数学人教版15.3 分式方程第1课时教案

这是一份数学人教版15.3 分式方程第1课时教案，共6页。教案主要包含了情境导入，探究新知等内容，欢迎下载使用。

教学内容
第 1 课时 分式方程及其解法
课时
1
核心素养目标
会用数学的眼光观察现实世界：在活动中培养学生乐于探索、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值
2.会用数学的思维思考现实世界：让学生主动去探寻问题、提出问题、解决问题.通过创设真实情境，提出问题，学生在自主与合作中展开富有批判性、探索性和创造性的学习，能够推动学生高阶思维的发展，提升学生的学科素养.
3.会用数学的语言表示现实世界：通过探索实际问题中的数量关系，体会分式方程的模型作用，在经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力，渗透转化的数学思想，培养学生的应用意识.
知识目标
1. 掌握解分式方程的基本思路和解法；
2. 理解分式方程可能无解的原因.
教学重点
掌握解分式方程的基本思路和解法.
教学难点
理解分式方程可能无解的原因.
教学准备
课件
教学过程
主要师生活动
设计意图
一、情境导入
二、探究新知
当堂练习，巩固所学
创设情境，导入新知
引言：为了探寻古迹，小明早上坐轮船从白帝城到江陵，晚上再坐轮船返回到白帝城. 已知轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km，与最大航速逆流航行 60 km 所用时间相等，江水的流速为多少？
设江水的流速为 v 千米/时，根据题意可列方程为
_____________.
师生活动：让学生自主探究，举手回答问题
（学生积极踊跃发言，问答提出的问题.）
小组合作，探究概念和性质
知识点1： 分式方程的概念
问题1：为了解决引言中的问题，我们得到了方程
eq \f(90,30＋v) = eq \f(60,30－v) ①
仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？
生答：分母中含有未知数．
追问1：方程 eq \f(1,2x) = eq \f(2,x+3) ， eq \f(1,x－5) = eq \f(10,x2－25)，
eq \f(x,x+1) = eq \f(2x,3x+3) +1，与上面的方程有什么共同特征？
师生活动：学生观察并独立思考，尝试着进行概括，发现这几个方程不同于原来熟悉的方程，其特征是分母中含有未知数.师生共同概括出分式方程的概念一分母中含有未知数的方程叫做分式方程.教师指出，我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中.
追问：你能动手写几个分式方程吗？
知识点2：分式方程的解法
探究1：如何解分式方程 eq \f(90,30＋v) = eq \f(60,30－v) ①
师生活动：教师提出问题，学生独立思考，并尝试解这个方程，学生代表将不同的解法展示在黑板上，学生相互交流.
师生活动：学生讨论之后，教师总结，这些解法的共同特点是先去分母将分式方程转化为整式方程，再解整式方程.进而通过以下几个问题明确解分式方程的方法和依据：
(1)如何把它转化为整式方程?
(2)怎样去分母?
(3)在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母 都约去?
(4)这样做的依据是什么?
学生思考后得出结论：分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了.利用等式的性质2可以在方程两边都乘同一个式子一各分母的最简公分母.
探究2：下面我们再解一个分式方程：
eq \f(1,x－5) = eq \f(10,x2－25) ②
追问：x = 5 是原分式方程的解吗？
师生活动：教师提出问题，学生在独立思考后解此方程，得出去分母后的整式方程的解x = 5.
有的学生认为x = 5是原分式方程的解，有的学生发现当x = 5时，分式 eq \f(1,x－5) ， eq \f(10,x2－25) 都没有意义，让学生思考其中的原因.
想一想：
上面两个分式方程中，为什么 eq \f(90,30＋v) = eq \f(60,30－v) ① 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，
而 eq \f(1,x－5) = eq \f(10,x2－25) ② 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
师生活动：教师针对上面的两个分式方程的解答过程提出问题，学生独立思考，然后小组交流，教师适时点拨.最后达成共识：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0;
对解进行检验时，主要有两种方式，
其一是将整式方程的解代人原分式方程，看左右两边是否相等；
其二是将整式方程的解代人最简公分母，看是否为0.
追问：用图框的方式总结为：
例1 解方程： eq \f(2,x－3) = eq \f(3,x) .
例2 解方程： eq \f(x,x－1) －1 = eq \f(3,(x－1)(x＋2)) .
师生活动：师生共同分析解答例1，教师板书.学生独立完成例2，然后分组交流.并对错例进行展示，师生共同分析错误原因.
练一练：
1. (西安校考)解方程： eq \f(4,x－1) = eq \f(2x + 6,x2－1)
(武汉开学考) 如果关于 x 的方程
eq \f(ax,x－2) + eq \f(4,2－x) = 1的解是无解，则 a 的值为_______.
师生活动：学生独立完成，选三名同学上黑板解答，教师巡视，对有困难同学给予帮助，鼓励他们努力完成解答，然后全班同学评析三位上黑板同学的解答，吸取经验，总结问题，帮助自己完善认知.
当堂练习，巩固所学
1. 下列关于x的方程中，是分式方程的是 ( )
A. B.

