2025高考数学一轮复习-不同函数增长的差异-专项训练【含答案】

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1.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝3x D. y＝e－x
2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
3．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )
A．y1，y2，y3 B．y3，y2，y1
C．y2，y1，y3 D. y1，y3, y2
4．有一组实验数据如表所示：
下列所给函数模型较适合的是( )
A．y＝lgax(a>1) B. y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝lgax＋b(a>1)
5．(多选)下面对函数f(x)＝lg eq \s\d9(\f(1,2)) x与g(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有( )
A．f(x)的衰减速度越来越慢， g(x)的衰减速度越来越快
B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
6．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是：①f1(x)＝x2，②f2(x)＝4x，③f3(x)＝lg2x，④f4(x)＝2x.如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是________．(只要填序号)
7．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型．
8．已知函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x eq \s\up6(\f(1,2)) 的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，f为分界点).
9.某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是 ( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100x
10．(多选)已知函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是( )
A．随着x的逐渐增大，y1增长速度越来越快于y2
B．随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1
C．当x∈(0，＋∞)时，y1增长速度一直快于y3
D．当x∈(0，＋∞)时，y2增长速度有时快于y1
11．某商场2021年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种模型：①f(x)＝p·qx(q>0，且q≠1)；②f(x)＝lgpx＋q(p>0，且p≠1)；③f(x)＝x2＋px＋q.
能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填序号).若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝________．
12.某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商品可分别获得y1，y2万元的利润，利润曲线p1：y1＝axn，p2：y2＝bx＋c如图所示．
(1)求函数y1，y2的解析式；
(2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资额，才能获得最大利润．
13．(多选)以下四种说法中，正确的是( )
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．已知a>1，则对任意的x>0，ax>lgax
C．对任意的x>0, xa>lgax
D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xa>lgax
参考答案与解析
1．解析： ∵y＝e－x＝( eq \f(1,e) )x
又 0< eq \f(1,e) <1，
所以y＝e－x随x的增大而减小，
故D不正确；
又y＝ex与y＝ln x它们都是增函数，
因为y＝ex为指数函数，y＝ln x为对数函数，
则随x的增大而增大且速度最快的是 y＝ex.
答案：A
2．解析：一次函数、二次函数以及指数函数的增长不会越来越慢，只有对数函数的增长符合．
答案：D
3．解析：从题设中表格中的数据可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，呈指数函数变化，变量y3的增长速度变慢，呈对数型函数的变化．
答案：B
4．解析：由表中数据可知：s随t的增大而增大且其增长速度越来越快，A、D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数的增长速度保持不变，C中的函数y随x的增大而增大，且增长速度越来越快．
答案：C
5．解析：在平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)图象如图所示：
由图象可判断出衰减情况为：f(x)衰减速度越来越慢；g(x)衰减速度越来越慢．
答案：ABD
6．解析：由函数的性质可知，指数函数的增长速度是先慢后快，最终跑在最前面的是指数函数，所以最终跑在最前面的人具有的函数关系是④.
答案：④
7．解析：把x＝1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．
答案：甲
8．解析：曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，
曲线C2对应的函数是h(x)＝x eq \s\up6(\f(1,2)) ，
曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.
由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；当1g(x)>h(x)；
当ff(x)>h(x)；当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；当cf(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x).
9．解析：由题干信息可得，各数据为(1，100)，(2，200)，(3，400)，(4，790)，将数据代入各函数中，易知指数型函数y＝50×2x能较好地与题中的数据相对应．
答案：C
10．解析：
如图
对于y1＝x2，y2＝2x，
从负无穷开始，y1大于y2，然后y2大于y1，再然后y1再次大于y2，最后y2大于y1，
y1再也追不上y2，故随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1，A错误，BD正确；
y1＝x2，y3＝x，
由于y3＝x的增长速度是不变的，当x∈(0，1)时，y3大于y1，当x∈(1，＋∞)时，y1大于y3，y3再也追不上y1，y1增长速度有时快于y3，C错误．
答案：BD
11．解析：因为f(x)＝p·qx，f(x)＝lgpx＋q都是单调函数，函数f(x)＝x2＋px＋q的图象先下降后上升．
所以选择函数f(x)＝x2＋px＋q.
又f(1)＝10，f(3)＝2，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋p＋q＝10，,9＋3p＋q＝2，)) 所以p＝－8，q＝17，
所以f(x)＝x2－8x＋17.
答案：③ x2－8x＋17
12．解析：(1)p1：y1＝axn，过点(1， eq \f(5,4) )，(4， eq \f(5,2) )，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)＝a,\f(5,2)＝a·4n)) ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(5,4),n＝\f(1,2))) ，
∴y1＝ eq \f(5,4) eq \r(x) ，x∈[0，＋∞)，
p2：y2＝bx＋c，过点(0，0)，(4，1)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝0,b＝\f(1,4))) ，
∴y2＝ eq \f(1,4) x，x∈[0，＋∞).
(2)设用x万元投资甲商品，那么投资乙商品为10－x万元，总利润为y万元．则y＝ eq \f(5,4) eq \r(x) ＋ eq \f(1,4) (10－x)＝－ eq \f(1,4) ( eq \r(x) － eq \f(5,2) )2＋ eq \f(65,16) ，0≤x≤10.
当且仅当 eq \r(x) ＝ eq \f(5,2) 即x＝ eq \f(25,4) ＝6.25时，ymax＝ eq \f(65,16) ，
此时投资乙商品为10－6.25＝3.75万元，
∴用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润．
13．解析：对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，故A错；对于B，因为a>1，所以结合指数函数及对数函数图象，易知ax>lgax，故B正确；对于C，当0lgax不恒成立，故C错；对于D，当a>1时，结合图象易知，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xa>lgax，但若去掉限制条件“a>1”，则结论不成立，故D正确．
答案：BD
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1 715
3 645
6 655
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4
t
1
2
3
4
5
s
1.5
5.9
13.4
24.1
37