2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. x−1=0B. x2=3C. 4x−3y=3D. x2−y2=3
2.已知⊙O的半径为3，平面内点P到圆心O的距离为 5，则点P与⊙O的位置关系
( )
A. 点P在⊙O外B. 点P在⊙O上C. 点P在⊙O内D. 无法确定
3.二次函数y=−x−32+2的图像的顶点坐标是
( )
A. −3,2B. −3,−2C. 3,2D. 3,−2
4.如图，在长40m、宽22m的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的部分铺上草坪，要使草坪的面积达到760m，设道路的宽为xm，则根据题意，可列出方程
( )
A. 40−x22−x=760B. 40+x22+x=760
C. 40×22−40x−22x=760D. 40×22−40x−22x−x2=760
5.二次函数y=ax+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示．
下列说法中，正确的是
( )
A. 图象的开口向上B. 图象经过点4,0
C. 图象与x轴只有一个公共点D. 点2,3右边的图象呈下降趋
6.如图，在⊙O中，动弦AB与直径CD相交于点E且总有∠BED=45∘，则AE2+BE2的值
( )
A. 随着OE的增大而增大B. 随着OE的增大而减小
C. 随着OE的增大先增大后减小D. 保持不变
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.写出一个一元二次方程，使它的两根分别为−2和3：_____________．
8.圆锥的底面半径为6㎝，母线长为10㎝，则圆锥的侧面积为______cm2
9.若点1,y1与2,y2都在函数y=−x2+3的图象上，则y1，y2的大小关系是_____．
10.若扇形的半径为3，圆心角120 ∘，为则此扇形的弧长是________．
11.已知关于x的一元二次方程x2+kx−3=0的一个根是x=1，则另一个根是_____．
12.如图是函数y=ax2+bx+c的部分图象，则该函数图象与x轴负半轴的交点坐标是_____________．
13.已知⊙O的半径为4，弦AB长为4 2，则弦AB所对的圆周角的度数为______________°．
14.五边形ABCDE为圆的内接五边形，其中AB=AE,∠A=100∘，则∠B+∠D=_____________．
15.如图，AB是⊙O的直径，若∠E=25∘，∠CAD=45∘则∠CDA的度数为_____________°．
16.等边▵ABC的边长是4 3，直线l经过等边▵ABC的外心O，过B作BD⊥l，垂足为D，连接CD，则CD的最小值是__________．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解下列方程．
(1)x−12−16=0
(2)x2−3x+1=0
四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
已知二次函数．y=x−mx+1的图像经过点(2,3)．
(1)求m的值；
(2)该二次函数的图像是否经过点(−2,6)判断并说明理由．
19.(本小题8分)
如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点P．
(1)求证AP=BP
(2)已知图中阴影部分面积为10π，求弦AB的长．
20.(本小题8分)
一个直角三角形的两条直角边长度之和是10cm，面积是12cm2，求斜边的长．
21.(本小题8分)
二次函数图象的顶点为−1,2，图象经过0,1．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)结合图象，直接写出当−2≤x≤3时y的取值范围．
22.(本小题8分)
尺规作图：作已知圆的一条直径．
要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图．
23.(本小题8分)
已知关于x的方程x−4x+4−k2=0(k为常数)．
(1)求证：不论k取何值时，该方程总有实数根．
(2)方程的两个实数根可能都是负根吗?判断并说明理由．
24.(本小题8分)
如图是二次函数y=x2−2x−3的大致图象．

(1)求该图象顶点的坐标；
(2)该图象经过怎样的平移可以得到函数y=x2的图象？
(3)将该图象绕原点旋转180∘，直接写出所得图象对应的表达式．
25.(本小题8分)
某商店八月份的销售额为30万元，九月份因经营不善销售额有明显下降，商店积极改进，十月份的销售额恢复到30万元，已知十月份销售额的增长率是九月份销售额的下降率的1.5倍．求九月份的销售额．
26.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90∘，BC与⊙O相交于点E，D是AC的中点，直线DE与直线AB相交于点F．

