1.1.1 空间向量及其线性运算-人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

空间向量及其线性运算【要点梳理】要点一、空间向量的相关概念1.空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。2.空间向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或3．空间向量的有关概念：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。单位向量：长度为1的空间向量，即.相等向量：方向相同且模相等的向量。相反向量：方向相反但模相等的向量。共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。要点诠释：①当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．②向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的．要点二、空间向量的加减法1．加减法定义 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）． 2．运算律交换律： 结合律：空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：；要点三、空间向量的数乘运算定义：实数与空间向量a的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当＞0时，a与a方向相同；当＞0时，a与a方向相反；当=0时，a=0．a的长度是a的长度的||倍．如右图所示． 2．运算律． 分配律：(a+b)=a+b； 结合律：(μa)= (μ)a．要点四、共线定理 1．共线向量的定义．与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b．注意： 0与任意向量是共线向量．2．共线向量定理． 空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数，使． 要点诠释：此定理可分解为以下两个命题： a∥b（b≠0）存在唯一实数，使得a=b； 存在唯一实数，使得a=b（b≠0），则a∥b． 注意: b≠0不可丢掉，否则实数就不唯一．3. 共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）②证明三点共线。 要点五、共面定理1．共面向量的定义． 通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 注意： 空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了．2．共面向量定理．如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（），使．推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使 或对空间任一点，有，上式叫做平面的向量表达式．3.共面向量定理的用途：①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。 【典型例题】类型一：空间向量的线性运算例1.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（ ）A． B．C． D．【解析】选：A， ∵，，，∴，举一反三：【变式1】如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） 【答案】A 显然【变式2】已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且，，，用，，表示向量为（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】如图所示，连接ON，AN，则，所以例2、如右图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是（ ）①；②；③；④． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【解析】 ①； ②； ③； ④． 因此，①②两式的运算结果为向量，而③④两式运算的结果不为向量．故选A．举一反三：【变式1】如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式：（1）；（2）；（3）；（4）。【答案】向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，封闭图形，首尾连接的向量的和为0。（1）；（2）；（3）；（4）。例3．若三棱锥O一ABC中G是ΔABC的重心，求证：.【解析】如图所示，∵G是ΔABC的重心， ∴，D为BC的中点 ∴ 举一反三：【变式1】在如图所示的平行六面体中，求证：【答案】∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴，，，∴又由于，，∴∴。例4、正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x、y、z的值：（1）；（2）。【解析】（1）∵，又∵，∴x=1，y=－1，z=1。（2）∵，又∵，∴，，。举一反三：【变式】已知是平行六面体（1）化简，并在图中标出其结果；（2）设M是底面ABCD的中心、N是侧面对角线上的分点，设，试求、、的值。【答案】（1）如图，取的中点为E，则取F为的一个三等分点，则又，，∴。（2）∴，，。类型二：共线向量定理的应用例5．证明：在四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分．（此点称为四面体的重心） 【解析】∵E、G分别为AB、AC的中点，∴，同理， ∴．从而四边形EGFH为平行四边形，对角线相交于一点O，且O为它们的中点．连接OP、OQ．只要能证明向量，就可以说明P、O、Q三点共线，且O为PQ的中点．事实上，，，而O为GH的中点，∴，，，∴，．∴．∴， ∴PQ经过O点，且O为PQ的中点． 即证得EF、GH、Q相交于点O，且O为它们的中点，故原命题得证．举一反三：【变式1】如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点。求证：平面EFG∥平面AB1C。【答案】证明：设，，，则，∴， ∴，∴EG∥AC又∵，∴，∴，EF∥B1C。又∵EG与EF相交，AC与B1C相交，∴平面EFG∥平面AB1C类型三：共面向量及应用例6．已知，从平面外一点引向量，（1）求证：四点共面；（2）平面平面．【解析】（1）∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴共面；（2）∵，又∵，∴所以，平面平面．例7.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.【解析】　　　　举一反三：【变式1】如右图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：MN∥平面CDE．【答案】 证明：如题图，因为M在BD上，且，所以．同理．所以．又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．由于MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE．