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2023-2024学年河南省驻马店市泌阳县第一高级中学高一上学期10月月考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年河南省驻马店市泌阳县第一高级中学高一上学期10月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，问答题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用并集运算的概念直接求解即可.
【详解】因为集合，集合，所以.
故选：B.
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即得.
【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“”的否定是“”．
故选：D．
3．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用换元法求函数解析式.
【详解】令则
则,
所以.
故选：A
4．对于实数，，下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则，
【答案】D
【分析】通过不等式的性质一一验证即可.
【详解】对于选项A：若，当时，，故选项A错误；
对于选项B：若，可得，则，故选项B错误；
对于选项C：若，则，则，故选项C错误，
对于选项D：若，则，又，则，，故选项D正确；
故选：D.
5．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数单调性解不等式.
【详解】由一次函数和二次函数的性质可知，函数的图像连续，在R上单调递减，如图所示，
若，则，解得.
所以实数的取值范围是.
故选：A
6．已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（ ）
A．2，3B．3，4C．3，5D．2，5
【答案】D
【分析】由函数的定义域求出值域，然后由集合中元素的互异性与集合相等分类讨论求解即可.
【详解】函数的定义域为A，值域为B，
所以当时，；当时，；
当时，；当时，；
所以，又，
所以若，解得或，因为，所以.
此时，所以，则；
若，又，所以不成立.
综上，.
故选：D.
7．设若，则（ ）
A．B．或C．或D．
【答案】A
【分析】由函数的解析式根据先求出参数的值，然后可求出答案.
【详解】当时，，显然无解.
当时，，显然无解.
当，即时，，解得
所以
故选：A
8．已知，，则ab的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式求得，再利用求得，得解.
【详解】因为，，所以，
所以，当且仅当时取等号；
又，
所以，仅当或时等号成立，所以，
故，所以ab的取值范围是.
故选：D
二、多选题
9．下列函数中，与函数不是同一个函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.
【详解】解：的定义域为．
对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；
对于B，定义域为，与定义域相同，对应关系相同，是同一函数；
对于C，的定义域为，与定义域不同，不是同一函数；
对于D，，与的对应关系不同，不是同一函数．
故选：ACD．
10．如图是二次函数图像的一部分，图像过点，对称轴为，给出下面四个结论正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据题意，由二次函数的图像性质，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为图像与轴交于两点，所以，即，故A正确；
对称轴为，即，所以，故B错误；
结合图像，当时，，即，故C错误；
由对称轴为知，，根据抛物线开口向下，知，所以，
即，故D正确.
故选：AD
11．下列说法中正确的是（ ）
A．存在，使得不等式成立
B．若，则函数的最大值为
C．若，，，则有最小值4
D．函数的最小值为4
【答案】ABC
【分析】根据基本不等式的性质对各个选项计算判断即可得出结论.
【详解】对于A选项，当 时, 显然不等式成立, 故A正确;
对于B选项，当 时,
因为,
当且仅当, 即当时取等号,
于是，
即函数的最大值为, 故B正确;
对于C选项，因为,
所以,
当且仅当 , 即 时, 等号成立.
所以 的最小值为 4 ，故C正确；
对于D选项，
，
当 时, 即当时取等号,
所以函数的最小值为，故D错误．
故选：ABC
12．形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ）
A．4B．12C．D．
【答案】AD
【分析】依题意得到函数的单调性，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的最值，即可得到方程，解得即可.
【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增，
若，即时在上单调递增，所以，
，
所以，解得；
若，即时在上单调递减，所以，
，
所以，解得（舍去）；
当，即时在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
若且，即，，
所以，解得或（舍去）；
若且，即，，
所以，解得或（舍去）；
综上可得或.
故选：AD
三、填空题
13．已知，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由得到，相加后得到取值范围.
【详解】因为，
所以，
得.
故答案为：
14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用函数有意义，结合复合函数的意义，列出不等式求解作答.
【详解】依题意，，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
15．设常数，集合，，若，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分类讨论的范围求出中不等式的解集，再由以及，求出的范围即可．
【详解】当时，，满足；
当时，或，，且，
则，解得，此时；
当时，或，，且，
则，合乎题意，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
四、双空题
16．已知函数，存在直线与的图象有4个交点，则 ，若存在实数，满足，则的取值范围是 ．
【答案】 1
【分析】作出分段函数的图象，结合图象进行分析,第一个填空：当时，直线与的图象有4个交点；第二个填空：当时，存在实数，满足，进而可得取值范围，再结合函数对称性从而可得结论.
【详解】当时，令，解得或；
令，解得；
故可作出的图象，如图：
由图可知，当时，，当时，，
所以若存在直线与的图象有4个交点时，如图：
当时，直线与的图象有4个交点；
若存在实数，满足，
如图：
可知当时，存在实数，满足，
令，解得，
则可得；
因为
关于对称，；同理关于对称，；
所以，
又因为，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：1；.
【点睛】关键点睛：作出分段函数的图象是关键，本题考查数形结合思想，以及空间想象能力，属于较难题.
五、问答题
17．已知命题“，使不等式成立”是真命题．
(1)求实数的取值集合；
(2)若：是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)，要使不等式恒成立”，则有，计算即可求出集合.
(2)利用充分条件和必要条件的关系以及不等式的解法求出结果.
【详解】（1）因为“，使不等式恒成立”是真命题，
故，解得，
故，
即．
（2）由于命题：：，整理得：，
由第（1）问得：，
由于是的充分不必要条件，
所以，解得，
故实数的取值范围为．
六、解答题
18．已知集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解分式不等式结合交集的定义计算即可；
（2）分类讨论B是否是空集，结合集合间的关系计算即可.
【详解】（1）由，解得：，所以，
当时，，
；
（2）因为，所以，由第一问可知，
当时，，
解得：，
当时，要满足题意需，解之得：，
综上：实数的取值范围为
19．已知函数．
(1)当时，判断函数的单调性并证明；
(2)若不等式成立，求实数x的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据函数单调性的定义判断并证明即可；
（2）结合函数单调性将不等式转化即可得解集.
【详解】（1）在上单调递增，理由如下：
任取，，且，
．
因为，所以，，，
所以，即，可得，
所以在上单调递增．
（2）因为，，
由（1）得在上单调递增，
因为，所以，
即，解得：或，
所以实数x的取值范围是.
七、应用题
20．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差．
(1)求利润函数及利润函数的最大值；
(2)为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值．
【答案】(1)利润函数，最大值为（元）
(2)当台时，每台产品的利润取到最大值1900元
【分析】（1）根据题意得到的解析式，再利用二次函数的性质即可求得的最大值；
（2）根据题意得到的解析式，再利用基本不等式即可得解.
【详解】（1）由题意知，
，
易得的对称轴为，
所以当或时，取得最大值为（元）．
所以利润函数，最大值为（元）；
（2）依题意，得
（元）.
当且仅当时等号成立，即时，等号成立．
所以当台时，每台产品的利润取得最大值元．
八、解答题
21．在以下三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行求解：
①函数图象过点，，；
②函数图象开口向上，过点，对称轴为，且顶点到轴的距离为；
③函数的顶点为，且函数的图象与轴交点间的距离为1．
已知二次函数，___________．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求函数的解析式；
(2)若时，函数有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据选择的条件，设函数解析式，代入已知数据，待定系数法求出函数解析式；
（2）不等式等价于在上有解，令，利用函数单调性求即可.
【详解】（1）若选①：设，
由题意可得：，解得，所以；
若选②：根据题意可设，
因为，解得，所以；
若选③：因为函数的顶点为，与轴交点间的距离为1，所以与轴交于点，
设，可得，则，
所以．
（2）因为时有解，即有解，
可得在上有解，
令，则，
任取，则，
由，有，，
当时，，，即；
当时，，，即.
所以在上单调递减，上单调递增，，
所以，即：，.
所以实数的取值范围．
22．已知函数.
(1)当时，求关于的不等式的解集；
(2)若，的值域为，，的值域为，若，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）时，，分、、三种情况讨论即可求解.
（2）由，得，根据一次函数的性质可得，根据二次函数的性质结合对称轴分析可得，进而结合集合包含关系求解即可.
【详解】（1）因为，，
当时，，无解；
当时，，所以解为；
当时，，所以解为.
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
（2）由，得.
因为，，
所以的值域，
对于，，
①时，，的值域是，
此时的值域为，，所以成立．
②时，的对称轴为，
所以的最大值为，最小值为，值域为，
所以，所以．
③时，的对称轴为，
当，即时，
的最大值为或，最小值为，
所以，所以.
当，即时，
的最大值为，最小值为，
所以，解得．
综上所述，的取值范围是．
【点睛】方法点睛：解含参一元二次不等式，常常利用分类讨论的思想求解，常见分类如下：
（1）二次项系数是否为0；
（2）二次项系数是否大于0；
（3）判别式及两根的大小.
一、单选题
1．若集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用并集运算的概念直接求解即可.
【详解】因为集合，集合，所以.
故选：B.
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即得.
【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“”的否定是“”．
故选：D．
3．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用换元法求函数解析式.
【详解】令则
则,
所以.
故选：A
4．对于实数，，下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则，
【答案】D
【分析】通过不等式的性质一一验证即可.
【详解】对于选项A：若，当时，，故选项A错误；
对于选项B：若，可得，则，故选项B错误；
对于选项C：若，则，则，故选项C错误，
对于选项D：若，则，又，则，，故选项D正确；
故选：D.
5．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数单调性解不等式.
【详解】由一次函数和二次函数的性质可知，函数的图像连续，在R上单调递减，如图所示，
若，则，解得.
所以实数的取值范围是.
故选：A
6．已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（ ）
A．2，3B．3，4C．3，5D．2，5
【答案】D
【分析】由函数的定义域求出值域，然后由集合中元素的互异性与集合相等分类讨论求解即可.
【详解】函数的定义域为A，值域为B，
所以当时，；当时，；
当时，；当时，；
所以，又，
所以若，解得或，因为，所以.
此时，所以，则；
若，又，所以不成立.
综上，.
故选：D.
7．设若，则（ ）
A．B．或C．或D．
【答案】A
【分析】由函数的解析式根据先求出参数的值，然后可求出答案.
【详解】当时，，显然无解.
当时，，显然无解.
当，即时，，解得
所以
故选：A
8．已知，，则ab的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式求得，再利用求得，得解.
【详解】因为，，所以，
所以，当且仅当时取等号；
又，
所以，仅当或时等号成立，所以，
故，所以ab的取值范围是.
故选：D
二、多选题
9．下列函数中，与函数不是同一个函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.
【详解】解：的定义域为．
对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；
对于B，定义域为，与定义域相同，对应关系相同，是同一函数；
对于C，的定义域为，与定义域不同，不是同一函数；
对于D，，与的对应关系不同，不是同一函数．
故选：ACD．
10．如图是二次函数图像的一部分，图像过点，对称轴为，给出下面四个结论正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据题意，由二次函数的图像性质，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为图像与轴交于两点，所以，即，故A正确；
对称轴为，即，所以，故B错误；
结合图像，当时，，即，故C错误；
由对称轴为知，，根据抛物线开口向下，知，所以，
即，故D正确.
故选：AD
11．下列说法中正确的是（ ）
A．存在，使得不等式成立
B．若，则函数的最大值为
C．若，，，则有最小值4
D．函数的最小值为4
【答案】ABC
【分析】根据基本不等式的性质对各个选项计算判断即可得出结论.
【详解】对于A选项，当 时, 显然不等式成立, 故A正确;
对于B选项，当 时,
因为,
当且仅当, 即当时取等号,
于是，
即函数的最大值为, 故B正确;
对于C选项，因为,
所以,
当且仅当 , 即 时, 等号成立.
所以 的最小值为 4 ，故C正确；
对于D选项，
，
当 时, 即当时取等号,
所以函数的最小值为，故D错误．
故选：ABC
12．形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ）
A．4B．12C．D．
【答案】AD
【分析】依题意得到函数的单调性，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的最值，即可得到方程，解得即可.
【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增，
若，即时在上单调递增，所以，
，
所以，解得；
若，即时在上单调递减，所以，
，
所以，解得（舍去）；
当，即时在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
若且，即，，
所以，解得或（舍去）；
若且，即，，
所以，解得或（舍去）；
综上可得或.
故选：AD
三、填空题
13．已知，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由得到，相加后得到取值范围.
【详解】因为，
所以，
得.
故答案为：
14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用函数有意义，结合复合函数的意义，列出不等式求解作答.
【详解】依题意，，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
15．设常数，集合，，若，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分类讨论的范围求出中不等式的解集，再由以及，求出的范围即可．
【详解】当时，，满足；
当时，或，，且，
则，解得，此时；
当时，或，，且，
则，合乎题意，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
四、双空题
16．已知函数，存在直线与的图象有4个交点，则 ，若存在实数，满足，则的取值范围是 ．
【答案】 1
【分析】作出分段函数的图象，结合图象进行分析,第一个填空：当时，直线与的图象有4个交点；第二个填空：当时，存在实数，满足，进而可得取值范围，再结合函数对称性从而可得结论.