(1)求证：DF是⊙O的切线．
(2)已知AB=4，当AC长度变化时，AF的长也随之变化．
①当AC=._________时，AF=6
②在整个变化过程中，AF的长是否存在最大值？判断并说明理由．
27.(本小题8分)
小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大．
从特殊验证
已知四边形ABCD的各边长依次为7，15，20，24，求它的面积S，何时最大?
小敏的演算纸
解：分别考虑∠B为直角、钝角或锐角的情形．
I ∠B为直角 Ⅱ ∠B为钝角 Ⅲ ∠B为锐角

易得S=…
易证当∠ABC为钝角时，∠ADC也为钝角． 同理可得Ⅱ中结论设两条垂线段AE=x，AF=y.
综上所述，S的最大值为……．
(1)探索情形Ⅰ：

①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．
②S的值为_______．
(2)探索情形Ⅱ ：说明此时S的值小于情形Ⅰ 中S的值．
向一般进发
(3)已知四边形ABCD的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数(元)，且未知数的最高次数是2，且两边都是整式，这样的方程叫一元二次方程．
【详解】解：A．x−1=0，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B.x2=3，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
C.4x−3y=3，含有2个未知数，不时一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
D.x2−y2=3，含有2个未知数，不时一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
2.【答案】C
【解析】【分析】本题考查平面上一点与圆的位置关系，注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d【详解】解：∵⊙O的半径为3，平面内点P到圆心O的距离为 5，3> 5
∴点P在⊙O内，
故选C．
3.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，熟练掌握坐标的确定规律是解题的关键．
【详解】∵二次函数y=−x−32+2的图像的顶点坐标是3,2，
故选C．
4.【答案】A
【解析】【分析】考查了一元二次方程的应用，关键是将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是40−x和22−x，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程．
【详解】解：设道路的宽应为x米．依题意得：
40−x22−x=760，
故选：A．
5.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点问题，根据0,3、2,3两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
【详解】根据表格数据可得，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，故A选项错误
∵抛物线y=ax+bx+c经过0,3、2,3两点，
∴对称轴x=0+22=1；
∴点−1,0关于对称轴对称点为3,0，
即当x=−1时，y=0，则x=3时，y=0，则图象经过3,0，故 B选项错误；
∴图象与x轴有2个交点，故C选项错误；
在x>1时，图象呈下降趋，故 D选项正确
故选：D．
6.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，则AH=BH，设半径为R，在直角三角形OAH和OBH中，利用勾股定理整理化简，是解决问题的关键．
解：作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，则AH=BH，

