2023-2024学年江苏省无锡市江南中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市江南中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列标点符号中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式：4πr33，2πr，mnm+n，mv中，是分式的共有
( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.为了解我校八年级600名学生期中数学考试成绩，从中抽取了100名学生的数学成绩进行统计．下列判断正确的是( )
A. 被抽取的100名学生的数学成绩是总体B. 样本容量是600
C. 被抽取的100名学生是总体的一个样本D. 样本容量是100
4.如图，在▱ABCD中，AC是对角线，∠D=60∘，∠1=45∘，则∠2的度数是
( )
A. 105∘B. 90∘C. 75∘D. 30∘
5.下列各式从左到右的变形中，正确的是( )
A. ab=2a2bB. ab=a−1b−1C. 1a+a=1+a2D. 2a+b3a+b=23
6.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A. 对角线垂直B. 对边平行C. 对角相等D. 对角线相等
7.如图，在四边形ABCD中，AC=BD，点E、F、G、H分别是边CD、DA、AB、BC的中点，四边形EFGH是
( )
A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
8.若分式方程x+1x−2=mx−2有增根，则m的值为
( )
A. 3B. −3C. −32D. 32
9.数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出12升水，第2次倒出的水量是12升的13，第3次倒出的水量是13升的14，….第n次倒出的水量是1n升的1n+1，……，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水
( )
A. 1n+1升B. 1n升C. 0升D. nn+1升
10.如图，已知正方形ABCD中，AB=2，点E为BC边上一动点(不与点B、C重合)，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90∘得到FE，连接CF，设AF与CD相交于点G，连接DF.以下说法：①∠EAF=45∘；②DF最小值为 2；③FE平分∠AFC；④当DF最小时，四边形ECFA的面积是3.其中一定正确的是
( )
A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若分式x−1x+1的值为零，则x的值为_____．
12.小明在农贸市场购买葡萄，为了解葡萄的甜度，他取了一颗品尝．这种了解方式属于_______(填“普查”或“抽样调查”)
13.分式1x，12x，13x的最简公分母是_____．
14.如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BD=10，AC=6，则▵AOB的周长为______．
15.如图，四边形ABCD是菱形，其中点A、D的坐标分别为−3,0、0,4，点B在x轴上，则点C的坐标为______．
16.已知非零实数x，y满足1y−1x=2，则x−y+4xyxy的值等于______．
17.如图，在菱形ABCD中，BD=BC=2，点E是BC的中点，点P是对角线AC上的动点，连接PB、PE，则PB+PE的最小值是______．
18.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点O是BD的中点，点E在BC边上，BE=3.已知点P是AD边上动点(DP≤4)，线段OP绕点O逆时针旋转一定的度数，使点P落在线段AE上的点Q处．连接PQ，则PQ2的最小值是______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.化简：
(1)1x+1+xx+1；
(2)x2+xyxy⋅1x+y．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
计算：
(1)解分式方程：x2x−1=1+22x−1．
(2)先化简1+1x−2÷x2−2x+1x2−4，然后从−1，1，−2，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
21.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
(1)求证：AE=CF．
(2)若BE=4，AB=5，求CF．
22.(本小题8分)
