2023-2024学年河南省驻马店市新蔡县第一高级中学高一上学期期末模拟数学试题（一）含答案

这是一份2023-2024学年河南省驻马店市新蔡县第一高级中学高一上学期期末模拟数学试题（一）含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，应用题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.
【详解】由题意可知：命题“，”的否定是“，”.
故选：A.
2．如图中的阴影部分可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由韦恩图写出对应的集合即可.
【详解】根据图中阴影可知，阴影部分的元素是由集合C中的元素和同时在两个集合中的元素组成的，
故表示的集合为.
故选：A
3．函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在角的终边上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用对数函数的性质求得，再利用三角函数的定义即可得解.
【详解】令，则时，，
故过定点，
由三角函数定义可得，.
故选：B.
4．已知，则以下错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由不等式的性质结合特殊值排除法逐项分析即可.
【详解】因为，所以，或，
对于A，，,,
综上可得，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，当时，，故D错误；
故选：D.
5．已知是定义在R上的偶函数，其图象关于点对称，且当时，，则（ ）
A．-1B．0C．1D．
【答案】B
【分析】根据已知求出.进而根据偶函数的性质以及函数的对称性，即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
因为是定义在R上的偶函数，
所以，.
又的图象关于点对称，
所以，.
故选：B.
6．已知函数若存在实数b，使得方程有两个不同的解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合函数图象分析得解.
【详解】因为，，所以函数图象如图，
当时，的图象如下，可知不存在实数b，使得方程有两个不同的解.
同理当也不满足.
当时，的图象如下，可知存在实数b，使得方程有两个不同的解.
综上，要使方程有两个不同的解，需．
故选：C
7．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于原点对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知：函数的图像关于点对称，结合余弦函数的对称性分析求解.
【详解】由题意可知：函数的图像关于点对称，
则，解得，
且，解得，即，
所以当时，取到最小值是.
故选：A.
8．已知函数的定义域为的图像关于对称，且为奇函数，，则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③；④.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据奇函数定义得到，进而得到的对称中心为，再根据对称轴求出周期，通过赋值得到答案.
【详解】因为为奇函数，所以，则，
所以对称中心为，
又因为的图像关于对称，则，
所以，则，
所以的周期，
①，所以①正确；
②因为，，对称中心为，
所以，所以，所以②正确；
③因为，所以，
因为，所以，
则，所以，所以③错误；
④因为且周期，
所以，则的周期为，
因为，，，，
所以，
所以，所以④正确.
故选：C.
【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下：
（1）若函数满足或或，则的一条对称轴为；
（2）若函数满足或或，则的一个对称中心为.
二、多选题
9．下列运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据题意，由对数的运算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于选项A：，故选项A正确；
对于选项B：，故选项B错误；
对于选项C：，故选项C正确；
对于选项D：，所以选项D正确.
故选：ACD.
10．已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】构造关于的方程求得的值判断选项A；利用同角三角函数关系求得的值判断选项B；分别求得，的值判断选项CD.
【详解】由，可得，
则，
解之得，或
又，则，故选项A判断正确；
则，，故选项B判断正确；
，故选项C判断错误；
，故选项D判断正确.
故选：ABD
11．，，为正实数，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】将变形得到即可得 、、间的大小关系，再分别构造出、化简后即可得、、大小关系.
【详解】由，
即有，由，则，故A正确，B错误；
因为，
故，
因为，故，
同理，因为
故，
因为，故，即有，故C正确，D错误.
故选：AC.
12．若函数在定义域内的某区间上单调递增，且在上也单调递增，则称在上是“强增函数”，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数，则存在使是“强增函数”
B．若函数，则为定义在上的“强增函数”
C．若函数，则存在区间，使在上不是“强增函数”
D．若函数在区间上是“强增函数”，则
【答案】ACD
【分析】根据对勾函数的单调性结合“强增函数”的定义即可判断A；根据“强增函数”的定义举出反例即可判断B；根据“强增函数”的定义结合指数函数的单调性举例即可判断C；根据“强增函数”的定义结合二次函数和对勾函数的单调性即可判断D.
【详解】对于A，由对勾函数的单调性可得函数在上为增函数，
而函数在上为增函数，
所以存在使是“强增函数”，如，故A正确；
对于B，因为，所以函数在上不是增函数，
所以不是定义在上的“强增函数”，故B错误；
对于C，函数在上单调递增，
令，因为，
所以函数在上不是增函数，
故存在区间，使在上不是“强增函数”，如，故C正确；
对于D，若函数在区间上是“强增函数，
则函数在上都是增函数，
由函数在区间上是增函数，
得，解得，
因为函数在区间上是增函数，
当时，在区间上是增函数，符合题意，
当时，因为函数在上都是增函数，
所以函数在区间上是增函数，符合题意，
当时，，
由对勾函数得单调性可知函数在上单调递增，
所以，所以，
综上所述，，
因为函数在上都是增函数，
所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
三、填空题
13．若函数为幂函数，且在单调递减，则实数的值为 .
【答案】
【分析】根据幂函数定义和单调性求解．
【详解】由题意知，解得：或，
当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意；
当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意；
所以实数的值为.
故答案为：.