设半径为R，
∵∠BED=45∘，则∠OEH=45∘，
∴OH=HE，
∴AE2+BE2
=AH+HE2+BH−HE2
=AH2+HE2+2AH⋅HE+BH2+HE2−2BH⋅HE
=AH2+OH2+BH2+OH2+2HEAH−BH
=R2+R2+2HEAH−BH
=2R2
∴AE2+BE2的值保持不变．
故选：D．
7.【答案】x2−x−6=0
【解析】【分析】本题考查了根据一元二次方程的根写出一元二次方程，解题的关键是防止把(x+2)(x−3)=0写成(x−2)(x−3)=0．
【详解】若一元二次方程的两根分别为−2和3，
则方程可以为(x+2)(x−3)=0，
整理得x2−x−6=0，
故答案为：x2−x−6=0．
8.【答案】60π
【解析】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
解：圆锥的侧面积=π×6×10=60πcm2．
9.【答案】y1>y2
【解析】【分析】此题考查了二次函数的性质，根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x=0，根据x>0时，y随x的增大而减小，即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由函数y=−x2+3可知，−1<0，对称轴是直线x=0，
∴当x>0时，y随x的增大而减小，
∵1<2，
∴y1>y2，
故答案为：y1>y2．
10.【答案】2π
【解析】【详解】根据弧长公式可得：120×π×3180=2π，
故答案为2π．
11.【答案】−3
【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．
【详解】解：设另一个根为m，
根据ax2+bx+c=0a≠0的两根分别为x1,x2，x1x2=ca，
可得m=−3，
故答案为：−3．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，ax2+bx+c=0a≠0的两根分别为x1,x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
12.【答案】−1,0
【解析】【分析】本题主要考查二次函数图象的对称性，掌握其对称轴的计算方法是解题的关键．
设另一个交点的横坐标为x，根据中点横坐标的计算方法“x1+x22”即可求解．
【详解】解：根据图示可知，对称轴为x=2，一个交点为5，
∴设另一个交点的横坐标为x，
∴x+52=2，
解得，x=−1，
∴另一个交点的坐标为−1,0，
故答案为：−1,0．
13.【答案】45∘或135∘
【解析】【分析】本题考查的是圆周角定理及垂径定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是先根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OF⊥AB，由垂径定理和勾股定理可求出AF的长，可求出∠AOF的度数，由圆周角定理及圆内接四边形的性质即可求出答案．
【详解】解：如图所示，连接OA、OB，过O作OF⊥AB，
则AF=12AB，∠AOF=12∠AOB，
∵OA=4，AB=4 2，
∴AF=12AB=2 2，
则OF= OA2−AF2=2 2=AF，
∴∠AOF=45∘，
∴∠AOB=2∠AOF=90∘，
在AB上取点E，连接AE、EB，在优弧AB上取点G，连接AG、BG，
∴∠AGB=12∠AOB=45∘，
∴∠AEB=180∘−∠AGB=135∘．
故答案为：45∘或135∘．
14.【答案】220∘
【解析】【分析】本题主要考查圆与几何图形的综合，掌握等腰三角形的判定和性质，等弧所对圆周角相等，圆内接四边形的性质是解题的关键．
如图所示，连接AD,BD,BE，根据AB=AE，可得▵ABE是等腰三角形，可求出∠ABE的 度数，根据等弧所对圆周角相等可得∠ADE的度数，再根据内接四边形对角和等于180∘，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接AD,BD,BE，

∵AB=AE，即▵ABE是等腰三角形，
∴∠ABE=∠AEB=12180∘−∠BAE=12×180∘−100∘=40∘，AE⌢=AB⌢，
∴∠ABE=∠ADE=40∘，
∵点A,B,C,D在圆上，
∴四边形ABCD是内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180∘，
∴∠ABC+∠ADC+∠ADE=∠ABC+∠CDE=180∘+40∘=220∘，
故答案为：220∘．
15.【答案】35
【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理以及三角形的外角性质等知识，连接BC，由圆周角定理得∠ACB=90∘，∠BAD=∠BCD，再证∠CAB+∠ABC=70∘+2∠BAD=90∘
，解得∠BAD=10∘，即可得出结论．
【详解】解：如下图，连接BC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠CAB+∠ABC=90∘，
∵∠CAB=∠CAD+∠BAD，∠ABC=∠BCD+∠E，∠BAD=∠BCD
∴∠CAB+∠ABC=∠CAD+∠BAD+∠BAD+∠E=45∘+2∠BAD+25∘=70∘+2∠BAD=90∘，
解的：∠BAD=10∘，
∴∠CDA=∠BAD+∠E=10∘+25∘=35∘．
故答案为：35∘．
16.【答案】2 7−2
【解析】【分析】连接BO并延长，交AC于点E，连接OC，首先根据等边三角形的性质可得点O为▵ABC三边垂直平分线的交点，也是三角角平分线的交点，三条中线的交点，OE⊥AC，CE=2 3，∠OCE=30∘，再利用三角函数解得OE=2，BE=6，易得OB=4，设OB中点为P，结合BD⊥l，可知点D的运动轨迹为以OB中点P为圆心，以OB为直径的圆上，故当P、D、C三点共线时，CD取最小值，然后利用勾股定理解得PC= CE2+PE2=2 7，即可获得答案．
【详解】解：如下图，连接BO并延长，交AC于点E，连接OC，