在“世界读书日”前夕，学校开展了“共享阅读，向上人生”的读书活动．活动中，为了解学生对书籍种类(A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类)的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项)将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图．

(1)这次调查中，一共调查了______名学生？
(2)求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图．
(3)若全校有2000名学生，请估计喜欢B(科技类)的学生有多少名？
23.(本小题8分)
如图，▵ABC的顶点坐标为A−2,3，B−3,0，C0,1．
(1)画出▵ABC关于点O成中心对称的▵A1B1C1；
(2)将▵ABC绕点C顺时针旋转90∘，画出旋转后的▵A2B2C；
(3)四边形BCB1C1的面积为______．
24.(本小题8分)
为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后每天比更新前多生产25件产品，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：
(1)更新设备后每天生产______件产品(用含x的式子表示)；
(2)更新设备前生产6000件产品的天数和更新设备后生产7000件产品的天数相同，求更新设备后每天生产多少件产品．
25.(本小题8分)
如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为6,8，点D为对角线OB的中点，点P是OC边上一动点，直线PD交AB边于点E．
(1)求证：四边形OPBE为平行四边形；
(2)若▵ODP的面积与四边形OAED的面积之比为1:3，求点P的坐标；
(3)设点Q是x轴上方平面内的一点，以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标．
26.(本小题8分)
在如图所示的平面直角坐标系中，正方形AOBC边长为2，点C的坐标为2,2．
(1)如图1，动点D在OB边上，将▵BCD沿直线DC折叠，点B落在点B′处，连接DB′并延长，交AO于点E．
①当B′D=OD时，点D的坐标是______；
②若点E是线段OA的中点，求此时点D与点B′的坐标；
(2)如图2，动点D，G分别在边OB,AC上，将四边形DBCG沿直线DG折叠，使点B的对应点B′始终落在边OA上(点B′不与点O，A重合)，点C落在点C′处，B′C′交AC于点E.设OB′=t，四边形AB′DG的面积为S，直接写出S与t的关系式．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】本题考查中心对称图形的定义，理解中心对称图形的定义是解题关键．
若把一个图形绕中心点旋转180°，旋转后的图形能和原图形重合，则这个图形为中心对称图形，即可判断．
【详解】A.若把绕中心点旋转180°，旋转后的图形为，不能和原图形重合，不符合题意；
B.若把绕中心点旋转180°，旋转后的图形为，不能和原图形重合，不符合题意；
C.若把绕中心点旋转180°，旋转后的图形为，能和原图形重合，符合题意；
D.若把绕中心点旋转180°，旋转后的图形为，不能和原图形重合，不符合题意．
故选C．
2.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查分式的识别，形如AB，且B中含有字母，这样的式子叫做分式．注意π是常数，不是字母．
【详解】解：4πr33分母中不含字母，不是分式；2πr是整式，不是分式；mnm+n是分式；mv是分式；
分式共有2个，
故选B．
3.【答案】D
【解析】【分析】此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：A.被抽取的100名学生的数学成绩是样本，故A错误；
BD.样本容量是100，故B错误，D正确；
C.被抽取的100名学生的数学成绩是总体的一个样本，故C错误．
故选：D．
4.【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握“平行四边形的两组对边分别平行”是解题的关键．根据∠D=60∘，AB/​/CD得出∠BAD=120∘，根据∠1=45∘，求出∠CAD，最后根据平行线的性质即可求出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，AB/​/CD，
∴∠2=∠CAD，∠BAD+∠D=180∘，
∵∠D=60∘，
∴∠BAD=120∘，
∵∠1=45∘，
∴∠2=∠CAD=120∘−45∘=75∘，
故选：C．
5.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，依次分析各个选项，即可求出答案．
【详解】解：A，ab=2a2b，变形正确；
B，ab≠a−1b−1，变形错误；
C，1a+a=1+a2a≠1+a2，变形错误；
D，2a+b3a+b的分子和分母不能约分，2a+b3a+b≠23，变形错误；
故选A．
