．

15.【答案】①③② 
【解析】解：∵3>1>12，
由里到外的三条抛物线对应的函数分别是：①③②．
故答案为：①③②．
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，|a|越大，抛物线的开口越小，根据这一结论判断即可．
本题关键在于考查抛物线解析式中二次项系数与抛物线图象的关系，它的正负决定了抛物线的开口方向，它的绝对值的大小决定了抛物线开口的大小．

16.【答案】9 
【解析】解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D
∴△DEF∽△DCB
∴EFBC=DEDC，
∵DE=40cm=0.4m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=10m，
∴0.3BC=0.410，
∴BC=7.5米，
∴AB=AC+BC=1.5+7.5=9米．
故答案为：9．
利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．

17.【答案】1(答案不唯一) 
【解析】解：∵图象经过第一、二、三象限，
∴抛物线与y轴的交点在正半轴上，则m−1≥0．
解得：m≥1，
∴符合条件的m的值可以是1．
∴m=1．
故答案为：1(答案不唯一)．
图象经过一、二、三象限，，所以抛物线与y轴的交点在正半轴上，则m−1≥0．
本题考查了二次函数性质，熟知二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．

18.【答案】2或83 3 
【解析】解：如图，当点D在劣弧BC上，过D点作DE⊥AB、DF⊥AC于点E、F，连接BD、DC，

∵CD=BD，
∴∠BAD=∠CAD=30°，BD=BC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠BFD=90°，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，Rt△AED≌Rt△FFD(HL)，
∴BE=CF，AE=AF，
∴AE=4，
∵cos∠BAD=AEAD，
∴AD=AEcos∠BAD=4 32=83 3；
如图，当点D在优弧BC上，过D点作DE⊥AB、DF⊥AC于点E、F，连接BD、DC，

∵CD=BD，
∴∠BAD=∠DBC，BD=BC，
∵∠DBC+∠DAC=180°，∠DAF+∠DAC=180°，
∴∠BAD=∠DBC=∠DAF=180°−60°2=60°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠BFD=90°，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，Rt△AED≌Rt△FFD(HL)，
∴BE=CF，AE=AF，
∴AE=1，
∵cos∠BAD=AEAD，
∴AD=AEcos∠BAD=112=2，
故答案为：2或83 3．
分点D在劣弧BC和优弧BC上两种情况分类讨论，过D点作DE⊥AB、DF⊥AC于点E、F，连接BD、DC，证明Rt△BED≌Rt△CFD，Rt△AED≌Rt△FFD，得到BE=CF，AE=AF，利用解直角三角形解题即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，解直角三角形，角平分线的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．

19.【答案】解：(1)x(2x+1)=−3(2x+1)，
∴(x+3)(2x+1)=0，
即x+3=0或2x+1=0，
解得x1=−3，x2=−12；
(2)(x+3)2=2x+5，
∴x2+6x+9=2x+5，
整理得，x2+4x+4=0，
则(x+2)2=0，
解得，x1=x2=−2． 
【解析】(1)利用提公因式法解一元二次方程即可；
(2)整理后用直接开方法解一元二次方程即可．
此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

20.【答案】解：∵a9=b11=c14，
∴设a=9k，b=11k，c=14k，
∵b+c−a=32，
∴11k+14k−9k=32，
∴k=2，
∴a=9k，b=11k，c=14k，
∴a=18，b=22，c=28． 
【解析】由a9=b11=c14，可设a=9k，b=11k，c=14k，代入b+c−a=32求得k的值，即可得到a、b、c的值．
此题考查了比例的性质，根据题意设a=9k，b=11k，c=14k是解题的关键．

21.【答案】解：由题意得：8=5+8+10+7+m5，
∴m=10，
∴这组数为5，7，8，10，10，
∴这组数据的中位数是8，
∴这组数据的方差是(5−8)2+(7−8)2+(8−8)2+(10−8)2+(10−8)25=185． 
【解析】根据平均数列方程，解方程即可得到m的值，把数据从小到大排列后，即可求得中位数，根据方差的定义求解即可．
题主要考查了平均数、中位数、方差，熟练掌握求解方法是解题的关键．

22.【答案】解：(1)∵七(3)班共有A、B、C、D四名同学报名参赛．
∴班主任第一次选人就选到A同学的概率是14；
(2)用表格列出所有可能的结果：

A
B
C
D
A

(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)

(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)

(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)

由表格可知：共有12种等可能的结果，符合要求的结果两种，
所以A、C两名同学被选中的概率=212=16， 
【解析】(1)根据概率公式直接求解即可；
(2)用表格列出所有可能情况，再用概率公式求解即可．
此题主要考查了用树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握树状图或列表法是解题的关键．