D.
2.要把方程 化为整式方程，
方程两边可以同乘 ( )
3y－6 B. 3y
3 (3y－6 ) D. 3y ( y－2 )
3.解方程：
4.关于 x 的方程 的解是正数，
则 a 的取值范围是______________．
设计意图：通过实际例子引出本节课讨论的问题，通过跨学科联动，充分调动学生学习的兴趣.
设计意图：由实际问题引出分母中含有未知数的方程，让学生了解研究分式方程的必要性.
设计意图: 让学生在观察和思考的过程中，发现并概括出分式方程的本质特征，了解分式方程的概念，认识其本质属性一分母中含有未知数， 同时为后续探索解分式方程的基本思路(转化为整式方程)和关键步骤(去分母)做好铺垫.
设计意图：让学生在已有知识经验基础上，尝试解分式方程.
设计意图: (1)让学生积累去分母的经验，去分母的通法是分式两边同乘最简公分母; (2)让学生感受到在去分母解分式方程的过程中已经对原分式方程进行了变形，这种变形可能会使方程的解发生变化.
设计意图:通过对比两个方程化为整式的过程，让学生了解分式方程产生增根的原因当整式方程的解使得所乘最简公分母不等于0时，相当于方程两边同时乘以非0数，方程的解不发生变化;当整式方程的解使得所乘最简公分母等于0时，相当于方程两边同时乘0.方程的解发生变化，此时出现了分母为0的情况.
设计意图:让学生在解具体的分式方程后，反思解题思路和步骤，体会化归思想和程序化思想，积累解题经验.
设计意图:规范解分式方程的步骤和格式，加深对分式方程解法的认识.
设计意图:让学生按照规范的步骤和格式解分式方程，在积累解题经验的同时，体会化归思想和程序化思想.
设计意图:分式方程无解有两种情况：
一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程无解.
一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解,但这个解使分式方程的分母为0.
设计意图：考查学生对分式方程概念的了解情况.
设计意图：关键步骤“去分母”的理解情况.
设计意图：考查学生对分式方程的解法的掌握情况.
设计意图：考查学生对已知含有参数的分式方程解的范围，求参数的值的掌握情况.
板书设计
分式方程及其解法
分式方程：分母中含未知数的方程
分式方程的解：1.方程两边同乘最简公分母；
2.必须检验.
课后小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
教学反思
在本课的教学过程中，应从这样的几个方面入手：
（1）分式方程和整式方程的区别：分清楚分式方程必须满足的两个条件：①方程式里必须有分式，②分母中含有未知数.这两个条件是判断一个方程是否为分式方程的充要条件.同时，由于分母中含有未知数，所以将其转化为整式方程后求出的解就应使每一个分式有意义，否则，这个解使原方程的无解.正是由于分式方程与整式方程的区别，在解分式方程时必须进行检验.
（2）分式方程和整式方程的联系：分式方程通过方程两边都乘以最简公分母，约去分母，就可以转化为整式方程来解，教学时应充分渗透这种化归思想.
（3）解分式方程时，如果分母是多项式时，应先写出将分母进行因式分解的步骤，从而让学生准确无误地找出最简公分母.