高考数学二轮专题复习——数列型不等式的放缩方法与技巧

这是一份高考数学二轮专题复习——数列型不等式的放缩方法与技巧，共4页。试卷主要包含了部分放缩，添减项放缩等内容，欢迎下载使用。
一 利用重要不等式放缩
均值不等式法
例1 设求证
解析 此数列的通项为
，，
即
注： = 1 \* GB3 ①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！
= 2 \* GB3 ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

其中，等的各式及其变式公式均可供选用。
例2 已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：（02年全国联赛山东预赛题）
简析

例3 求证.
简析 不等式左边
=，故原结论成立.
2．利用有用结论
例4 求证
简析 本题可以利用的有用结论主要有：
法1 利用假分数的一个性质可得

即
法2 利用贝努利不等式的一个特例(此处)得
注：例4是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：
证明(可考虑用贝努利不等式的特例)
例5 已知函数
求证：对任意且恒成立。（90年全国卷压轴题）
简析 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（）不等式的简捷证法：
而由不等式得
(时取等号)
（），得证！
例6 已知用数学归纳法证明；对对都成立，证明（无理数）（05年辽宁卷第22题）
解析 结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：
。于是，
即
注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：
，
即
例7 已知不等式表示不超过 的最大整数。设正数数列满足：
求证（05年湖北卷第（22）题）
简析 当时，即
于是当时有
注： = 1 \* GB3 ①本题涉及的和式为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩；
= 2 \* GB3 ②引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。
例8 设，求证：数列单调递增且
解析 引入一个结论：若则（证略）
整理上式得（），以代入（）式得即单调递增。
以代入（）式得
此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。
注： = 1 \* GB3 ①上述不等式可加强为简证如下：
利用二项展开式进行部分放缩：
只取前两项有对通项作如下放缩：
故有
= 2 \* GB3 ②上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题的背景：已知 是正整数，且（1）证明；（2）证明（01年全国卷理科第20题）
简析 对第（2）问：用代替得数列是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列递减，且故即。当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例4所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文[1]。
二 部分放缩
例9 设求证：
解析 又（只将其中一个变成，进行部分放缩），，
于是
例10 设数列满足，当时证明对所有 有；（02年全国高考题）
解析 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。
利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得

注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论。
三 添减项放缩
上述例4之法2就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。
例11 设，求证.
简析 观察的结构，注意到，展开得
，
即，得证.
例12 设数列满足 （Ⅰ）证明对一切正整数成立；（Ⅱ）令，判定与的大小，并说明理由（04年重庆卷理科第（22）题）
简析 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（Ⅰ）进行减项放缩，有
法1 用数学归纳法（只考虑第二步）；
法2
则