23.【答案】解：(1)由题意得：Δ=n2−4m⋅(−2)Δ=n2+8m，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=0，
∴n2+8m=0，
∴n2=−8m；
(2)当n=m−2时，
Δ=(m−2)2+8m=m2+4m+4，
∵m2+4m+4=(m+2)2≥0，
∴方程始终有两个实数根． 
【解析】(1)根据根的判别式符号进行求解；
(2)根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式．

24.【答案】(1)证明：连接OD，

∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
而∠A=∠CBD，
∴∠ODA+∠CDB=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥BD，
∴BD为⊙O的切线；
(2)解：∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴CBCD=CACB，
∴CB2=CD⋅CA，
∵CD=1，BC=2，
∴CA=4，
∴BD= BC2+CD2= 5，
∴AB= BC2+AC2=2 5，
设圆O的半径为r，则OB=2 5−r，
∵OB2=OD2+BD2，
∴(2 5−r)2=r2+( 5)2，
解得r=34 5． 
【解析】(1)由OA=OD得∠A=∠ODA，再由∠CBD+∠CDB=90°，∠A=∠CBD可得∠ODA+∠CDB=90°，即∠ODB=90°，于是根据切线的判定定理可判断BD为⊙O的切线；
(2)证明△ABC∽△BDC，得出比例线段CBCD=CDCA，求出CA=4，由勾股定理求出BD，AB的长，设圆O的半径为r，则OB=2 5−r，得出方程(2 5−r)2=r2+( 5)2，解方程可得出答案．
本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．

25.【答案】200 
【解析】解：(1)∵销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件，
∴当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为300−102×20=200(件)，
故答案为：200；
(2)设销售价格上涨x元/件，
∵销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．
∴其销售量y=300−20×x2=300−10x；
(3)依题意可得每天的销售利润为w=(300−10x)(60−40+x)=−10(x−5)2+6250，
故当x=5时，最大值w=6250，
∵x为偶数，
∴当x=4或x=6时，有最大利润，
为了让利于顾客，∴x=4，符合题意，此时w=6240．
此时销售单价为60+4=64(元)，
∴每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是6240元．
(1)根据销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件即可得到答案；
(2)根据销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件可得到y与x的函数关系式；
(3)先求出利润w关于x的二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可．
此题主要考查了一次函数和二次函数的应用，读懂题意，正确列函数解析式是解题的关键．

26.【答案】作图见详解，圆周角的度数等于它所对弧上所对圆心角的一半．  作图见详解，直径所对的圆周角是直角 
【解析】解：(1)如图所示，

分别以点A，B为圆心，以大于12AB为半径画弧，交于点G，F，连接GF；分别以点B，C为圆心，以大于12BC为半径画弧，交于点E，H，连接EH，则GF与EH交于点D，连接AD，CD，根据三角形三边垂直平分线的交点是三角形的外接圆的圆心，由圆周角定理可知，∠ADC=2∠ABC，
∴点D为所求点的位置，
∴运用的圆的相关知识是：圆周角的度数等于它所对弧上所对圆心角的一半，
故答案为：作图见详解，圆周角的度数等于它所对弧上所对圆心角的一半．
(2)如图所示，

以BC为直径作圆，分别以点B，C为圆心，以大于12BC为半径画弧，分别交于点P，Q，连接PQ交BC于点F，以点F为圆心，以BF为半径作圆，交AC于点D，连接CD，
∵BC是⊙F的直径，
∴∠BDC=90°，∠C是公共角，
∴△ABC∽△CBD，
∴运用的圆的相关知识是：直径所对的圆周角是直角，
故答案为：作图见详解，直径所对的圆周角是直角．
(1)分别以点A，B，C为圆心，以大于12AB，12BC为半径画弧，分别交于点G，F，E，H，连接GF，EH交于点D，连接AD，CD，即可求解；
(2)以BC为直径作圆，分别以点B，C为圆心，以大于12BC为半径画弧，分别交于点P，Q，连接PQ交BC于点F，以点F为圆心，以BF为半径作圆，交AC于点D，连接CD，即可求解．
本题主要考查圆与三角形的综合，掌握同圆中，圆周角是圆心角的一半，直径所对圆周角是直角是解题的关键．