【详解】当时，令，解得或；
令，解得；
故可作出的图象，如图：
由图可知，当时，，当时，，
所以若存在直线与的图象有4个交点时，如图：
当时，直线与的图象有4个交点；
若存在实数，满足，
如图：
可知当时，存在实数，满足，
令，解得，
则可得；
因为
关于对称，；同理关于对称，；
所以，
又因为，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：1；.
【点睛】关键点睛：作出分段函数的图象是关键，本题考查数形结合思想，以及空间想象能力，属于较难题.
五、问答题
17．已知命题“，使不等式成立”是真命题．
(1)求实数的取值集合；
(2)若：是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)，要使不等式恒成立”，则有，计算即可求出集合.
(2)利用充分条件和必要条件的关系以及不等式的解法求出结果.
【详解】（1）因为“，使不等式恒成立”是真命题，
故，解得，
故，
即．
（2）由于命题：：，整理得：，
由第（1）问得：，
由于是的充分不必要条件，
所以，解得，
故实数的取值范围为．
六、解答题
18．已知集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解分式不等式结合交集的定义计算即可；
（2）分类讨论B是否是空集，结合集合间的关系计算即可.
【详解】（1）由，解得：，所以，
当时，，
；
（2）因为，所以，由第一问可知，
当时，，
解得：，
当时，要满足题意需，解之得：，
综上：实数的取值范围为
19．已知函数．
(1)当时，判断函数的单调性并证明；
(2)若不等式成立，求实数x的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据函数单调性的定义判断并证明即可；
（2）结合函数单调性将不等式转化即可得解集.
【详解】（1）在上单调递增，理由如下：
任取，，且，
．
因为，所以，，，
所以，即，可得，
所以在上单调递增．
（2）因为，，
由（1）得在上单调递增，
因为，所以，
即，解得：或，
所以实数x的取值范围是.
七、应用题
20．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差．
(1)求利润函数及利润函数的最大值；
(2)为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值．
【答案】(1)利润函数，最大值为（元）
(2)当台时，每台产品的利润取到最大值1900元
【分析】（1）根据题意得到的解析式，再利用二次函数的性质即可求得的最大值；
（2）根据题意得到的解析式，再利用基本不等式即可得解.
【详解】（1）由题意知，
，
易得的对称轴为，
所以当或时，取得最大值为（元）．
所以利润函数，最大值为（元）；
（2）依题意，得
（元）.
当且仅当时等号成立，即时，等号成立．
所以当台时，每台产品的利润取得最大值元．
八、解答题
21．在以下三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行求解：
①函数图象过点，，；
②函数图象开口向上，过点，对称轴为，且顶点到轴的距离为；
③函数的顶点为，且函数的图象与轴交点间的距离为1．
已知二次函数，___________．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求函数的解析式；
(2)若时，函数有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据选择的条件，设函数解析式，代入已知数据，待定系数法求出函数解析式；
（2）不等式等价于在上有解，令，利用函数单调性求即可.
【详解】（1）若选①：设，
由题意可得：，解得，所以；
若选②：根据题意可设，
因为，解得，所以；
若选③：因为函数的顶点为，与轴交点间的距离为1，所以与轴交于点，
设，可得，则，
所以．
（2）因为时有解，即有解，
可得在上有解，
令，则，
任取，则，
由，有，，
当时，，，即；
当时，，，即.
所以在上单调递减，上单调递增，，
所以，即：，.
所以实数的取值范围．
22．已知函数.
(1)当时，求关于的不等式的解集；
(2)若，的值域为，，的值域为，若，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）时，，分、、三种情况讨论即可求解.
（2）由，得，根据一次函数的性质可得，根据二次函数的性质结合对称轴分析可得，进而结合集合包含关系求解即可.
【详解】（1）因为，，
当时，，无解；
当时，，所以解为；
当时，，所以解为.
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
（2）由，得.
因为，，
所以的值域，
对于，，
①时，，的值域是，
此时的值域为，，所以成立．
②时，的对称轴为，
所以的最大值为，最小值为，值域为，
所以，所以．
③时，的对称轴为，
当，即时，
的最大值为或，最小值为，
所以，所以.
当，即时，
的最大值为，最小值为，
所以，解得．
综上所述，的取值范围是．
【点睛】方法点睛：解含参一元二次不等式，常常利用分类讨论的思想求解，常见分类如下：
（1）二次项系数是否为0；
（2）二次项系数是否大于0；
（3）判别式及两根的大小.
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