∵▵ABC为等边三角形，且边长为4 3，
∴AB=AC=BC=4 3，∠ACB=60∘，
∵点O为▵ABC的外心，
∴点O为▵ABC三边垂直平分线的交点，也是三角角平分线的交点，三条中线的交点，
∴OE⊥AC，AE=CE=12AC=2 3，∠OCE=12∠ACB=12×60∘=30∘，
∴在Rt▵OCE中，可有tan∠OCE=OECE，即tan30∘=OE2 3，
∴OE=2 3×tan30∘=2 3× 33=2，
在Rt▵BCE中，可有tan∠ACB=BECE，即tan60∘=BE2 3，
∴BE=2 3×tan60∘=2 3× 3=6，
∴OB=BE−OE=6−2=4，
设OB中点为P，
∴OP=BP=12OB=2，
∵直线l经过等边▵ABC的外心O，BD⊥l，
∴∠ODB=90∘，
∴点D的运动轨迹为以OB中点P为圆心，以OB为直径的圆上，
∴⊙P的半径为2，即PD=2，
∴当P、D、C三点共线时，CD取最小值，
在中，PE=OP+OE=2+2=4，
PC= CE2+PE2= (2 3)2+42=2 7，
∴此时CD=PC−PD=2 7−2
即CD的最小值是2 7−2．
故答案为：2 7−2．
本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外心、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识，确定等边▵ABC的外心O的位置以及点D的运动轨迹是解题关键．
17.【答案】【小问1详解】
方法一：
解：x−1=16
∴x−1=±4
∴x1=5,x2=−3．
方法二：
解：x−1−4x−1+4=0
即x−5x+3=0
∴x−5=0或者x+3=0
∴x1=5,x2=−3．
【小问2详解】
方法一：解：a=1,b=−3,c=1,b−4ac=5
x=−b± b2−4ac2a=3± 52
∴x1=3+ 52,x2=3− 52．
方法二：解：x−322−94+1=0
x−322=54
∴x−32=± 52
∴x1=3+ 52,x2=3− 52．

【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程．
(1)本题可以用直接开平方法求解，也可以用因式分解法求解；
(2)本题可以用公式法求解，也可以用配方法求解．
解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。熟练掌握各种解法，并且能选择正确的解法是解题的关键．
18.【答案】【小问1详解】
将点(2,3)代入y=x−mx+1得，
3=22−2m+1，
解得m=1．
【小问2详解】
二次函数的图像不经过点(−2,6).理由如下：
将x=−2代入y=x−x+1中，得y=7≠6．
∴该二次函数的图像不经过点(−2,6)．

【解析】【分析】本题考查了用待定系数法求参数的值，以及判断一个点是否在函数图像上．
(1)将点(2,3)代入y=x−mx+1中，即可求出m的值；
(2)将点(−2,6)的横坐标代入y=x−mx+1中求出y的值，看y的值是否等于6.若y的值等于6，则点(−2,6)在函数图像上，若y的值不等于6，则(−2,6)点不在函数图像上．若一个点在函数图像上，则这个点的横纵坐标应该满足这个函数表达式，掌握这一点知识是解题的关键．
19.【答案】【小问1详解】
证明：连接OP．

∵大圆的弦AB与小圆相切于点P
∴OP⊥AB
∴AP=BP．
【小问2详解】
连接OA．
∵OP⊥AB
∴∠OPA=90∘．
∴OA−OP=AP.
∵S阴影=π⋅OA2−π⋅OP2=10π
∴OA−OP=AP=10.
∴AP= 10，
∴AB=AP+BP=2AP=2 10

【解析】【分析】(1)连接OP，根据切线的性质得到OP⊥AB，再利用垂径定理即可得到答案，熟练掌握切线的性质定理和垂径定理是解题的关键；
(2)连接OA.根据OA2−OP2=AP2及S阴影=π⋅OA2−π⋅OP2=10π,得到OA−OP=AP=10.得到AP= 10，即可得到答案．熟练掌握勾股定理和垂径定理是解题的关键．
20.【答案】解：设一条直角边为xcm，则另一条直角边的长为(10−x)cm，
根据题意得：12x10−x=12，
整理得：x2−10x+24=0，
解得：x1=6,x2=4，
∴斜边的长为 62+42=2 13cm．

