专题10 放缩法证明数列不等式之常数型与函数型(原卷及解析版)

放缩法证明数列不等式之常数型与函数型

◆题型一:放缩法证明数列不等式之常数型

方法解密:

放缩法证明数列不等式属于数列大题中较有难度的一种题型.大部分是以证明某个数列和大于或小于一个常数类型,小部分是证明某个数列前n项和或者积大于或小于一个函数(下一专题详解).本专题我们来介绍最常见的常数类型.

放缩的目的有两个:

一是通过放缩使数列的和变换成比如裂项相消等可以简单求和的形式,这样可以方便比较大小.

二是两者之间无法直接比较大小,这样我们需要通过寻找一个媒介,来间接比较大小.

放缩的原则:

放缩必然会导致数变大或者变小的情况,我们的原则是越精确越好.在证明过程中,为了使放缩更精确,往往会第一项不变,从第二项或者第三项开始放缩(例题会有讲解).

放缩的方法:

(1)当我们要证明多项式时,我们无法直接证明两者的大小,这时我们可以将多项式放大为,当我们能够证明,也间接证明了.切不可将缩小为,即使能够证明,与的关系无法得证.

(2)当我们要证明多项式时,这时我们可以将多项式缩小为,当我们能够证明,也间接证明了.需要放缩的多项式多以分式形式出现,要使得分式的值变大,就是将分母变小,常见是将分母减去一个正数,比如1.

类型一:裂项放缩

【经典例题1】求证

总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.

【变式1】求证

总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.

【变式2】求证

总结:通过例1和变式题我们发现,我们对分式的进行放大,分母我们依次减去的数是n,1.不难发现,这些数递减,所得的结果也是递减的.说明减去的数越小,所得的结果越精确.同时通过两道变试题我们也发现,保留前几项不动,这样放缩的精度也会高一些.有些模拟题中,经常出现保留前2项到3项不动的情况.那么作为学生如何判断从第几项开始放缩呢?这需要学生去尝试和试错,如果第一项不行,那就尝试第二项,第三项.

【经典例题2】已知,设,求证:.

【经典例题3】已知数列满足，，

（1）求;

（2）若数列满足，，求证：．

类型二:等比放缩

所谓等比放缩就是数列本身并非为标准的等比数列,我们将数列的通项经过一定的放缩使之成为一个等比数列,然后再求和,我们通过例题进行观察了解.

【经典例题4】证明:

【经典例题5】已知数列满足：，，.

（1）求证是等差数列并求；

（2）求数列的前项和；

（3）求证：.

【练习1】已知数列中，，其前项的和为，且当时，满足．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）证明：．

【练习2】已知数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的前项和为，证明：．

【练习3】已知函数，数列中，若，且.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设数列的前项和为，求证：.

【练习4】已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．若

（1）当时，试比较与的大小；

（2）记试证.

◆题型二:放缩法证明数列不等式之函数型

方法解密:

数列放缩较难的的两类便是形如数列的前n项和与函数的不等关系,即或者数列前n项积与函数的不等关系,即的问题,其中,这里的前n项和与前n项积难求或者是根本无法求.

面对这类题时,首先,我们可以将看成某个数列的和或者积,然后通过比较通项的大小来解决;其次,我们也可以对进行变形,使之能求和或者求积.往往第二种方法难以把握,对学生综合素质要求较高.而第一种方法相对简单易行,所以本专题以“拆项”为主线详细讲解.

【经典例题1】已知数列

(1)若数列满足,求证:数列是等比数列。

(2)若数列懑足,求证:

【经典例题2】设数列的前项和为，，且满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：对一切正整数，有.

【练习1】求证:

【练习2】已知公差不为0的等差数列满足：且，，成等比数列.

(1)求数列的通项公式和前项和；

(2)证明不等式且

【练习3】已知正项数列满足．

(1)求证：；

(2)求证：．

【练习4】已知各项均为正数的数列满足：，前项和为，且，．

(1)求数列的通项与前项和；

(2)记，设为数列的前项和，求证．

【过关检测】

1.已知数列中，，其前项和满足：．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有．

2.已知正项数列满足，.

（1）证明：数列是等比数列；

（2）证明：.

3.已知数列满足，前项和满足是正项等比数列，且是和的等比中项.

（1）求数列和的通项公式；

（2）求证：.

4.数列满足：；数列满足：，且.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，证明：.

5.已知数列的前项和为，，数列是公差为的等差数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求证：对于任意的，.

6.已知正项数列的前项和为，满足．

(1)求数列的前项和；

(2)记，证明：．

7.已知正项数列的前n项和为，且，，，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列前n项积为，证明：，．

8.已知等差数列的公差为，前项和为，且满足，，成等比数列且．

（1）求；

（2）若的前项和为，证明：．