6.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了矩形、菱形的性质，掌握矩形、菱形与平行四边形的关系是解答本题的关键．根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有即可解答．
【详解】解：∵矩形和菱形是平行四边形，
∴对边平行，对角相等，是二者都具有的性质，
∴对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质，对角线垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质．
故选：D．
7.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了菱形的 判定以及三角形的中位线定理，顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形，再根据AC=BD即可证明结论．
【详解】解：∵点E、F、G、H分别是边CD、DA、AB、BC的中点，
∴HG//AC，HG=12AC，EF/​/AC，EF=12AC，EH=12BD，
∴EF=HG且EF/​/HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC=BD，
∴EH=EF，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：C．
8.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了分式方程的增根，先去分母将分式方程化为整式方程，令分母为0求出增根，代入整式方程即可求解．
【详解】解：x+1x−2=mx−2，
去分母，得x+1=m，
解得x=m−1，
∵分式方程x+1x−2=mx−2有增根，
∴x−2=0，
∴x=2，
∴m−1=2，
解得m=3，
故选A．
9.【答案】A
【解析】【分析】考查了规律型：数字的变化，此题属于规律性题目，解答此题的关键是根据题目中的已知条件找出规律，按照此规律再进行计算即可．注意1n⋅1n+1=1n−1n+1.根据题目中第1次倒出12升水，第2次倒出水量是12升的13，第3次倒出水量是13升的14，第4次倒出水量是14升的15…，第n次倒出的水量是1n升的1n+1…，可知按照这种倒水的方法，第n次倒出水后，还剩下水升水．
解：∵1−12−12×13−13×14−14×15−⋅⋅⋅−1n×1n+1
=1−12−12+13−13+14−14+15−⋅⋅⋅−1n+1n+1
=1n+1．
故按此按照这种倒水的方法，这1升水经n次后还有1n+1升水．
故选：A．
10.【答案】D
【解析】【分析】根据旋转得出：∠AEF=90∘，AE=EF，根据三角形内角和定理求出∠AFE=∠EAF=12180∘−90∘=45∘，判断①正确；延长BC，过点F作FM⊥BC于点M，连接AC，延长CF，过点D作DN⊥CF于点N，证明▵EFM≌▵AEB，得出AB=EM，BE=FM，说明点F一定在过点C，与AC垂直的 直线上，根据垂线段最短，得出点F在点N处时，DF最小，根据△CDN为等腰直角三角形，得出DN=CD 2=2 2= 2，判断②正确；根据S四边形AECF=S▵AEF+S▵CEF求出四边形AECF的面积，判断④正确；根据∠ACF=90∘，得出∠AFC<90∘，说明∠AFE≠∠CFE，判断③错误．
【详解】解：根据旋转可知：∠AEF=90∘，AE=EF，
∴∠AFE=∠EAF=12180∘−90∘=45∘，故①正确；
延长BC，过点F作FM⊥BC于点M，连接AC，延长CF，过点D作DN⊥CF于点N，如图所示：
则∠EMF=90∘，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠BCD=90∘，AB=BC=CD=AD=2，
∵∠EFM+∠FEM=∠FEM+∠AEB=90∘，
∴∠EFM=∠AEB，
∵AE=EF，∠FME=∠B，
∴▵EFM≌▵AEB，
∴AB=EM，BE=FM，
∴BC=EM，
∴BE+EC=EC+CM，
∴BE=CM，
∴CM=FM，
∴∠FCM=∠CFM=12×90∘=45∘，
∴∠DCF=180∘−90∘−45∘=45∘，
∵∠ACD=∠ACB=45∘，
∴∠ACF=45∘+45∘=90∘，
∴FC⊥AC，
∴点F一定在过点C，与AC垂直的直线上，
∵垂线段最短，
∴点F在点N处时，DF最小，
∵∠CND=90∘，∠DCN=45∘，
∴△CDN为等腰直角三角形，
∴DN=CD 2=2 2= 2，
即DF的最小值为 2，故②正确；
当DF最小时，CF=DF= 2，
∵∠CMF=90∘，∠FCM=45∘，
∴▵CFM为等腰直角三角形，
∴FM=CM=CF 2= 2 2=1，
∴CE=EM−CM=2−1=1，
∴BE=2−1=1，
∴AE= 22+12= 5，
∴EF=AE= 5，
∴S四边形AECF=S▵AEF+S▵CEF
=12× 5× 5+12×1×1
=3，故④正确；
∵∠ACF=90∘，
∴∠AFC<90∘，