【解析】【分析】本题考查一元二次方程在几何图形中运用．首先设一条直角边为xcm，然后根据三角形的面积列出方程，从而求出x的值，得出答案．
21.【答案】【小问1详解】
解：设二次函数表达式为y=ax+12+2，
将0,1代入表达式中，得1=a0+12+2，
解得a=−1，
∴二次函数表达式为y=−x+12+2，
【小问2详解】
如图，

根据图象可知，当x=−1时，y有最大值为 2，
当x=3时，y有最小值−3+12+2=−14，
∴y的取值范围−14≤y≤2．

【解析】【分析】(1)用待定系数法求出函数表达式；
(2)由图象直接可得答案；
此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、求二次函数的函数值的取值范围，熟练掌握二次函数的图象与特征是解题的关键．
22.【答案】解：如图所示，直径CD与EG即为所作．


【解析】【分析】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
方法1：在圆上任取弦AB，作线段AB的垂直平分线，与圆分别交于点C，D，连接CD，根据垂径定理可知CD为已知圆的一条直径；
方法2：在圆上任取弦EF，过点F作EF的垂线，交圆于点G，连接EG，由圆周角定理可知EG为已知圆的一条直径．
23.【答案】【小问1详解】
∵a=1,b=−4,c=4−k2，
∴b−4ac=−42−44−k2=4k2≥0，
∴不论k取何值时，该方程总有实数根．
【 小问2详解】
方程的两个实数根不可能都是负根，
设关于x的方程x−4x+4−k2=0的两个根为x1,x2，
由根与系数的关系可得x1+x2=4>0，
∴x1,x2中至少有一个是正数，
∴方程的两个实数根不可能都是负根．

【解析】【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，一元二次方程根的判别式等知识，
(1)证明判别式大于等于0即可；
(2)根据两根之和是正数，判断即可．
24.【答案】【小问1详解】
解：∵y=x2−2x−3=x−12−4，
∴顶点坐标是1,−4．
【小问2详解】
解：∵y=x2−2x−3=x−12−4，
∴先向左平移1个单位长度得到y=x−1+12+4=x2+4，再向上平移4个单位长度得到y=x2+4−4=x2，
∴向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度．
【小问3详解】
解：∵y=x2−2x−3=x−12−4，即a=1，顶点坐标为1,−4，
∴该图象绕原点旋转180∘，则a=−1，顶点坐标为−1,4，
∴旋转后所得图象对应的表达式为y=−x+12+4．

【解析】【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，图象的平移，旋转的性质，掌握二次函数顶点式的计算方法，图形平移的规律，二次函数图象绕等知识是解题的关键．
(1)运用配方法将二次函数一般式变为顶点式即可求解；
(2)运用函数图象的平移规律“左加右减(横轴)，上加下减(纵轴)”即可求解；
(3)二次函数绕原点旋转180∘，则开口相反，顶点坐标变为原来坐标的相反数，由此即可求解．
25.【答案】解：设九月份销售额的下降率为x，则十月份销售额的增长率为1.5x．
由题意可列方程301−x1+1.5x=30．
解得x1=13，x2=0(不合题意，舍去)．
∴九月份销售额=30×1−13=20，
答：九月份销售额20万元．

【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用中增长率问题，正确理解题意，列出方程解答即可．
26.【答案】【小问1详解】
证明：连接OE，AE．