27.【答案】14 
【解析】解：(1)∵A、B、C三点的坐标为(8,0)、(8,8)、(0,8)，
∴OA=AB=BC=OC=8，
∴四边形OABC是菱形，
又∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是正方形，
∴∠EOD=∠BAD=90°，
又∵ED⊥BD，
∴∠EDB=90°，
∴∠OED=90°−∠ODE=∠ADB，
∴△OED∽△ADB，
∴OEAD=ODAB，
∵D为OA的中点，
∴OD=AD=4，
∴OE4=48，
解得：OE=2，
∴OEOC=14．
故答案为：14；

(2)∵△EDO∽△DAB，
∴OEOD=DAAB，
∴OE8−2t=2t8，
∴OE=−12t2+2t=−12(t−2)2+6，
∵−12<0，
∴t=2时，CE的值最小，最小值为6；

(3)设P(x,0)，则CP2=82+x2．
如图，当点F在线段AB上时，

∵A(8,0)，AF=2，
∴F(8,2)，BF=AB−AF=6，
∴CF2=BF2+BC2=100，PF2=(8−x)2+22=x2−16x+68，
∵CP⊥FP，
∴∠CPF=90°，
∴FP2+PC2=FC2，
∴82+x2+x2−16x+64=100，
解得x=4，
∴P(4,0)．
当点F在BA的延长线上时，F(8,−2)，BF=AB+AF=10，

∴CF2=BF2+BC2=82+102=164，PF2=(*−x)2+x2=x2−16x+64，
∵CP⊥FP，
∴∠CPF=90°，
∴FP2+PC2=FC2，
∴82+x2+x2−16x+64=164，
∴x=4+4 22或4−4 2，
∴P(4+4 2,0)或(4−4 2,0)．
综上所述，满足条件的点P的坐标为(4,0)或(4+4 2,0)或(4−4 2,0)．
(1)证明△OED∽△ADB，根据相似三角形的性质即可求解；
(2)证明△OED∽△ADB，根据相似三角形的性质即可求解，然后得出OE=−t22+2t，由CE=8−OE，根据二次函数的性质即可求解；
(3)分F在x轴上方与下方分类讨论，进而根据勾股定理即可求解．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质与判定，坐标与图形，根据题意分类讨论是解题的关键．

28.【答案】(0,1) 12 
【解析】解：(1)①当x=0时，分别代入抛物线y1，y2，y3，
即可得y1=y2=y3=1；
∴抛物线y1，y2，y3都经过点(0,1)；
②y2=−x2−2x+1，y3=−x2−3x+1的对称轴分别为x=−−22×(−1)=−1，x=−−32×(−1)=−32，y1=−x2−x+1的对称轴x=−−12×(−1)=−12，
由x=−12向左移动12得到x=−1，再向左移动12得到x=−32；
③当y=1时，则−x2−x+1=1，
∴x=0或x=−1；−x2−2x+1=1，
∴x=0或x=−2；−x2−3x+1=1，
∴x=0或x=−3；
∴相邻两点之间的距离都是1；
故答案为：①(0,1)；②12；
(2)解：①yn=−x2−nx+1的顶点为(−n2,n2+44)，
令x=−n2，y=n2+44，
∴y=x2+1；
②相邻两点之间的距离都相等．
理由：根据题意得：Cn(−k−n,−k2−nk+1)，Cn−1(−k−n+1,−k2−nk+k+1)，
∴CnCn−1两点之间的铅直高度=−k2−nk+k+1−(−k2−nk+1)=k，CnCn−1两点之间的水平距离=−k−n+1−(−k−n)=1，
∴由勾股定理得CnCn−12=k2+1．
∴相邻两点之间的距离是 k2+1．
(1)①当x=0时，分别代入抛物线y1，y2，y3，即可得y1=y2=y3=1；
②y2=−x2−2x+1，y3=−x2−3x+1的对称轴分别为x=−1，x=−32，y1=−x2−x+1的对称轴x=−12，据此即可求解；
③当y=1时，则−x2−x+1=1，可得x=0或x=−1；−x2−2x+1=1，可得x=0或x=−2；−x2−3x+1=1，可得x=0或x=−3；所以相邻两点之间的距离都是1；
(2)①yn=−x2−nx+1的顶点为(−n2,n2+44)，可得y=x2+1；
②根据题意得：Cn(−k−n,−k2−nk+1)，Cn−1(−k−n+1,−k2−nk+k+1)，求得CnCn−1两点之间的铅直高度=−k2−nk+k+1−(−k2−nk+1)=k，两点之间的水平距离=−k−n+1−(−k−n)=1，利用勾股定理即可求解．
本题考查二次函数图象及性质，平行线的性质；能够结合题意，分别求出抛物线与定直线的交点，抛物线上点的横坐标求出相应的纵坐标，结合勾股定理，直线的解析式进行综合求解是关键．