∵∠AFE=45∘，
∴∠CFE=∠AFC−∠AFE<45∘，
∴∠AFE≠∠CFE，
∴FE一定不平分∠AFC，故③错误；
综上分析可知：①②④正确；
故选：D．
11.【答案】1
【解析】【分析】由题意根据分式的值为0的条件是分子为0，分母不能为0，据此可以解答本题．
【详解】解：x−1x+1=0，
则x−1=0，x+1≠0，
解得x=1．
故若分式x−1x+1的值为零，则x的值为1．
故答案为：1．
12.【答案】抽样调查
【解析】【分析】本题考查普查和抽样调查的含义，普查即全面调查，抽样调查指的是全部数据中抽出部分调查，根据定义即可选出本题答案．
【详解】解：∵为了解葡萄的甜度，他取了一颗品尝，
∴更适用抽样调查，
故答案为：抽样调查．
13.【答案】6x
【解析】【分析】先确定各分母中，系数的最小公倍数，再找出各因式的最高次幂，即可得答案．
【详解】∵3个分式分母的系数分别为1，2，3
∴此系数最小公倍数是6．
∵x的最高次幂均为1，
∴三个分式的最简公分母为6x．
故答案为6x
14.【答案】13
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分即可求解．
【详解】解：∵平行四边形ABCD中，AB=5，BD=10，AC=6，
∴OB=12BD=5，OA=12AC=3，
∴OB+OA+AB=5+3+5=13，
即▵AOB的周长为13，
故答案为：13．
15.【答案】5,4
【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质、两点间距离公式等，由两点间距离公式可得AD=5，再根据菱形的性质可得CD=AD=5，根据点B在x轴上，可得CD/​/AB，进而可得点C的坐标．
【详解】解：∵点A、D的坐标分别为−3,0、0,4，
∴AD= −3−02+0−42= 32+42=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD=5，
∵点B在x轴上，
∴CD//AB，
∴点C的坐标为5,4，
故答案为：5,4．
16.【答案】6
【解析】【分析】本题考查的是分式的加减法和求值，根据分式的加减法运算法则计算并代入求值即可．
【详解】解：∵非零实数x，y满足1y−1x=2，
∴x−y+4xyxy
=xxy−yxy+4xyxy
=1y−1x+4
=2+4
=6，
故答案为：6．
17.【答案】 3
【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质，轴对称−最短路线问题，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的对称性可知点B、D关于AC对称，则PB+PE的最小值即为DE的长，再利用勾股定理求出DE的长即可．
【详解】解：设BD与AC相交于点O，连接DE，DP，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC垂直平分BD，BC=CD，
∴DP=BP，
∴PE+PB=DP+PE，
∴当DP+PE最小时，PB+PE最小，
∴当D、P、E三点共线时DP+PE最小，即PB+PE最小，
∵BD=BC=2，
∴BD=BC=CD，
∵点E是BC的中点，
∴DE⊥BC，BE=CE=1，
∴DE= BD2−BE2= 22−12= 3，
∴PB+PE最小值为 3．
故答案为： 3．
18.【答案】645
【解析】【分析】连接OA，作AG⊥BD于G，作OI⊥AD于I，OK⊥AE于K，证明Rt▵KOQ≅Rt▵IOP，得出PQ2=165OP2，求出OP最小值即可．
【详解】解：连接OA，作AG⊥BD于G，
在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，
∴BD= 42+82=4 5，
∴OA=OD=2 5，
∵12AG⋅BD=12AB⋅AD，
∴AG=8 55，
∴sin∠AOB=AGAO=45，
∵BE=3，AB=4，∠ABE=90∘，
∴AE= 42+32=5，
∴sin∠AEB=45，
∴∠AEB=∠AOB=2∠OAD，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB=2∠OAD，
∴∠QAO=∠OAD，
作OI⊥AD于I，OK⊥AE于K，
∴OI=OK，
∵OP=OQ，
∴Rt▵KOQ≅Rt▵IOP，
∴∠QOK=∠POI，
∴∠IOK=∠POQ，
∵∠IOK+∠EAD=∠IOK+2∠OAD=180∘，∠POQ+2∠OPQ=180∘，
∴∠OPQ=∠OAD=∠ADO，
∴tan∠OPQ=tan∠ADO=12，
作OH⊥PQ于H，
∴PQ=2PH=4OH，
∴PO= OH2+PH2= 5OH，
∴PQ2=16OH2，PO2=5OH2，
∴PQ2=165OP2，
当OP⊥AD时，OP最小，最小值为2，
此时PQ2=165OP2=645；
故答案为：645．

19.【答案】【小问1详解】
解：1x+1+xx+1
=1+xx+1
=1；
【小问2详解】
解：x2+xyxy⋅1x+y
=xx+yxy⋅1x+y