14．若函数的定义域与值域相同，则实数的值为 ．
【答案】2
【详解】函数函数的定义域为函数的定义域与值域相同，函数的值域为．又函数在上单调递增，，解得．
管案：2
15．已知函数，且，若对任意的，存在使得成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，由函数在上的最小值小于函数在上的最小值求解.
【详解】解：当时，，则，
对任意的，存在，使得成立，
函数在上的最小值小于函数在上的最小值.
又当，时，，不符合题意，
则，函数在上单调递增，
所以，
所以，即，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
16．科技的发展改变了世界，造福了人类，我们生活中处处享受着科技带来的“红利”．例如主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同的反相位声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线，且经过点．下述四个结论：
①函数是奇函数；
②函数在区间上单调递减；
③存在正整数，使得；
④对于任意实数，存在常数使得．其中所有正确结论的编号是 ．
【答案】①②④
【分析】由经过可求出的解析式，利用正弦函数的对称性可判断①；. 利用正弦函数的单调性可判断②；求的值，可判断④，利用，分、、三种情况求的化简式可判断③.
【详解】因为经过，所以，即，解得，
又，所以，则.
对于①，，故为奇函数，①正确；
对于②，时，，结合正弦函数的图象可知时，单调递减，②正确；
对于④，，所以恒为0，故④正确；
对于③，当时，，
当时，，
当时，，故③错误；
故答案为：①②④.
四、问答题
17．已知，，其中.
(1)当时，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由集合的交集和并集即可得解.
（2）利用交集的结果转化为集合间关系即可求参数范围.
【详解】（1）当时，，
所以，.
（2）若，则，则，解得.
故实数的取值范围是.
18．已知函数的图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)若，求的最小正周期及单调递增区间.
【答案】(1)
(2)，单调递增区间为，
【分析】（1）由图象求得及周期，再由周期公式求得，即可得到解析式；
（2）利用三角恒等变换公式将化简，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）由图象可知，，即，又，
所以，解得，；
（2）因为，
所以
，
所以的最小正周期，
令，，
解得，，
的单调递增区间为，．
五、应用题
19．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰梯形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻的三角形和梯形间在水平方向上的留空宽度也都是10，设．
(1)当时，求海报纸（矩形）的周长；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
【答案】(1)；
(2)选择矩形的长宽分别为的海报纸，可使用纸量最少
【分析】（1）根据题意，列出面积公式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，列出面积公式，结合基本不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为，
阴影部分的面积，
又，
由图可知：，
海报纸的周长为.
（2）由（1）知，
，，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，
故选择矩形的长宽分别为的海报纸，可使用纸量最少.
六、问答题
20．设函数（且），是定义域为R的奇函数．
(1)求的值；
(2)若，试判断函数单调性，并求使不等式恒成立的的取值范围 .
【答案】(1)2；
(2)在R上单调递减，.
【分析】（1）根据奇函数的性质可得，由此求得的值；
（2）由，可求出的范围，利用函数的奇偶性将不等式化为，再利用函数的单调性转化为，利用即可求解.
【详解】（1）∵是定义域为R的奇函数，
∴，
∴，此时，满足，
综上，.
（2）由（1）知，且，∵，∴，
又，且，∴，
在R上单调递减，在R上单调递增，
故在R上单调递减，
不等式化为，
∵是定义域为R的奇函数，
∴，即，
∴，∴恒成立，
∴，解得．
∴.
七、证明题
21．已知函数是定义在上的单调函数，且对任意正数，，都有.且.
(1)求，的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
(3)若不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)是奇函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）赋值法即可求值；
（2）设，利用奇函数定义即可证明；
（3）根据函数的性质把不等式恒成立转化为恒成立，然后利用一元二次型不等式解法，分类讨论求解即可.
【详解】（1）设，得，则.
再设，有，
再设，有，所以，所以.
（2）是奇函数，证明如下：
因为定义域为，关于原点对称，
设，代入可得，
所以，所以是奇函数.
（3）函数是定义在上的单调函数，且，
所以是定义在上的单调增函数，又是奇函数，
所以，
所以即恒成立，
当时，，此时，不符合题意，
当时，有，即，解得，
所以的取值范围是
八、问答题
22．已知函数，．
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)若，关于x的方程有三个不等的实根，求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）当时，得到，结合三角函数的性质，即可求解；
（2）当时，令，则，得出函数，根据二次函数的性质，三种情况讨论，即可求解.
【详解】（1）解：当时，函数，
由，可得，
故函数的单调递增区间为.
（2）解：当时，可得，
令，则，
令，其图象恒过和两点，
①当时，由（1）知有唯一根，
不合题意；
②当时，可得的图象开口向上，，方程存在两根，
且，此时有（舍），故，则方程只有一个根，不合题意；
③当时，可得的图象开口向下，，方程存在两根，且，
若要满足题意，则，，
此时方程有一个根，有两个不相等的根，
则有，解得，
综上所述，a的取值范围为．

【点睛】方法点睛：利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：
1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数与轴的交点的横坐标，方程的根据就是函数和图象的交点的横坐标；
2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
3、本题中合理利用三角函数的基本关系，进行换元构造二次函数，结合二次函数和正弦型函数的图象与性质是解答的关键.