人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算同步达标检测题

1.1 空间向量及其运算（精讲）

考点一 空间向量的线性运算

【例1-1】（2022·湖南）如图，从长方体的八个顶点中任取两点作为向量的起点和终点：

(1)写出所有与相等的向量；

(2)写出的相反向量．

【例1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：(1)；(2)；(3).

【例1-3】（2022·全国·高二课时练习）在平行六面体中，若，则（       ）

A． B． C． D．

【一隅三反】

1．（2022·四川）如图，在平行六面体中，点M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（       ）.

A． B．

C． D．

2（2022·江苏）已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（       ）

A． B．

C． D．

3．（2022·云南玉溪）如图，在三棱锥中，点E在上，满足，点F为的中点，记分别为，则（       ）

A． B． C． D．

4．（2022·全国·高二课时练习）根据如图的平行六面体，化简下列各式：

(1)；

(2).

考点二 空间向量的共线问题

【例2】（2022·湖南）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．

【一隅三反】

1．（2022·湖南）如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3. 求证：B，G，N三点共线．

2．（2022·江苏）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若.

（1）用表示.

（2）求证：E，F，B三点共线.

3．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．

考点三 空间向量的共面问题

【例3-1】（2022·全国·高二）下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（       ）

A． B．

C． D．

【例3-2】（2022·江西南昌）若构成空间向量的一组基底，则下列向量不共面的是（       ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【例3-3】（2022·全国·高二）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（       ）

A． B． C． D．

【一隅三反】

1．（2022·全国·高二）已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是（       ）

A． B．

C． D．

2（2022·江苏常州）对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（       ）

A．一定不共面 B．一定共面

C．不一定共面 D．与点位置有关

3．（2022·全国·高二课时练习）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（       ）

A．2 B． 

C．1 D．

4．（2022·全国·高三专题练习）有下列说法:

①若，则与，共面；

②若与，共面，则=x+y；

③若=x+y，则P，M，A，B共面；

④若P，M，A，B共面，则=x+y.

其中正确的是（       ）

A．①②③④   B．①③④  

C．①③   D．②④

考点四 空间向量的数量积

【例4-1】（2022·全国·高二课时练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，

（1）用表示；

（2）求对角线的长；

（3）求

【例4-2】（2022·全国·高二课时练习）如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且，点棱上，且.

(1)用，，表示；

(2)若，求；

(3)若，求证：平面.

【例4-3】（2022·河南省杞县）正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【一隅三反】

1．（2022·全国·高二课时练习）已知单位正方体，求下列各式的值：

(1)；  (2)；  (3)；  (4)；  (5)； (6).

2．（2022·福建省连城县第一中学）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:

(1)的长;

(2)直线与所成角的余弦值.

3．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在三棱锥中，两两垂直，且，E为的中点．

（1）证明：；

（2）求直线与所成角的余弦值．

4．（2022·江苏·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，．

(1)确定在平面上的投影向量，并求；

(2)确定在上的投影向量，并求．

考点五 空间向量的概念辨析

【例5】（2022·全国·高二课时练习）下列命题为真命题的是（       ）

A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

B．若，则､的长度相等且方向相同

C．若向量､满足，且与同向，则

D．若两个非零向量与满足，则.

【一隅三反】

1．（2022·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（       ）

A．零向量没有方向

B．空间向量不可以平行移动

C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等

D．同向且等长的有向线段表示同一向量

2．（2021·重庆南开中学高二阶段练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（       ）．

A． B． C． D．

3．（2021·福建）给出下列命题

①空间中所有的单位向量都相等；

②方向相反的两个向量是相反向量；

③若满足，且同向，则；

④零向量的方向是任意的；

⑤对于任意向量，必有．

其中正确命题的序号为（       ）

A．①②③ B．⑤ C．④⑤ D．①⑤