∵AB是⊙O的直径，
∴∠BEA=90∘．
∴∠CEA=90∘．
∵D是AC的中点，
∴AD=DE．
∴∠EAD=∠AED．
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA．
∴∠OAE+∠EAD=∠OEA+∠AED．
∵∠BAC=90∘，
∴∠OED=90∘．
∴OE⊥ED．
又点E在⊙O上，
∴DF是⊙O的切线．
【小问2详解】
①∵∠BAC=∠AEC=90∘，
∴∠BAE+∠CAE=90∘=∠ACE+∠CAE，
∴∠C=∠BAE，
又∵∠ABE=∠CBA，
∴▵BAE∽▵BCA，
∴ABAC=BEAE，
∵∠FEB+∠BEO=∠BEO+∠AEO=90∘，
∴∠FEB=∠AEO=∠OAE，
∵∠F=∠F，
∴▵FEB∽▵FAE，
∴BEAE=BFEF=EFAF，
∴ABAC=BFEF，EF2=BF⋅AF，
∴AB⋅EF=AC⋅BF，
如图1，∵AB=4，AF=6，
∴BF=2，EF= 2×6=2 3，
∴4×2 3=2AC，即AC=4 3；
如图2，

∵AB=4，AF=6，
∴BF=10，EF= 6×10=2 15，
∴4×2 15=10AC，即AC=4 155；
②AF不存在最大值，理由如下：
如图1，设AC=x，AF=y，
∴EF2=yy−4，
∴4EF=xy−4，整理得，y=4+64x2−16，
当x无限接近4时，y的值无限大，即当DE和AB接近平行时，此时AF无限大．

【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性质可得∠EDA=∠EAD，可得∠ODA=∠OAD，由余角的性质可求∠OED=90∘，可得结论；
(2)①通过证明△ABE∽△CBA，可得ABAC=BEAE，通过证明▵FEB∽▵FAE，可得BEAE=BFEF即可求解；②利用①中结论得出AC和AF的关系，可判断AF的长度的变化．
本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，等腰三角形的性质，反比例函数的性质，证明三角形相似是解题的关键．
27.【答案】(1) ①证明：连接AC，取AC中点O，连接OB，OD．
∵∠ABC=90∘
∴AC=AB+BC=625.

∵AD+CD=225+400=625,
∴AD+CD=AC.
∴∠ADC=90∘. ．
又O为AC中点，
∴OA=OB=OC=OD．
∴点A，B，C，D在以O为圆心，以OA为半径同一个圆上．
②根据题意，S=S▵ABC+S▵ADC=12BC•AB+12DC•AD=84+150=234，
故答案为：234．
(2)解：如图，连接AC，根据题意，S=S▵ABC+S▵ADC=12BC•AF+12DC•AE=10x+12y，
∵在中，x<15，在Rt▵AFB中，y<7，
∴S=10x+12y<10×15+12×7=234，

即S<234
(3)解：根据题意，当四边形ABCD四顶点共圆时，它的面积最大．
如图，设AB=6,BC=8,CD=8,AD=12.连接AC，过C分别作CE⊥AB，CF⊥AD垂足分别为E，F．
∵四边形ABCD四顶点共圆，CB=CD=8，
∴∠BAC=∠DAC，

∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CF=CE，
∵CE=CFCA=CA,CE=CFCB=CD,
∴▵CAE≌▵CAF，▵CBE≌▵CDF．
∴AE=AF,BE=DF．
∴AE=AF=AD−DF=AD−BE=AB+BE∴12−BE=6+BE，
解得BE=3，
∴CF=CE= BC2−BE2= 55.
∴S四边形ABCD=SABC+SACD=12AB⋅EC+12AD⋅CF=9 55,
故四边形ABCD面积最大值为9 55.

【解析】【分析】(1)①利用勾股定理及其逆定理，结合直角三角形的外接圆是斜边中点为圆心，斜边一半为半径的圆上，证明即可．
②利用面积分割法，结合直角三角形的面积公式计算即可．
(2)利用直角三角形的斜边大于直角边，结合不等式的性质，证明即可．
(3)利用四点共圆时，四边形的面积最大，画图图形，构造直角三角形计算即可．
本题考查了四点共圆的性质，勾股定理，圆周角，弦、弧的关系，三角形全等的判定和性质，直角三角形的斜边大于任何一条直角边，到定点距离相等的点在同一个圆上，熟练掌握四点共圆的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
x
…
−1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…