=1y．

【解析】【分析】本题考查分式的加法及乘法，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
(1)同分母分式相加，分母不变，分子相加，再约分化简；
(2)先对原式中能因式分解的分子和分母进行因式分解，再约分化简即可．
20.【答案】【小问1详解】
解：(1)x2x−1=1+22x−1，
去分母得：x=2x−1+2，
解整式方程得：x=−1，
检验：把x=−1代入2x−1得：2x−1=2×−1−1=−3≠0，
∴x=−1是原方程的解；
【小问2详解】
解：1+1x−2÷x2−2x+1x2−4
=x−2+1x−2÷x−12x+2x−2
=x−1x−2⋅x+2x−2x−12
=x+2x−1，
∵x≠2，−2，1，
∴把x=−1代入x+2x−1得：原式=−1+2−1−1=−12．

【解析】【分析】本题主要考查了解分式方程，分式化简求值，熟练掌握运算法则，准确计算．
(1)先变分式方程为整式方程，然后解整式方程即可；
(2)先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入求值即可．
21.【答案】【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，AE⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90∘，
在▵ABE和▵CDF中，
∠ABE=∠CDF∠AEB=∠CFDAB=CD,
∴▵ABE≌▵CDFAAS，
∴AE=CF；
【小问2详解】
解：由(1)得▵ABE≌▵CDF，
∴DF=BE=4，CD=AB=5，
∵在Rt▵CFD中，CF2+DF2=CD2，
∴CF= CD2−DF2= 52−42=3．

【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理：
(1)根据平行四边形的性质得出AB/​/CD，AB=CD，进而证明▵ABE≌▵CDFAAS，即可得出AE=CF；
(2)由全等三角形的性质可得DF=BE=4，CD=AB=5，再用勾股定理解Rt▵CFD即可．
22.【答案】【小问1详解】
解：40÷20%=200(名)，
答：调查的总学生是200名；
【小问2详解】
解：D所占百分比为30200×100%=15%，
扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数为360∘×15%=54∘，
B所占的百分比是1−15%−20%−30%=35%，
C的人数是：200×30%=60(名)，
补图如下：
；
【小问3详解】
解：2000×35%=700(名)，
答：估计喜欢B(科技类)的学生大约有700名．

【解析】【分析】(1)根据A类的人数和所占的百分比，即可求出总人数；
(2)用整体1减去A、C、D类所占的百分比，即可求出扇形统计图中“B”所在扇形的圆心角的度数以及B所占的百分比；用总人数乘以所占的百分比，求出C的人数，从而补全图形；
(3)总人数乘以样本中B所占百分比即可得出结果．
23.【答案】【小问1详解】
解：如图，▵A1B1C1即为所求作的三角形；
【小问2详解】
解：如图，▵A2B2C即为所求作的三角形；
【小问3详解】
解：∵BC=CB1=B1C1=BC1= 12+32= 10，
∴四边形BCC1B1为菱形，
∴S四边形BCB1C1=12×6×2=6．

【解析】【分析】本题主要考查了作中心对称图形，旋转作图，解题的关键是作出对应点的位置．
(1)作出点A、B、C关于点O的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；
(2)作出点A、B绕点C顺时针旋转90∘的对应点A2、B2，然后顺次连接即可；
(3)利用网格求出四边形BCB1C1的面积即可．
24.【答案】【小问1详解】
解；由题意得，更新设备后每天生产x+25件产品，
故答案为：x+25；
【小问2详解】
解：由题意得，6000x=7000x+25，
解得x=150，
经检验，x=150是原方程的解，
∴x+25=175，
答：更新设备后每天生产175件产品．

【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，列代数式：
(1)根据更新设备后每天比更新前多生产25件产品列式求解即可；
(2)根据更新设备前生产6000件产品的天数和更新设备后生产7000件产品的天数相同列出方程求解即可．
25.【答案】【小问1详解】
证明：∵四边形OABC是矩形，
∴OC//AB，
∴∠POD=∠EBD，
∵点D为对角线OB的中点，
∴OD=BD，
在△OPD和▵BED中，
∠POD=∠EBDOD=BD∠PDO=∠EDB,
∴△OPD≌▵BEDASA，
∴OP=BE，
又∵OP//BE，
∴四边形OPBE为平行四边形；
【小问2详解】
解：∵矩形OABC中点B的坐标为6,8，
∴OA=6，AB=8，
∴S▵OAB=12OA⋅AB=12×6×8=24，
由(1)知△OPD≌▵BEDASA，
∴S▵OPD=S▵BED，
∴S▵OPD :S四边形OAED=S▵BED:S四边形OAED=1:3，
∴S▵BED:S▵OAB=1:4，
∴S▵OPD=S▵BED=14S▵OAB=14×24=6，
∵B6,8，点D为对角线OB的中点，
∴D3,4，
∴△OPD中OP边上的高为3，
∴S▵OPD=12OP×3=6，
∴OP=4，
∴点P的坐标为0,4；
【小问3详解】
解：由(2)知D3,4，
∴OD= 32+42=5．
以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形时，设P0,t，
分三种情况：
①当OQ为对角线时，OP=OD=5，
∴P0,5，
∵xO+xQ=xP+xD，yO+yQ=yP+yD，
∴0+xQ=0+3，0+yQ=5+4，
∴xQ=3，yQ=9，
∴Q3,9；
②当OP为对角线时，DP=OD=5，
∴3−02+4−t2=52，
解得t=8，t=0(舍)，
∴P0,8，
∵xO+xP=xQ+xD，yO+yP=yQ+yD，
∴0+0=xQ+3，0+8=yQ+4，
∴xQ=−3，yQ=4，
∴Q−3,4；
③当OD为对角线时，DP=OP，
∴3−02+4−t2=t2，
解得t=258，
∴P0,258，
∵xO+xD=xQ+xP，yO+yD=yQ+yP，
∴0+3=xQ+0，0+4=yQ+258，
∴xQ=3，yQ=78，
∴Q3,78；
综上可知，点Q的坐标为3,9或−3,4或3,78．

【解析】【分析】(1)先证△OPD≌▵BEDASA，推出OP=BE，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
(2)先求出S▵OAB，根据△OPD≌▵BEDASA可得S▵OPD=S▵BED，进而可证S▵OPD=S▵BED=14S▵OAB=6，再求出OP的长即可；
(3)分OQ为对角线时、OP为对角线时、OD为对角线时三种情况，利用顶点坐标关系列式求解即可．
26.【答案】【小问1详解】
解：①∵正方形AOBC边长为2，点C的坐标为2,2，
∴OB=BC=AC=OA=2，
由折叠的性质可得B′D=BD，
又∵B′D=OD，
∴BD=OD，
∴OD=12OB=1，
∴点D的坐标是1,0，
故答案为 ：1,0；
②如图，连接CE，
∵点E是线段OA的中点，
∴OE=AE=12OA=1，
由折叠的性质可得B′C=BC，∠DB′C=∠DBC=90∘，
又∵AC=BC，
∴B′C=AC，
在Rt▵B′CE和Rt▵ACE中，B′C=ACCE=CE,
∴Rt▵B′CE≌Rt▵ACEHL，
∴B′E=AE=1，
设点D的坐标为d,0，则OD=d，
∴B′D=BD=OB−OD=2−d，
∴DE=B′E+B′D=1+2−d=3−d，
在Rt▵EOD中，OE2+OD2=DE2，
∴12+d2=3−d2，
解得d=43，
∴点D的坐标为43,0，
设直线DE的解析式为y=kx+b，
将E0,1和D43,0代入，得b=143k+b=0,
解得b=1k=−34,
∴直线DE的解析式为y=−34x+1，
设点B′的坐标为x,−34x+1，
∵B′E=1，E0,1，
∴x−02+−34x+1−12=12，
解得x=45或x=−45(舍去)，
∴点B′的坐标为45,25；
【小问2详解】
解：如图，连接B′G，B′B，BG，
设OB′=t，则AB′=OA−OB′=2−t．
设BD=B′D=m，则OD=OB−BD=2−m，
在Rt▵OB′D中，OB′2+OD2=B′D2，
∴t2+2−m2=m2，
解得m=t2+44，
∴S▵B′OD=12OB′⋅OD=12t⋅2−t2+44=−t3+4t8；
设CG=n，则AG=AC−CG=2−n，
在Rt▵AB′G中，B′G2=AB′2+AG2=2−t2+2−n2，
在Rt▵BCG中，BG2=CG2+BC2=n2+22=n2+4，
由折叠可知DG垂直平分B′B，
∴B′G=BG，
∴B′G2=BG2，即2−t2+2−n2=n2+4，
解得n=t2−4t+44，
∴S梯形DBCG=12CG+DB⋅BC=12t2−4t+44+t2+44×2=t2−2t+42；
∴S=S正方形OABC−S▵B′OD−S梯形DBCG=22−−t3+4t8−t2−2t+42=18t3−12t2+12t+2，
即S=18t3−12t2+12t+20
【解析】【分析】(1)①由折叠的性质可得B′D=BD，结合B′D=OD可得OD=12OB=1；②连接CE，先证Rt▵B′CE≌Rt▵ACEHL，推出B′E=AE=1，设点D的坐标为d,0，用勾股定理解Rt▵EOD可得点D的坐标，利用待定系数法求出直线DE的解析式，设出点B′的坐标，结合B′E=AE=1，利用两点间距离公式列方程，即可求解；
(2)连接B′G，B′B，BG，设BD=B′D=m，用勾股定理解Rt▵OB′D求出m与t的关系，进而用含t的代数式表示出S▵B′OD；设CG=n，用勾股定理解Rt▵AB′G，Rt▵BCG，用含t，n的式子分别表示出B′G2，BG2，由折叠可知DG垂直平分B′B，推出B′G=BG，进而可得n与t的关系，用含t的代数式表示出S梯形DBCG，最后根据S=S正方形OABC−S▵B′OD−S梯形DBCG即可求解．